第17卷 函数的应用 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》教师讲解卷 （原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第17卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第17卷 函数的应用 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 2．从盛满纯酒精的容器里倒出酒精，然后用水填满，再倒出混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第次时，共倒出纯酒精，倒第次时，共倒出纯酒精，则的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变）（    ） A． B． C． D． 3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（   ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 4．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y个，则下列y与x的关系式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 6．从装满升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．某通讯公司提供了三种移动电话收费方式. 方式一：收月基本费18元，送120分钟通话时间，超过120分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费； 方式二：收月基本费28元，送220分钟通话时间，超过220分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费； 方式三：收月基本费38元，送310分钟通话时间，超过310分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费. 下列说法错误的是（    ） A．若通话时间少于120分钟，则选择方式一更省钱 B．若通话时间多于310分钟，则选择方式三更省钱 C．若通话时间多于120分钟且少于170分钟，则选择方式二更省钱 D．若通话时间多于180分钟且少于270分钟，则选择方式二更省钱 8．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为 A．14件 B．16件 C．24件 D．32件 9．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 10．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____________元． 12．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度是其横截面积的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于时，钢丝的横截面积最多是___________． 13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行（含），后到（含）每走加价1.5元，后每走加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了，他应交费_____________元． 14．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为___________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计）    16．某景区游客船租赁公司有小型客船只，经过一段时间的经营发现，每只客船每天的租金为元时，恰好全部租出.在此基础上，每只客船的日租金每提高元，就少租出一只客船，且没租出的客船每只每天需支出维护费元.求该公司的日收益（元）与每只客船的日租金（元）之间的函数关系式，并求出当为何值时，该公司的日收益最大，最大收益为多少元. 17．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为，已知总收入（元）满足函数：. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)每月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 18．如图，已知两点和点，点C在y轴上，四边形OABC为矩形，P为线段BC上的一点，设，四边形OABP的面积为S. (1)将S表示为x的函数. (2)两个图形的面积相乘称为“四维量”，试问当x为何值时，三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”最大，并写出最大值？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第17卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第17卷 函数的应用 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【答案】A 【分析】利用周长列方程，化简求得关于的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式. 【详解】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5. 所以函数解析式为. 故选：A 2．从盛满纯酒精的容器里倒出酒精，然后用水填满，再倒出混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第次时，共倒出纯酒精，倒第次时，共倒出纯酒精，则的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出等量关系列出函数解析式即可得解. 【详解】第次时，未倒出的酒精为. 第次时，倒出纯酒精. 故选：. 3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（   ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 【答案】B 【详解】由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设， 将和代入得 解得：，，故， 当销售员没有销售量即时，代入解得. 故选：B. 4．某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可以结200个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y个，则下列y与x的关系式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次函数的应用，即可列式求解. 【详解】由题意，若果园增种了x棵苹果树，则平均每棵树就会少结个苹果， 此时苹果树的数量为棵，平均每一棵树可以结个苹果， 所以苹果总个数， 故选：B. 5．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（    ） A．120元 B．150元 C．180元 D．210元 【答案】B 【分析】利用配方法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以当时，y取最大值. 故选：B. 6．从装满升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意可得，第次时共倒出了纯酒精升，第次倒出的纯酒精是升，两次相加便可得到函数的解析式. 【详解】因为第次时共倒出了纯酒精升， 所以第次倒出后容器中含纯酒精为升， 则第次倒出的纯酒精是升， 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精， 所以的解析式是. 故选：C. 7．某通讯公司提供了三种移动电话收费方式. 方式一：收月基本费18元，送120分钟通话时间，超过120分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费； 方式二：收月基本费28元，送220分钟通话时间，超过220分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费； 方式三：收月基本费38元，送310分钟通话时间，超过310分钟的部分再以每分钟0.19元的价格按通话时间计费. 下列说法错误的是（    ） A．若通话时间少于120分钟，则选择方式一更省钱 B．若通话时间多于310分钟，则选择方式三更省钱 C．若通话时间多于120分钟且少于170分钟，则选择方式二更省钱 D．若通话时间多于180分钟且少于270分钟，则选择方式二更省钱 【答案】C 【分析】根据收费标准，并结合通话时间，求出相应的值即可判断. 【详解】对A：若通话时间少于120分钟，则方式一收费18元，方式二收费28元， 方式三收费38元，故方式一更省钱，A项正确； 对B：若通话时间多于310分钟，则方式一收费， 方式二收费， 方式三收费， 故方式三更省钱，B项正确； 对C：若通话时间多于120分钟且少于170分钟，令 则方式一收费， 方式二收费元，方式三收费元，故方式一更省钱，C项错误； 对D：当通话时间多于180分钟且不超过220分钟时， 方式一：收费为，且， 方式二：收费28元，方式三：收费38元， 此时方式二更为省钱； 当通话时间超过220分钟且少于270分钟时， 方式一：收费为，方式二：收费，方式三：收费38元， 因为，且， 此时方式二更为省钱； 综上，方式二更省钱，D项正确. 故选：C. 8．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为 A．14件 B．16件 C．24件 D．32件 【答案】B 【分析】因为该厂的日产量为x，则其次品数为，正品数为，由此能求出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数，再由，利用导数知识能求出为获最大盈利，该厂的日产量． 【详解】因为该厂的日产量为x， 则其次品数为，正品数为， 根据题意得， 化简整理得． ∵， ∴ =， 当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0． 所以x=16时，T有最大值，即Tmax=T（16）=800元． 故选B. 【点睛】本题考查导数知识在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 9．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】B 【分析】设定与墙垂直面的长度为，得到与墙平行面的长度，得到该养鸡场面积的解析式，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设该养鸡场面积为平方米， 设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行边的长为米，即米， 由且，得， 由题意， ∵， ∴当时，有最大值为72， 故选：B． 10．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，利用一次函数和二次函数的性质，分别求出当时和当时利润的最大值即可. 【详解】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元， 当时，，， 显然当时，有最大值，最大值为； 当时，， ， 显然当时，有最大值，最大值为. 所以该旅行社可获得利润的最大值为元. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____________元． 【答案】60 【分析】根据题意，设涨价金额为自变量元，列出函数关系，即可求解. 【详解】设涨价元时，获得利润为元，根据题意得到，， 化简得. 时，取最大值，此时售价为60元． 故答案为：60. 12．把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度是其横截面积的反比例函数，其图象如图所示．当钢丝总长度不少于时，钢丝的横截面积最多是___________． 【答案】/ 【分析】设反比例函数的解析式为：，将图像中的点代入解析式，求出的值，再根据函数的单调性求最值即可. 【详解】设反比例函数的解析式为：， 又图像过点，所以， 所以，由图可知，时，随的增大而减小， 因为钢丝总长度不少于，所以当时，钢丝的横截面积最大为， 故答案为：． 13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行（含），后到（含）每走加价1.5元，后每走加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了，他应交费_____________元． 【答案】26.5 【分析】根据题意列出函数解析式，再根据分段函数的定义域确定对应法则，再求值. 【详解】设路程为，收费为元． 可知， 当时， ． 故答案为：26.5 14．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为___________． 【答案】37元 【分析】根据利润等于销售单价与进购单价的差乘以销售量进行求解出二次函数解析式，再求解二次函数的最大值即可. 【详解】设销售单价上涨x元，月销售利润为y元． 因为每件商品售价不能高于40元，所以， 依题意得： ， 所以当时，y的最大值为2890， 所以每件商品售价为（元）. 故答案为：37元． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计）    【答案】平方米 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 16．某景区游客船租赁公司有小型客船只，经过一段时间的经营发现，每只客船每天的租金为元时，恰好全部租出.在此基础上，每只客船的日租金每提高元，就少租出一只客船，且没租出的客船每只每天需支出维护费元.求该公司的日收益（元）与每只客船的日租金（元）之间的函数关系式，并求出当为何值时，该公司的日收益最大，最大收益为多少元. 【答案】当时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 【分析】由题意列出关于的函数关系式，求函数的最大值即可. 【详解】由题意得，每天租出的客船有只， 没租出的客船每天的管理费为元， 所以   ，   所以当时，有最大值1076. 即当每天租出客船只时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 答：当每天租出客船只时，该公司的日收益最大，最大收益为元. 17．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为，已知总收入（元）满足函数：. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)每月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1) (2)每月产量为300时，公司所获利润最大，最大为元. 【分析】（1）根据题意算出总成本，由总收入、总成本与总利润的关系得到总利润的解析式. （2）分别求两段解析式的最值，结合二次函数最值求法及一次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题可知，总成本为：， 则利润. （2）当时，， 则当时，有最大值为：， 当时，是减函数， 则， 综上，每月产量为300时，公司所获利润最大，最大为元. 18．如图，已知两点和点，点C在y轴上，四边形OABC为矩形，P为线段BC上的一点，设，四边形OABP的面积为S. (1)将S表示为x的函数. (2)两个图形的面积相乘称为“四维量”，试问当x为何值时，三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”最大，并写出最大值？ 【答案】(1) (2)时，“四维量”最大值为144 【分析】（1）四边形OABP的面积等于矩形的面积减去三角形的面积，根据面积公式进行求解. （2）将三角形OCP面积与四边形OABP面积的“四维量”表示为的函数，根据二次函数的性质求解最大值. 【详解】（1）已知，四边形OABC为矩形， ∴，，解得， ∴，， . （2）由题可得， ∴当时，“四维量”最大值为144. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $