第19卷 指数与指数函数 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》教师讲解卷 （原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第19卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第19卷 指数与指数函数 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂运算的运算法则、积的乘方、合并同类项的计算方法即可逐项判断． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B正确； C：不是同类项，无法合并，故C错误； D：，故D错误． 故选：B． 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合分数指数幂与根式的转化，即可求解. 【详解】. 故选：C. 4．将根式化为分数指数幂是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂即可求解. 【详解】根式化为分数指数幂是， 故选：A. 5．如图所示①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的底数与图像之间的性质判定. 【详解】图像中，曲线③④表示的指数函数的底数大于1，①②表示的指数函数的底数小于1，即，. 当指数函数的底数大于1时，图像上升，且底数越大，在轴右侧图像越靠近轴，故； 当指数函数的底数大于0且小于1时，图像下降，且底数越大，在轴右侧图像越远离轴，故. 故选：B. 6．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，求解即可. 【详解】设函数，因为底数， 所以函数在定义域上单调递减， 又，所以，即； 设函数，因为， 所以函数在上单调递增； 又，所以，即， 综上：. 故选：B. 7．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合指数函数的值域即可求解. 【详解】因为函数奇函数，所以，则. 又因为奇函数在上是减函数，所以在上是减函数. 由题意得，，因为，则. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，不等式的解集是. 故选：B. 8．函数，的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用换元法令，再根据二次函数的顶点式和单调性求出二次函数在的值域，再根据指数函数的单调性求最值即可得出值域. 【详解】函数，是由和，复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，，时，， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数，的值域是. 故选：C. 9．若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数，， 故函数在上单调递减， 又，所以, 则，即，解得， 则不等式的解集为. 故选：D. 10．若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ） A． B．，且 C．，且 D． 【答案】B 【分析】要确定函数图像在第一、三、四象限内时的取值范围，需要先根据函数的性质判断的取值，再通过特殊点的函数值确定的取值. 【详解】因为函数的图像在第一、二象限内， 所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动， 因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限， 所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故， 因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限， 所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位， 故，； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．化简=________． 【答案】 【分析】根据根号下大于等于零求出参数范围进行化简即可解得. 【详解】由知． 故原式． 故答案为： 12．若指数函数的图像过点，则_____. 【答案】27 【分析】根据题意求出指数函数解析式即可得解. 【详解】设且， 则，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 13．若，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性，求解即可. 【详解】设指数函数且， 因为，所以函数在定义域上单调递增， 所以不等式， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．函数的值域为__________． 【答案】 【分析】根据指数型复合函数求值域的方法即可解决. 【详解】令，由，得， 则，． 当，即时，y有最小值； 当，即时，y有最大值57， ∴函数的值域为． 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)47 【分析】利用完全平方公式和指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以． （2）将两边平方，得， 所以． 16．已知指数函数，经过点． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求得即可； （2）不等式化为，利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意，将代入，得，即， 又且，解得， 所以； （2）由（1）可知，即， 则，即，解得， 所以的取值范围是． 17．已知函数且，且． (1)求的值； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式联立解方程组即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数且， 且， 则 解得或（舍）， 所以． （2）由（1）得， 则函数在R上单调递增， 又，则， 即，令， 则，即， 解得，则， 因为为增函数，且， 所以， 故不等式的解集为． 18．已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． (1)求实数，的值； (2)求当时，的解析式； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合函数图象上的点列方程求解即可. （2）当时，，将代入中，再根据奇函数的性质化简即可. （3）分别将和代入解析式求值即可. 【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数， 所以，且当时，， 则，解得， 又点在函数的图象上，即， 所以，所以， 解得. （2）由（1）可知，，， 则， 当时，，则， 所以. （3）由（2）得，当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第19卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第19卷 指数与指数函数 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．将根式化为分数指数幂是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 8．函数，的值域是（     ） A． B． C． D． 9．若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．若函数的图像在第一、三、四象限内，则（    ） A． B．，且 C．，且 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．化简=________． 12．若指数函数的图像过点，则_____. 13．若，则不等式的解集为________. 14．函数的值域为__________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，求下列式子的值： (1)； (2)． 16．已知指数函数，经过点． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 17．已知函数且，且． (1)求的值； (2)解不等式：． 18．已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． (1)求实数，的值； (2)求当时，的解析式； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $