第六章《计数原理》同步单元必刷卷【培优卷】-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章《计数原理》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（    ） A．480 B．384 C．360 D．288 2．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 3．图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 4．若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 5．某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 6．设,则除以的余数为 A．或 B．或 C．或 D．或 7．中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 8．若，则（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选3门学习，共有20种选法 B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法 C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法 D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法 10．现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 11．设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_______（用数字作答）种不同的选科方法． 13．用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成______个没有重复数字且能被5整除的五位数. 14．已知，若存在使得，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 16．为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 17．（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？ （3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？ （4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 18．已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 19．某同学在研究二项式定理的时候发现：， (1)计算：；（请用数字作答） (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章《计数原理》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（    ） A．480 B．384 C．360 D．288 【答案】B 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有种可能； 乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有种可能； 剩余4个班的名次有种可能． 所以6个班的名次排列有种不同情况． 故选：B 2．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【详解】．由，得，所以， 又，据此可知当时系数为实数，实数系数分别为， ，， ， ，，经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 3．图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 4．若，则等于（    ）． A．400 B．425 C．625 D．800 【答案】D 【分析】法一，分解为两个二项式相乘，根据展开式的通项公式求解；法二，看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】解法1：， 与的展开式通项分别为： ，． 由题意知且，解得或或， 因此. 解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2． 设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或， 即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为， 故选：D． 5．某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（   ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】B 【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的四组，该步有种完成方法， 第二步，将组同学分派到4个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为 6．设,则除以的余数为 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】用二项式定理化简整理得到，分为奇数或偶数，得到余数. 【详解】=，当为奇数时，余数为，当为偶数时，余数为, 故选：A. 7．中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 【答案】B 【详解】“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有 种方法；再将剩余5个元素全排列，有 种方法，共 种， 先将“射”和“御”捆绑，内部有 种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有 种， 故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 种， 故不同的排法共有种． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令，得，A错误； 令，可得，① 令，可得，② 得，B错误； 得，C错误； 令，可得， 即， 又， 所以，D正确. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选3门学习，共有20种选法 B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法 C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法 D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法 【答案】AC 【详解】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有种选法， 故选项A正确； 对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种， 故选项B错误； 对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种； ②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种， 所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法， 故选项C正确； 对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种； ②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种； ③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种. 所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法， 故选项D错误； 故选：AC. 10．现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有60种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 【答案】AC 【分析】利用平均分配和部分平均分配原则，按选项要求一一计算可判定选项. 【详解】先从6本书中分给甲3本有种，剩3本给乙，所以共有种分法，故A正确； 先把6本书分成2组，有种，再分别给甲、乙两人，共有种分法，故B错误； 6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有种分法；其余2本分给丙、丁，有种分法． 所以不同的分配方法有种，故C正确； 先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有种分法； 再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有种，故D错误． 故选：AC. 11．设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 【答案】AB 【分析】利用二项式展开式的通项公式，找到一次项的系数，得出的值判断A选项. 判断B选项： 令，代入，得到的值. 判断C选项： 同样根据二项式展开式通项求，判断正负. 判断D选项： 分别令和，代入展开式，再通过两式相减得到的值. 【详解】设，则，所以， A选项正确； 令，得，B选项正确； 为负数，显然C选项错误； 令，得， 令，得，所以，D选项错误. 故选：AB. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校高一年级甲、乙、丙三位同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术共七门学科中选择三门作为高考选考科目，若其中任何两人恰有一门选考科目相同，则共有_______（用数字作答）种不同的选科方法． 【答案】5670 【分析】利用分步分类计数原理来计数即可. 【详解】第一步：甲从7门学科中选3门，共 种选法； 第二步：因为乙和甲恰有1门相同，因此从甲的3门中选1门，再从甲没选的4门中选2门，共 种选法； 第三步：最后选丙的3门选科，要分两类计数， 设甲乙共同选的科目为，甲除外的两门为，乙除外的两门为，这5个科目互不相同，还剩余2个科目， 情况1：丙也选了公共科目 ，此时丙不能再与甲、乙有其他重复科目，只能从剩余2门科目中选，共 种选法； 情况2：丙不选公共科目 ，则丙需要和甲共1门（从中选）、和乙共1门（从中选），第三门从剩余2个科目中选，共 种选法； 因此丙共有 种选法； 根据分步计数乘法原理可得：总方法数为 . 13．用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成______个没有重复数字且能被5整除的五位数. 【答案】216 【分析】由题意知，这个五位数的末位是0或5，分末位数为0和末位数为5，分别得出五位数的个数，由分类加法原理可得答案. 【详解】由题意知，这个五位数的末位是0或5， （1）若末位数为0，则前面四个数在1，2，3，4，5中选取即可，共有个； （2）若末位数为5，则首位不能为0，首位共中情况，中间三位数没有限制，共中情况，此种情形下共； 综上所述，符合条件的五位数个数为个. 故答案为：216. 14．已知，若存在使得，则的最大值为__________． 【答案】49 【详解】展开式的通项为. 展开式的通项为.已知， 所以是的系数，由上述两个展开式可知. 当为偶数时，； 当为奇数时，. 若，则，即.因为指数函数在上单调递增，所以， 解得，又因为是奇数，所以.故答案为：49. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 16．为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 17．（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？ （3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？ （4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）. 【分析】（1）利用捆绑法即可求得两个女生相邻的排法种数； （2）利用隔板法即可求得名额的分法种数； （3）利用插空法即可求得不同的排法种数； （4）按外科女医生来或不来分类讨论，再依据分步计数原理即可求得所有不同的派法种数. 【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种； （2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）第1步，先排4个朗诵节目共种； 第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头， 从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法； （4）先分类： ①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1； 另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种； ②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2； 另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种； 由于分赴甲乙两地，所以共有种． 18．已知函数，为正整数. (1)当，且时，求的值； (2)当，且时，从中任取一个数，求取到的数为有理数的概率； (3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，， 又，， 所以，所以； （2）当，时，， 又， 所以，， ，， ，， ，，， 所以，，，，为有理数， 所以从，，，，中任取一个数，取到有理数的概率为， （3）当，且时，， 又二项式的展开式的通项公式为，， 所以，，， 当时，， 令，可得，即，所以（舍去）， 令，可得，即，所以， 令，可得，即，所以， 所以， 因为对任意的，，都有， 所以. 19．某同学在研究二项式定理的时候发现：， (1)计算：；（请用数字作答） (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数. 【详解】（1）法一：原式 ； 法二：原式 ． 法三：， 两边求导得：， 令，得：． （2）法一：， 而， 所以， 所以. 所以，原命题成立. 法二：， 要证，只需证. 设， 由 ， 两边同时求导， 得， 令，得， 即得证． 所以，原命题成立． （3）由条件，设等差数列，，，，的公差为，， 则 . 因为，所以对任意的，是关于的一次函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $