第13卷 几种常见的函数 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》教师讲解卷 （原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第13卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第13卷 几种常见的函数 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数的递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（      　） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 6．若函数在上是增函数， 则（    ） A． B． C． D． 7．二次函数满足，且有两个实根，则（    ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 8．如图，在同一个直角坐标系中函数和的大致图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   9．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．函数的值域为 _____． 12．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是___________． 13．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为____________； 14．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数，． (1)当时，求的最大值与最小值． (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 16．已知二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 17．已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 18．若二次函数，满足是偶函数，最小值为，且. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据广东省“3+证书”考试数学科目考试说明及历年真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是广东省“3+证书”考试一轮复习《数学考点双析卷》的第13卷。 2027年广东省“3+证书”考试一轮复习 《数学考点双析卷》 第13卷 几种常见的函数 教师讲解卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数， 图像开口向上，对称轴为， 由该函数在上是增函数， 可得，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 2．函数的递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式求出对称轴，即可得到单调减区间. 【详解】∵函数的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， ∴函数的递减区间是， 故选：. 3．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（      　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为是二次函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为直线， 又函数在区间上是增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 4．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解. 【详解】二次函数图像的对称轴为， 二次项系数，故该函数图像开口向下. 故该函数的单调递减区间为. 故选：D. 5．二次函数的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 【答案】B 【分析】根据二次函数的二次项系数确定开口方向，根据顶点式确定顶点即可. 【详解】二次函数中， 二次项系数，所以图像开口方向向下， 顶点坐标为， 故选：B. 6．若函数在上是增函数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以. 故选：A. 7．二次函数满足，且有两个实根，则（    ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的特点和所给的抽象函数式的意义，知道函数图象是关于对称，又有函数与轴的两个交点也是关于对称轴对称，得到结果． 【详解】由可得对称轴为， 又∵对称轴为， ∴， 又. 故选：C． 8．如图，在同一个直角坐标系中函数和的大致图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数的性质分析当和时对应的大致图像即可求解. 【详解】对A、D：当时，函数的图像开口向上，顶点为坐标原点， 而的图像过一、三、四象限，故A项错误，D项正确； 对B、C：当时，函数的图像开口向下，顶点为坐标原点， 而的图像过二、三、四象限，故C、B项均错误. 故选：D. 9．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错； 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错. 故选：B 10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为二次函数在区间上单调递增 二次函数的图像开口向上 所以 解得. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．函数的值域为 _____． 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】∵的二次项系数为负，对称轴为， ∴函数的最大值为，最小值为， ∴函数的值域为. 故答案为：． 12．已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式求出点的纵坐标比较即可. 【详解】因为点、、在反比例函数的图象上， 所以，，， 所以. 故答案为：. 13．若函数的定义域为，则实数a的取值范围为____________； 【答案】 【分析】根据函数定义域为，可知不等式恒成立，结合判别式即可求解. 【详解】的定义域为R，则恒不为零， 即没有实数根，所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是________. 【答案】 【分析】根据题意，算出，然后解不等式. 【详解】根据直线经过的点可知，，解得， 则，即，解得， 于是解集为： 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数，． (1)当时，求的最大值与最小值． (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】(1)最大值为37，最小值为1 (2) 【分析】(1)  由题知，函数的对称轴为，且开口向上，利用二次函数的性质可求解； (2) 由于关于对称，要使在区间上是单调函数，只需或，解不等式可求解. 【详解】（1）当 时，， 此时对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； . （2）因为关于对称， 所以要使在区间 上是单调函数， 则必有或， 解得或. 即实数的取值范围是． 16．已知二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得对称轴为，再由对称轴公式列方程求解即可. （2）根据二次函数的单调性确定值域即可. 【详解】（1）二次函数， 由，可得该二次函数的对称轴为， 即，从而得， 所以该二次函数的解析式为． （2）由（1）可得， 可得函数在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在上的值域为． 17．已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 18．若二次函数，满足是偶函数，最小值为，且. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得函数对称轴为，继而求得函数的顶点坐标，可设函数解析式为顶点式，利用待定系数法，即可求解； （2）根据题意，可设，结合二次函数在区间恒成立问题，可得时，，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以函数对称轴为， 又因为最小值为，所以顶点为， 可设， 所以，解得， 所以. （2）由（1）知， 令， 则对任意恒成立， 所以时，， 又， 所以函数的图像开口向上，对称轴为，在区间上单调递增， 所以当时，， 解得， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $