第二单元因数和倍数解决问题高频常考易错题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

第二单元因数和倍数解决问题高频常考易错题专项训练一 一、解答题 1．有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 2．涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 3．淘气和笑笑玩掷骰子游戏，掷出质数淘气赢，掷出合数笑笑赢，这个游戏规则公平吗？ 如果不公平，请你修改这个游戏规则，使它是公平的。 4．小宇、海海和乐乐三人今年的年龄和是奇数。5年后，他们三人的年龄和是奇数还是偶数？为什么？ 5．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 6．金秋十月风和日丽，正是举办校园运动会的好时机。五年级要挑选48名身高基本一样的学生参加年级健美操表演，老师在组织训练时，常常将表演队员均匀排成几排（至少2排，每排至少2人），并且每排的人数都一样多，共有几种不同的排列方式？请用表格将不同的排列方式记录下来。 7．王浩轩同学申请的QQ号可有趣了。数字从左往右依次是：①最小的合数，②既是偶数，又是质数的数，③最大的一位数，④既不是质数，也不是合数的数，⑤10以内（不包括10）最大的偶数，⑥最小的自然数，⑦最小奇数的5倍，⑧7的最大因数，⑨是一位数，并且有因数3的偶数。聪明的小朋友，你知道王浩轩的QQ号是多少吗？ 8．一个直角三角形，两条直角边的长度和是30厘米，且两条直角边的长度值是两个大于10的质数，这个直角三角形的面积最大是多少平方厘米？ 9．王阿姨在网络上卖陶瓷杯子，她刚好有一份需要57个杯子的订单，有以下三种规格的盒子：①每盒装3个；②每盒装4个；③每盒装5个。如果只能选择用同一种规格的盒子，那么她选择哪种规格的盒子合适？请说明理由。 10．小明家的密码是一个八位数，这八个数字从前往后依次是： ①第1个数是8的最小倍数；②第2个数是10以内最大的奇数；③第3个数是8的最大因数；④第4个数是10以内的最大质数；⑤第5个数是最小的质数；⑥第6个数是最小的合数；⑦第7个数是最小的奇数；⑧第8个数是7的最小因数。你能写出小明家的密码吗？ 11．秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 12．新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？为什么？ 13．秦始皇陵兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号坑第一单元的四周长廊有60个立式弩兵俑，中心有160个蹲跪式兵俑。这些兵马俑3个3个的数能正好数完吗？5个5个地数呢？ 14．万老师在体育用品店买了一些普通跳绳和计数跳绳。他付给售货员60元，找回3元。售货员找回的钱对吗？为什么？ 普通跳绳：5元/根 计数跳绳：10元/根 15．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 16．红红到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付34元，你认为售货员阿姨说的对吗？你能帮红红解释这是为什么吗？ 17．五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 18．要在一条长是20米，宽1.2米的小路上铺地砖。下面是三种大小不一的地砖，要使所用的地砖尽可能是整块的，请选择你认为最合适的，并算出需要的数量。 19．小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 20．如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，那么这六个数的积是多少？ 21．商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 22．乐乐游大明湖，用相机拍了一张照片，如图。这张照片的长和宽均为质数，并且周长是36厘米。这张照片的长和宽可能是多少厘米？面积最大是多少平方厘米？ 23．阳光小学开展“争做雷锋好少年”活动，五年级三中队队员们为宣传节约粮食是中华民族的传统美德，组织45名队员到小区的4个单元宣传节粮新观念，弘扬节俭美德。节粮宣传牌是用一根长24分米的铁丝围成的一个长方形。 （1）每个单元派出的志愿者人数都是奇数，你能按要求分配任务吗？请说明理由。 （2）要求节粮宣传牌的长和宽都是整分米数，而且都是质数，围成的节粮宣传牌的长和宽分别是多少？这个节粮宣传牌的面积是多少？ 24．材料一：“孪生质数”是指相差为2的两个质数，如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对“孪生质数”。 材料二：如果有间隔为2的连续的三个质数，我们称之为“三胞胎质数”；如果出现两组连续的“孪生质数”，即一组符合（P，P＋2，P＋6，P＋8）形式的质数，我们称之为“四胞胎质数”。 （1）写出20以内所有的“孪生质数”。 （2）请分别写一组“三胞胎质数”和“四胞胎质数”。 三胞胎质数：（    ）         四胞胎质数：（    ） （3）若（a，b，c）是一组“三胞胎质数”，则a＋b＋c的和是（    ）。（填“奇数”或“偶数”） 25．周末大扫除，班主任按座位顺序号从1号到30号给全班30人分配任务。 ①若座位顺序号是2的倍数的同学去打扫操场，扫操场的有几人？ ②余下学生中座位顺序号是3的倍数的同学打扫教室，扫教室的有几人？ ③若再让余下座位号是5的倍数的同学整理图书角，整理图书角的有几人？ ④最后剩下的人打扫阅览室，打扫阅览室的有几人？ 参考答案 1．2个；1个 【分析】根据3的倍数的特征进行分析，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】2＋8＝10 12－10＝2（个） 10－9＝1（个） 答：至少再买2个桃才能正好装完，至少要拿走1个也能正好装完。 2．650；理由见详解 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字必须是0。因此，这个三位数的个位确定为0。涛涛的数字卡片为0、1、2、3、4、5、6，个位使用0后，剩余卡片为1、2、3、4、5、6，百位不能为0，从1、2、3、4、5、6中选择，要组成最大的三位数，百位应选最大的数字6；十位从剩余数字1、2、3、4、5中选择最大的数字5。因此，这个三位数是650。 【解答】这个三位数最大是650。 理由：同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；要使三位数最大，百位数字选剩余数字中最大的（6），十位数字再选剩下数字中最大的（5），所以这个三位数最大是650。 3．不公平；掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢 【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；1既不是质数也不是合数，据此分别列举出淘气和笑笑赢的情况数，如果两人赢的情况数相同，则公平，反之则不公平；如果不公平，可以修改游戏规则使淘气和笑笑赢的可能性相同即可。 【解答】质数：2，3，5，有3种情况；合数：4，6，有2种情况；笑笑和淘气赢的情况数不相同，所以游戏不公平。奇数：1，3，5，有3种情况，偶数：2，4，6，有3种情况，因为奇数和偶数都有3个，所以可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 答：游戏规则不公平。可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 4．偶数。因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 【分析】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【解答】5年后他们三人增加的年龄和（岁）是奇数，三人今年的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 答：5年后，他们三人的年龄和是偶数，因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 5．4种；列举见详解 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和20之外20的所有因数即可。 【解答】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。 答：可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。共有4种分法。 6．8种；表格见详解 【分析】由题意可知，排数和每排的人数都是总人数的因数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此找出所有符合条件的因数，即可求得。 【解答】48÷1＝48 48÷2＝24 48÷3＝16 48÷4＝12 48÷6＝8 因为至少2排，每排至少2人，所以符合条件的因数有2、3、4、6、8、12、16、24。 表格如下： 排数 2 3 4 6 8 12 16 24 每排人数 24 16 12 8 6 4 3 2 综上所述，共有8种不同的排列方式。 答：共有8种不同的排列方式。 7．429180576 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，如2、3、5、7等；除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，如4、6、8、9等。 是2的倍数的数是偶数，如2、4、6、8等；不是2的倍数的数是奇数，如1、3、5、7、9等。 一个数最大的因数是它本身。据此逐一分析。 【解答】①最小的合数是4；②既是偶数，又是质数的数是2；③最大的一位数是9；④既不是质数，也不是合数的数是1；⑤10以内（不包括10）最大的偶数是8；⑥最小的自然数是0；⑦最小的奇数是1，它的5倍是5；⑧7的最大因数是7；⑨是一位数，并且有因数3的偶数是6。 答：王浩轩的QQ号是429180576。 8．110.5平方厘米 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。大于10且和为30的质数对有：11和19，11＋19＝30；13和17，13＋17＝30。 对于11和19：根据直角三角形面积公式S＝ab÷2（a、b为两条直角边），可得面积为11×19÷2＝104.5平方厘米。对于13和17：面积为：13×17÷2＝110.5平方厘米。然后比较面积大小即可。 【解答】大于10且和为30的质数对是：11和19，13和17。 11＋19＝30 13＋17＝30 11×19÷2＝104.5（平方厘米） 13×17÷2＝110.5（平方厘米） 110.5＞104.5 答：这个直角三角形的面积最大是110.5平方厘米。 9．①；理由见详解 【分析】要选择合适的盒子规格，需判断57是否能被3、4、5整除。若能被整除，则说明该规格的盒子能刚好装完杯子，否则会有剩余。 【解答】①57÷3＝19（盒） ②57÷4＝14（盒）……1（个） ③57÷5＝11（盒）……2（个） 答：选择规格①的盒子合适，因为只有每盒装3个的盒子能刚好装完57个杯子。 10．89872411 【分析】①一个数，它的最小倍数是它本身，据此求出8的最小倍数； ②不能被2整除的数叫做奇数，据此求出10以内最大的奇数； ③一个数，它的最大的因数是它本身，据此求出8的最大因数； ④一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出10以内最大的质数； ⑤根据质数的意义，求出最小的质数； ⑥一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4； ⑦根据奇数的意义，求出最小的奇数； ⑧根据求一个数因数的方法，求出7的最小因数，据此解答。 【解答】①8的最小倍数是8； ②10以内最大的奇数是9； ③8的最大因数是8； ④10以内最大的质数是7； ⑤最小的质数是2； ⑥最小的合数是4； ⑦最小的奇数是1； ⑧7的因数有1，7；7最小因数是1。 小明家的密码是89872411。 答：小明家的密码是89872411。 11．3个3个地数不能正好数完；5个5个地数也不能正好数完；思考过程见详解 【分析】3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数是5的倍数。先计算出兵马俑总数量，再运用3的倍数、5的倍数特征，进而得出答案。 【解答】兵马俑总数为：172＋160＝332（个）； 332的各个数位上的数之和：3＋3＋2＝8，8不能被3整除，则332不能被3整除，不能3个3个地数完；332的个位上的数是2，则不是5的倍数，也不能5个5个地数出来。 答：3个3个数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完。因为兵马俑的总数量都不是3或5的倍数。 12．奇数，理论见详解 【分析】根据和的奇偶性，奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。已知总钱数80元是偶数，若姐姐抢得的钱数为奇数，则弟弟的钱数必须为奇数，才能使奇数加奇数等于偶数。 【解答】已知妈妈发给姐姐和弟弟的红包总钱数为80元，这是一个偶数。 设姐姐的钱数为奇数，弟弟的钱数为，则。 根据“奇数＋奇数＝偶数”的规则，必须为奇数，才能使等式成立。 答：弟弟抢得的红包钱数为奇数。 13．不能；能 【分析】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上的数字是0或5的数是5的倍数。据此先求出兵俑的总个数，再判断是否是3、5的倍数即可。 【解答】60＋160＝220（个） 2＋2＋0＝4 220不是3的倍数。220个位数字是0，是5的倍数。 答：这些兵马俑3个3个的数不能正好数完，5个5个地数能正好数完。 14．不对；理由见详解 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。由此可知，普通跳绳、计数跳绳的单价都是5的倍数，根据“单价×数量＝总价”可知，无论买多少根，总钱数都应该是5的倍数；用付的钱数－找回的钱数＝花钱数，判断花的钱数是否是5的倍数，即可得出找回的钱是否正确。 【解答】60－3＝57（元） 57不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 答：售货员找回的钱不对，因为花的总钱数不是5的倍数。 15．6平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 16．不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数 【分析】根据单价×数量＝总价，可知3本日记本的总价是3的倍数，据此判断34是否是3的倍数即可。 【解答】34÷3＝11……1 答：不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数。 17．第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人 【分析】总人数等于每行人数乘每列人数，即“每行人数×每列人数＝48”。同时，题目要求每行每列不少于3人且不包括3人，也就是每行和每列的人数都必须大于3人（即大于等于4人）。因此，需要找出48的所有因数，再从因数中筛选出大于3的因数，然后将这些因数两两组合，使得它们的乘积为48，每一组组合就对应一种长方形队列的排列方案。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。根据要求，排除1、2、3，剩下的有效因数为：4、6、8、12、16、24、48。 从有效因数中挑选两两相乘等于48的组合： 第一种方案：每行4人，每列12人（因为4×12＝48，且4和12都大于3）。 第二种方案：每行6人，每列8人（因为6×8＝48，且6和8都大于3）。 答：第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人。 18．边长为40厘米的地砖；150块 【分析】要使所用的地砖尽可能是整块的，就需要找到长方形小路的长和宽分别是地砖边长的整数倍，所以要计算小路的长和宽分别是三种地砖边长的倍数关系，然后选择倍数关系都是整数的地砖，最后用长包含的地砖数乘宽所包含的地砖数，求出需要的地砖数量。 【解答】20米＝2000厘米、1.2米＝120厘米 ①地砖边长为40厘米 2000÷40＝50（块） 120÷40＝3（块） 长和宽都是地砖边长的整数倍。 ②地砖边长为50厘米 2000÷50＝40（块） 120÷50＝2.4（块） 宽不是地砖边长的整数倍。 ③地砖边长为60厘米 2000÷60≈33.33（块） 120÷60＝2（块） 长不是地砖边长的整数倍。 最合适的地砖是边长为40厘米的地砖。 50×3＝150（块） 答：最合适的地砖是边长为40厘米的地砖，需要的数量是150块。 19．见详解 【分析】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 20．900 【分析】根据题意，每个三角形顶点上的数字之和都相等，所以外面大三角形与里面小三角形顶点数字相加都应该等于10，三个质数相加等于10的情况只有2＋3＋5这一种，分别填入即可解。 【解答】2×2×3×3×5×5＝900 答：这六个数的积是900。 21．第一种 【分析】若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数。哪种包装里的鸡蛋枚数是总鸡蛋枚数的因数即可先那种包装，可用237分别除以各种包装的鸡蛋枚数。 【解答】（盒） 237能被3整除，说明 237 是 3 的倍数，能按 3 枚一盒正好装完。 237不能被4整除，说明237不是4的倍数，不能按4 枚一盒正好装完。 237不能被5整除，说明237不是5的倍数，不能按5 枚一盒正好装完。 答：选择第一种包装能正好把这些鸡蛋装完。 22．这张照片的长和宽可能是11厘米和7厘米，也可能是13厘米和5厘米。面积最大是77平方厘米。 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。又根据的逆运算，用周长除以2，可得长与宽的和，再看看哪两个质数相加可得这个和，即可得长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，再比较大小即可得解。 【解答】（厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：这张照片的长和宽可能是11厘米和7厘米，也可能是13厘米和5厘米。面积最大是77平方厘米。 23．（1）不能；理由见详解 （2）长7分米，宽5分米；面积35平方分米 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，且奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此分析； （2）铁丝长度相当于长方形周长，长方形周长÷2＝长＋宽，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。据此确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。 【解答】（1）不能按要求分配任务，因为4个奇数相加的和是偶数，而45是奇数，所以不能按要求分配任务。 （2）24÷2＝12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6 其中7和5都是质数。 7×5＝35（平方分米） 答：围成的节粮宣传牌的长是7分米，宽是5分米，这个节粮宣传牌的面积是35平方分米。 24．（1）见详解 （2）3、5、7；5、7、11，13 （3）奇数 【分析】（1）质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；先求出20以内的质数，再写出所有的“孪生质数”。 （2）根据“三胞胎质数”和“四胞胎质数”的意义，写出三胞胎质数和四胞胎质数。 （3）间隔为2的连续的三个质数称为“三胞胎质数”，a、b、c为三胞胎质数，则b＝a＋2，c＝a＋4，化简a＋（a＋2）＋（a＋4），再根据奇数和偶数的运算性质：①偶数±偶数＝偶数；②奇数±奇数＝偶数；③偶数±奇数＝奇数，据此判断解答。 【解答】（1）20以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19。 孪生质数：3和5；5和7；11和13；17和19。 （2）三胞胎质数：3、5、7； 四胞胎质数：5、7、11、13（答案不唯一） （3）a、b、c是一组“三胞胎质数”，则a≠2；则b＝a＋2；c＝a＋4。 a＋（a＋2）＋（a＋4） ＝a＋a＋2＋a＋4 ＝3a＋6 a是质数，则a是奇数；3a是奇数，6是偶数，所以3a＋6是奇数。 若（a，b，c）是一组“三胞胎质数”，则a＋b＋c的和是奇数。 25．①15人； ②5人； ③2人； ④8人 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。①根据2的倍数的特征解答；②根据3的倍数的特征解答；③根据5的倍数的特征解答；④用30人减去扫操场、扫教室、整理图书角的人数和，求出打扫阅览室的人数。 【解答】①根据2的倍数的特征可知：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30是2的倍数，共15个。 答：扫操场的有15人。 ②根据3的倍数的特征可知：余下的座位顺序号中3，9，15，21，27是3的倍数，共5个。 答：扫教室的有5人。 ③根据5的倍数的特征可知：再余下的座位顺序号中5和25是5的倍数，共2个。 答：整理图书角的有2人。 ④30－（15＋5＋2） ＝30－22 ＝8（人） 答：打扫阅览室的有8人。 【点评】明确2、5、3的倍数的特征是解决此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $