专题九空间向量的应用专项检测-2026届高三数学一轮复习

专题九空间向量的应用专项检测----山东省2026届高三数学一轮复习 一、单选题 1．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D． 4．已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．在长方体中，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B．3 C． D． 8．已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 二、多选题 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 11．若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（    ） A． B．该三棱锥的表面积为 C．该三棱锥外接球的体积为 D．异面直线，所成角的余弦值为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，向量若，则____. 13．若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为_______． 14．如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    四、解答题 15．如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 16．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是． (1)求的长 (2)求异面直线与所成角的余弦值 17．在三棱锥中，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．如图，在三棱锥中，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点. (1)若，求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19．如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． (3)在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据求出，再求即可. 【详解】，，若，则， 解得，则. 故选：A. 2．A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化为求解向量的模长度，结合条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】如图，由题知，， 又因为是平行六面体，则， 所以，则 ， ∴，即，    故选：A. 3．D 【分析】根据共面向量基本定理可求. 【详解】由题意可知，存在实数使得， 即， 则，得. 故选：D 4．A 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法计算球心到该平面的距离. 【详解】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点， 以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心的坐标为： 因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面的一个法向量. 又，因此球心到平面的距离 . 5．A 【分析】建立空间直角坐标系，设正四面体边长为2，设，通过即可求点坐标，从而可表示和，进而可求，即异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以点为原点，为轴，在平面内过点作轴与垂直，过作轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如下：    不妨设正四面体的边长为2，则， 设点，则有，解得， 因为是的中点，则有，即， 因为是的中点，则有，即， 则， 则， 故选：A. 6．A 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 7．D 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出直线与的公垂线的方向向量，再代入空间异面直线间距离公式计算. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 设直线与的公垂线的方向向量为，则， 不妨令，则. 又，则异面直线与之间的距离. 故选：D 8．B 【分析】建立空间直角坐标系，A选项，求平面的法向量，判断是否平行于平面； B选项，分别求平面和平面的法向量，判断两个平面是否平行；C选项，求平面的法向量，判断是否垂直于平面；D选项，求平面和平面的法向量，判断平面是否垂直于平面. 【详解】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误. 故选：B. 【点睛】 9．ACD 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行和垂直，求出向量的模，利用投影向量公式计算即可. 【详解】空间向量，， ， ，故A正确， ，， 而，所以和不平行，故B错误， ， ， ，故C正确， 因为， 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10．AC 【分析】以为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B利用数量积的定义得出判断B；利用平面平面以及判断三点共线可判断C；利用向量的加减运算判断D. 【详解】对于A，设，， 则， 于是，故A正确； 对于B，因为，，所以，则夹角等于， 因为，则为锐角，由数量积的定义可知，故B错误； 对于C，因为，平面，则平面， 同理，平面，则平面， 又平面平面，故，即三点共线，故C正确； 对于D，因 ，故D错误. 11．ACD 【分析】根据线面垂直的性质定理证明选项A；根据正四面体的表面积公式求解即可判断B；利用补体法求解正四面体的外接球半径，代入球的体积公式求解判断C；利用向量法求解异面直线夹角余弦值判断D. 【详解】由题意三棱锥为棱长为1的正四面体， 对于A：因为在正四面体中，M为中点， 所以，，又，平面， 所以平面，平面，所以，所以A正确； 对于B：因为正四面体每个面都是边长为1的正三角形， 所以此正四面体的表面积为，所以B错误； 对于C：把该正四面体放在正方体中，如下图所示：    设该正方体的棱长为，则有， 所以该正方体的对角线长为， 所以该正方体外接球的半径为，即该正四面体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的体积为，所以C正确； 对于D：因为， 所以 ，又， 所以异面直线，所成角的余弦值为，所以D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，利用线面角的向量法求解. 【详解】设直线l与平面所成角为，依题意，， 所以. 故答案为： 14． 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，    设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而根据长度关系由勾股定理可得，即可由线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）取的中点E，连接，， 则四边形为矩形，所以， 因为为等边三角形，所以， 又因为，平面，所以平面， 平面，故，而，所以，所以， 由已知得，所以， 所以， 因为，平面，所以平面． （2）以C为坐标原点，，分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 设，因为，， 则 由①－②得：，②－③得：，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由得：， 设，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）以为一组基底表示，利用数量积的定义和运算性质化简即可； （2）以为一组基底表示，求证得. 【详解】（1）由题意可知 ，， 又， 则 ， ∴， （2）因， ， 则 ∴ ∴异面直线与所成角的余弦值为0 17．(1) (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题设可得关于坐标的方程组，求解后可求体积； （2）结合（1）结果，利用向量法可求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴， 以所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴， 建立如图空间直角坐标系． ，设 ，，，． . （2）设平面的法向量， ，，取，， 设平面的法向量， ，，取，， 设平面与平面的夹角为， ． 所以平面与平面的夹角的余弦值为 18．(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定结合已知条件即可证明； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，再设，最后结合已知条件代入公式即可求出. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又，所以， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，垂直方向为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知，， 则. 设平面的一个法向量为， 则 令，解得，所以平面的一个法向量为. 又， 设， 则， 设直线与平面所成的角为， 则 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，当时.， 则线段的长为或. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由勾股定理可得，即，又，根据线面垂直判定定理可证平面，最后由面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入公式运算得解. （3）根据等体积法求出点的位置，再利用向量法求线面夹角的正弦值. 【详解】（1）由题可知，所以， 所以， 所以，即 又四边形是正方形，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，故平面平面； （2）过点作直线平面，以为坐标原点建立如图坐标系， 过作， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以为四棱台的高， 又，所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得， 令，所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得， 令，得平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． （3）假设在上存在一点，使的体积为， 设， 所以， 解得，所以，， 由（2）可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以在上存在一点，使的体积为，此时与平面所成角的正弦值为 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $