第四单元 正比例和反比例（易错笔记）易错知识梳理+六大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共44题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册培优讲练

第四单元 正比例和反比例 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 易错考点一：变化的量 【典例精讲】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 【变式训练1】下表是不同年龄儿童每分呼吸次数统计表。 年龄 新生儿 1岁 3岁 7岁 14岁 呼吸次数/分 42 30 24 22 20 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说，儿童14岁前每分呼吸次数是如何随年龄的增长而变化的。 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）通过实验研究，专家们发现：六年级学生听课的注意力指标y是随着老师讲课时间x的变化而变化的。变化的关系如图所示。（y越大表示学生的注意力越集中） （1）图中y的量是如何变化的？ （2）对学生和老师的建议是什么？ 【变式训练3】下面是好运公司2001年各月利润情况统计图。 （1）________月利润最多，是________万元；________利润最少，是________万元。     （2）________到________月的利润持续上升，________月到________月的利润持续下降。 易错考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·课后作业）看图回答问题。 （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重有什么变化？ （2）从统计图中可以看出，女生在哪个年龄段平均体重增加最快？ （3）平均体重的增加与年龄增长成正比例吗？试举例说明理由。 （4）从上图中，你还能得到哪些信息？ 【变式训练1】（2023·陕西西安·小升初真题）如图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 (1)这个水龙头出水量和打开的时间成( )比例关系。 (2)照这样计算，2分出水( )升。 【变式训练2】（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？ 【变式训练3】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）下面的图像表示甲车和乙车行驶的路程和时间的关系。 （1）从图像上看两车行驶的路程和时间成（    ）比例，（    ）车行驶得快。 （2）已知甲、乙两地的距离是900千米。如果甲乙两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？ 易错考点三：正比例图象的认识 【典例精讲】（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 【变式训练2】（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【变式训练3】（24-25六年级下·广东清远·期末）“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。（唐·李白）”李师傅开车以60千米/时的平均速度，从白帝城出发，经过7时到达江陵。 （1）将下表补充完整。 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 行驶路程/km 0 60 120 180 （2）先根据上表描点，再顺次连接。你发现了什么？行驶的路程和时间成什么比例？ （3）江陵多雾，从江陵返回白帝城时，李师傅开车的平均速度为50千米/时，需要多长时间能行驶完全程？ 易错考点四：正比例的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）马和长颈鹿的奔跑情况如下图。    （1）马奔跑的路程和时间是否成正比例？长颈鹿呢？ （2）马和长颈鹿18分各跑多少千米？ （3）从图象上看，马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）下面是“天下第一泉”的趵突泉一段时间的喷水量和喷涌天数统计表。 喷水量/立方米 16万 32万 48万 64万 96万 喷涌天数/天 1 2 3 4 6 （1）表中趵突泉的喷水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在下图中描出喷水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？    （3）利用图象判断，5天的喷水量是多少立方米？ 【变式训练2】印刷厂准备把一批笔记本打包，运往商店。 包数/包 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 本数/本 0 40 80 120 160 … （1）把上表填完整。 （2）判断本数与笔记本的包数是否成正比例，并说明理由。 （3）把上表中包数与本数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。    【变式训练3】下面的图像表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系。 （1）根据图像，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？     （2）如果用y表示用煤的数，x表示用煤的天数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为________。     （3）根据图像判断，5天要用煤多少吨？2.4吨煤可用多少天？ 37．（24-25六年级下·福建泉州·期中）把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，底面积和水面高度的变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水面高度/cm 45 30 22.5 18 … (1)如果长方体容器底面积用S表示，水面高度用h表示，那么S和h成( )比例。 (2)如果底面积是90cm2，水面高度是( )cm。 易错考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个工厂的工人加工一批零件的情况如表。 加工的时间/时 4 5 10 12 每小时加工零件的个数/个 60 24 15 20 观察并补全表格可以发现：加工的时间与每小时加工零件的个数成（    ）比例。（填“正”或“反”） 【变式训练2】下列判断中正确的有（    ）个 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等。 ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体的。 ③xy＝k＋5.4（k＋5.4≠0），当k一定时，x和y成反比例。 ④一个圆的半径增加10％，它的面积增加21％。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练3】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 易错考点六：反比例的应用 【典例精讲】（2023·陕西西安·小升初真题）在一根粗细均匀竹竿的中点处打个孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔做一个记号。如果在左边刻度4上用塑料袋挂6个棋子，则在右边刻度3上用塑料袋挂（    ）个棋子才能保持平衡。 A．7 B．8 C．9 【变式训练1】读书小组同读一本书，下表记录的是每人读这本书所用的时间，请把下表补充完整，然后回答下列问题： 淘气 笑笑 欢欢 天数 3 4 6 每天读的页数 80 ( ) ( ) ①不同的人在读这本书时，( )没有变； ②每天读的页数和天数有什么关系？( ) ③小强平均每天读15页，( )天看完。 【变式训练2】下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 1．下列关系式中，表示x和y成反比例的关系式是（    ）。 A．y÷x＝k（一定） B．x＋y＝k（一定） C．xy＝k（一定） 2．平行四边形的面积一定，平行四边形的底和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 3．m，n是两种相关联的量（m，n均不为0），下列各式中，m和n成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 4．下面各选项中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．奇思读一本书，已读的页数和剩下的页数 B．苹果的单价一定，购买的数量和总价 C．三角形的面积一定，它的底和高 5．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下列各种数量关系中，成反比例的是（    ）。 A．出油率一定，大豆质量和大豆油的质量 B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．已知，与 6．（2025·吉林长春·小升初真题）六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 7．圆柱的高一定，它体积和( )成正比例。 8．已知4x＝5y，x和y成________比例，x∶y＝________。 9．圆锥的高一定，底面积和体积成( )比例。 10．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）已知a、b均不为0，若ab＝7，则a和b成( )比例；若，则a和b成( )比例。（填“正”或“反”） 11．（23-24六年级下·四川成都·期末）某天同一时刻，小明在广场上测得一把竖直放立的米尺在地面的影长约为60厘米，一棵大树的影长约为9米。这棵大树实际高约( )米。 12．（24-25六年级下·陕西延安·期末）少儿科普杂志《爱科学》单价一定，订阅这种杂志的总价与订阅数量成正比例。( )（判断对错） 13．（2025·陕西榆林·小升初真题）若（、均不为0），则与成反比例。( )（判断对错） 14．解方程。 x－x＝                   42∶＝x∶ 5x＋16×2＝36                  ＝ 15．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）某商场全部商品六折出售。 （1）完成下表。 原价/元 10 20 30 40 现价/元 （2）根据上表描点，再顺次连接各点。 （3）点（70，63）在这条线上吗？为什么？ （4）如果用x表示原价，y表示现价，那么y＝（    ）。 16．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）2022年5月，在中国儿童口罩非常短缺的情况下，某工厂4天生产了2400盒儿童口罩。照这样的速度，再生产5天一共可以生产多少盒儿童口罩？（用比例解答） 17．（24-25六年级下·广东清远·期中）笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 18．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）磁悬浮列车匀速行驶，路程与时间的关系如下： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 0 7 14 21 28 35 42 … （1）图中点A表示什么意思？ （2）描点，顺次连线，你发现了什么？ （3）根据图象估计，列车行驶4.5小时路程是多少？ （4）点（9，60）在各点所形成的图象上吗？为什么？ （5）如果B、C两个点都在这个图形上，请把两个点的数对补充完整B（15， ），C（ ，196）。 （6）这里的路程和时间成比例吗？为什么？ （7）s表示路程，t表示时间，请用含有字母的式子表示s与t的关系：（          ）。 19．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一辆新能源纯电车的行驶路程和耗电量的对应数值如下表。 行驶路程/km 0 9 18 27 36 45 耗电量/千瓦时 0 1 2 3 4 5 （1）在图中把该汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描出来，并连线。 （2）该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？ 20．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例和反比例 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、没有正确分析变量的变化规律。 例如出租车都有起步价,在一定里程内票价一定,超过范围后,票价随里程的增加而增加。 2、没有考虑清楚两种相关联的量的比值。 例如圆柱问题，当圆柱的高一定时,圆柱的体积与半径的平方或底面积成正比例。 3、错误理解正比例图象。正比例图象是一条直线。 4、不能正确判断哪两个量成反比例。 两种相关联的量,必须乘积一定才成反比例,否则不成反比例。 5、没有正确理解正、反比例的意义。 两种相关联的量,必须“比值一定”才成正比例,“乘积一定”才成反比例。 易错考点一：变化的量 【典例精讲】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 【答案】(1) 年龄 体重 (2) 增长 增加 【易错思路引导】（1）观察表格，年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重。 （2）根据表格中的数据，发现妙想6岁前的体重随年龄的增长而增大。 【规范解答】（1）出生时重是3.5千克，2岁时重是14.0千克，4岁时体重是18.0千克，6岁时，体重是21.0千克。 通过观察，我们发现妙想的年龄在发生变化，他的体重也在发生变化。 （2）年龄：出生时、2岁、4岁、6岁； 体重：3.5、14.0、18.0、21.0千克； 6岁前，妙想的年龄在增长，体重也随着增加。 【考点剖析】本题考查了看图获取数学信息的能力和根据信息解决问题的能力。 【变式训练1】下表是不同年龄儿童每分呼吸次数统计表。 年龄 新生儿 1岁 3岁 7岁 14岁 呼吸次数/分 42 30 24 22 20 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说，儿童14岁前每分呼吸次数是如何随年龄的增长而变化的。 【答案】（1）年龄、每分呼吸次数； （2）每分呼吸次数随年龄的增长而减少。 【易错思路引导】（1）根据表中数据可知，年龄在增加，呼吸的次数在减少，由此可知，年龄、每分钟呼吸次数在发生变化，据此解答； （2）观察表中数据可知，随着年龄的增长，每分钟呼吸次数在减少，据此解答。 【规范解答】（1）根据分析可知，表中的年龄和每分钟呼吸次数是发生变化。 （2）根据分析可知，14岁儿童每分钟呼吸次数随着年龄的增长而减少。 【考点剖析】解答本题的关键是弄清楚哪个量是在变化，进而解答。 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）通过实验研究，专家们发现：六年级学生听课的注意力指标y是随着老师讲课时间x的变化而变化的。变化的关系如图所示。（y越大表示学生的注意力越集中） （1）图中y的量是如何变化的？ （2）对学生和老师的建议是什么？ 【答案】见详解 【易错思路引导】（1）折线往上表示上升趋势，折线平缓无变化表示保持，折线往下表示下降趋势，据此分析； （2）根据注意力的变化情况进行解答，答案不唯一，合理即可。 【规范解答】（1）注意力指标y先呈上升趋势，在第10分达到巅峰，并保持10分，然后一路下滑，直到下课。 （2）老师可以通过一些方法提高学生的注意力，学生在20分以后尽量自我提醒，防止自己的注意力下滑。 【变式训练3】下面是好运公司2001年各月利润情况统计图。 （1）________月利润最多，是________万元；________利润最少，是________万元。     （2）________到________月的利润持续上升，________月到________月的利润持续下降。 【答案】 10 50 4 20 4 10 1 4 【易错思路引导】（1）根据统计图中各点对应的钱数和月份判断； （2）根据折线的走势判断利润上升和下降的时间段即可。 【规范解答】（1）根据各点的位置及对应的数据可知，10月的利润最多，是50万元；4月的利润最少，是20万元； （2）根据折线的走势可知，4月到10月的利润持续上升，1月到4月的利润持续下降。 【考点剖析】本题主要考查对变化的量的认识，读懂统计图是解题的关键。 易错考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·课后作业）看图回答问题。 （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重有什么变化？ （2）从统计图中可以看出，女生在哪个年龄段平均体重增加最快？ （3）平均体重的增加与年龄增长成正比例吗？试举例说明理由。 （4）从上图中，你还能得到哪些信息？ 【答案】（1）平均体重越来越重 （2）11~12岁 （3）不成正比例，理由见详解 （4）见详解 【易错思路引导】（1）观察折线统计图，根据两条折线的变化趋势，折线向上表示体重向上升的趋势，折线向下表示体重向下降的趋势； （2）计算女生每两岁之间平均体重相差的重量，比较大小，求出女生在哪个年龄段平均体重增加最快； （3）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x∶y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； （4）观察折线统计图，比较男生和女生在6~12岁平均体重的变化数据，据此回答。（答案不唯一） 【规范解答】⑴从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重越来越重。 （2）20.4－18.7＝1.7（千克） 22.4－20.4＝2（千克） 24.6－22.4＝2.2（千克） 27.1－24.6＝2.5（千克） 30.1－27.1＝3（千克） 34.3－30.1＝4.2（千克） 1.7＜2＜2.2＜2.5＜3＜4.2 答：女生在11~12岁这个年龄段平均体重增长最快。 （3）男生6岁时的平均体重是18.7千克，体重与年龄的比值是：18.7∶6≈3.12；当男生7岁时平均体重是21千克，体重与年龄的比值是：21∶7＝3；比值不相同，所以体重的增加与年龄的增长不成正比例。（举例答案不唯一） （4）6~11岁，男生的平均体重比女生重，而11~12岁，女生的平均体重超过了男生。（答案不唯一） 【变式训练1】（2023·陕西西安·小升初真题）如图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 (1)这个水龙头出水量和打开的时间成( )比例关系。 (2)照这样计算，2分出水( )升。 【答案】(1)正 (2)24 【易错思路引导】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）从图中可以看出60秒出水12升，即1分出水12升，据此即可求出2分的出水量。 【规范解答】（1）＝＝＝＝＝＝…＝0.2（一定） 乘积一定，所以这个水龙头出水量和打开的时间成正比例关系。 （2）由图可知，1分出水12升，那么2分出水： 12×2＝24（升） 照这样计算，2分出水24升。 【变式训练2】（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？ 【答案】8米 【易错思路引导】根据题意可知，同一时刻，物体的实际高度与影长的比值一定，那么物体的实际高度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】解：设这根旗杆的实际高度是米。 1.6∶2.4＝∶12 2.4＝1.6×12 2.4＝19.2 ＝19.2÷2.4 ＝8 答：这根旗杆的实际高度是8米。 【变式训练3】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）下面的图像表示甲车和乙车行驶的路程和时间的关系。 （1）从图像上看两车行驶的路程和时间成（    ）比例，（    ）车行驶得快。 （2）已知甲、乙两地的距离是900千米。如果甲乙两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？ 【答案】（1）正；甲；（2）7.5小时 【易错思路引导】（1）通过观察可知，速度＝路程÷时间，甲的速度：24÷20＝1.2（千米/分），乙的速度：24÷30＝0.8（千米/分），两车的速度一定，说明两车行驶的路程和时间成正比例，通过比较可知，甲车行驶的比较快。 （2）根据相遇时间＝路程÷速度之和，用900÷（1.2＋0.8）即可求出相遇时间，再把单位换算成小时。 【规范解答】（1）甲的速度：24÷20＝1.2（千米/分） 乙的速度：24÷30＝0.8（千米/分） 1.2＞0.8 两车行驶的路程和时间成正比例，通过比较可知，甲车行驶的比较快。 （2）900÷（1.2＋0.8） ＝900÷2 ＝450（分钟） 450分钟＝7.5小时 答：7.5小时后两车相遇。 易错考点三：正比例图象的认识 【典例精讲】（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 【答案】（1）成正比例；因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 （2）图见详解 （3）63；200 【易错思路引导】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （3）由第（1）题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后项，用比的前项除以比值即可；求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项乘比值即可。 【规范解答】（1）（一定） 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定。 （2）根据分析如图： （3）80÷12＝（千米/千瓦时） 420÷＝420×＝63（千瓦时） ×30＝200（千米） 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时；30千瓦时的电可行驶200千米。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 【答案】（1）成正比例；理由见详解 （2）见详解 （3）144；18 【易错思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。对于生产总量和生产时间，15÷1＝15（吨/时），30÷2＝15（吨/时），45÷3＝15（吨/时），60÷4＝15（吨/时）…，即生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 （2）表格中生产时间为0时，生产总量0吨，对应坐标（0，0）；生产时间1时，生产总量15吨，对应（1，15）；生产时间2时，对应（2，30）；以此类推，直到生产时间7时，对应（7，105）。在方格纸上，找到对应的横（生产时间）、纵（生产总量）坐标点，然后用直尺顺次连接这些点，会得到一条经过原点的直线。 （3）由（1）可知每小时生产15吨，即生产效率是15吨/时。对于“9.6时可以生产酸奶多少吨”，根据“生产总量＝生产效率×生产时间”计算；对于“生产270吨需要多少时”，根据“生产时间＝生产总量÷生产效率”计算。 【规范解答】（1）15÷1＝15（吨/时） 30÷2＝15（吨/时） 45÷3＝15（吨/时） 60÷4＝15（吨/时） 生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 答：该酸奶生产线上的生产总量与生产时间成正比例，因为生产总量和生产时间是相关联的量，且生产总量与生产时间的比值（每小时生产的量）一定，所以成正比例。 （2）如图： （3）15×9.6＝144（吨） 270÷15＝18（时） 该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶144吨；生产270吨酸奶需要18时。 【变式训练2】（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【答案】(1)汽车行驶30km时，耗油量是3L（答案不唯一） (2)正 (3)12 【易错思路引导】（1）观察图象，横轴代表路程，纵轴代表耗油量，点A对应的横轴数量是30km，纵轴数量是3L，所以点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。从图中选取几组数据，如行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；再看行驶80km时，耗油量是8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）因为路程和耗油量成正比例，比值为10，即每耗油1L可行驶10km，如果汽车行驶120km，用路程除以每升油行驶的路程即可计算出耗油量。 【规范解答】（1）点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。（答案不唯一） （2）行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；行驶80km耗油8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）120÷10＝12（L） 如果汽车行驶120km，需要耗油12L。 【变式训练3】（24-25六年级下·广东清远·期末）“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。（唐·李白）”李师傅开车以60千米/时的平均速度，从白帝城出发，经过7时到达江陵。 （1）将下表补充完整。 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 行驶路程/km 0 60 120 180 （2）先根据上表描点，再顺次连接。你发现了什么？行驶的路程和时间成什么比例？ （3）江陵多雾，从江陵返回白帝城时，李师傅开车的平均速度为50千米/时，需要多长时间能行驶完全程？ 【答案】（1）填表见详解 （2）作图见详解 （3）8.4时 【易错思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，代入数据计算即可把表格补充完整； （2）根据表中的数据描点，连线，根据连线后图形的特点写出发现；根据图形的特点判断成什么比例； （3）根据速度×时间＝路程，用60×7列式求出全程，再根据时间＝路程÷速度，用60×7÷50求出需要的时间。 【规范解答】（1）如表： 时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 行驶路程/km 0 60 120 180 240 300 360 420 （2）根据表中数据，在下图描出各点。你发现了什么？行驶的路程和时间成什么比例？ 答：我发现所描的点都在一条直线上，行驶的路程和时间成正比例。 （3）60×7÷50 ＝420÷50 ＝8.4（时） 答：需要8.4时能行驶完全程。 易错考点四：正比例的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）马和长颈鹿的奔跑情况如下图。    （1）马奔跑的路程和时间是否成正比例？长颈鹿呢？ （2）马和长颈鹿18分各跑多少千米？ （3）从图象上看，马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 【答案】（1）成正比例；成正比例； （2）马21.6千米，长颈鹿14.4千米 （3）马 【易错思路引导】（1）比值一定的两个量成正比例关系，据此判断马和长颈鹿奔跑的路程和时间是否成正比例关系； （2）路程＝速度×时间，据此求出马和长颈鹿18分各跑多少千米； （3）根据图像易知，马奔跑的斜线较陡，则马跑得快。 【规范解答】（1）12∶10＝24∶20＝1.2 8∶10＝16∶20＝0.8 答：马奔跑的路程和时间成正比例，长颈鹿奔跑的路程和时间成正比例。 （2）18×1.2＝21.6（千米） 18×0.8＝14.4（千米） 答：马和长颈鹿18分各跑21.6千米和14.4千米。 （3）答：从图象上看，马跑得快。 【考点剖析】本题考查了正比例，掌握正比例的意义和图像是解题的关键。 【变式训练1】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）下面是“天下第一泉”的趵突泉一段时间的喷水量和喷涌天数统计表。 喷水量/立方米 16万 32万 48万 64万 96万 喷涌天数/天 1 2 3 4 6 （1）表中趵突泉的喷水量和喷涌天数成正比例吗？为什么？ （2）在下图中描出喷水量和对应喷涌天数的点，然后连接起来，你发现了什么？    （3）利用图象判断，5天的喷水量是多少立方米？ 【答案】（1）成正比例；因为喷水量和喷涌天数的比值一定； （2）见详解； （3）80万立方米 【易错思路引导】（1）比值一定的两个量成正比例关系。据此，求出喷水量和对应喷涌天数的比值，判断这两个量是否成正比例关系； （2）根据喷水量和对应喷涌天数，画出对应的图像，再谈谈自己的发现即可；（答案不唯一） （3）根据图像，直接写出5天的喷水量是多少立方米。 【规范解答】（1）16∶1＝32∶2＝48∶3＝64∶4＝96∶6＝16 答：表中趵突泉的喷水量和喷涌天数成正比例。因为喷水量和喷涌天数的比值是一定的。 （2）如图：    我发现正比例的图像是一条直线。（说法不唯一） （3）答：5天的喷水量是80万立方米。 【考点剖析】本题考查了正比例，掌握正比例的意义和图像是解题的关键。 【变式训练2】印刷厂准备把一批笔记本打包，运往商店。 包数/包 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 本数/本 0 40 80 120 160 … （1）把上表填完整。 （2）判断本数与笔记本的包数是否成正比例，并说明理由。 （3）把上表中包数与本数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。    【答案】见详解 【易错思路引导】（1）看表，1包是40本，那么5包是5×40＝200（本），据此类推，从而填表； （2）商一定的两个量成正比例关系。判断本数和包数是否商一定，即可判断本数与笔记本的包数是否成正比例； （3）根据（1）完善的表，先描点，再连线。 【规范解答】（1）4×40＝160（本） 5×40＝200（本） 6×40＝240（本） 7×40＝280（本） 8×40＝320（本） 填表如下： 包数/包 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 本数/本 0 40 80 120 160 200 240 280 320 … （2）因为40÷1＝40（本） 80÷2＝40（本） 120÷3＝40（本） 160÷4＝40（本） 200÷5＝40（本） 240÷6＝40（本） 280÷7＝40（本） 总本数÷书的包数＝每包书中的本数（一定），所以书的包数和总本数成正比例关系。 （3）统计图如下：    【考点剖析】本题考查了正比例，掌握正比例的意义是解题的关键。 【变式训练3】下面的图像表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系。 （1）根据图像，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？     （2）如果用y表示用煤的数，x表示用煤的天数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为________。     （3）根据图像判断，5天要用煤多少吨？2.4吨煤可用多少天？ 【答案】（1）成正比例 （2） （一定） （3）5天烧1.5吨；2.4吨可用8天 【规范解答】略 【考点剖析】两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化，即一种量变大，另一种量也随着变大，它们的商一定，那么它们的关系就是正比例关系。 37．（24-25六年级下·福建泉州·期中）把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，底面积和水面高度的变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水面高度/cm 45 30 22.5 18 … (1)如果长方体容器底面积用S表示，水面高度用h表示，那么S和h成( )比例。 (2)如果底面积是90cm2，水面高度是( )cm。 【答案】(1)反 (2)5 【易错思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，它们就成反比例关系。已知水的体积相同，根据长方体体积公式V＝Sh（V是体积），表格中10×45＝450，15×30＝450，20×22.5＝450，25×18＝450，即S和h的乘积始终是450（一定），所以S和h成反比例。 （2）因为S×h＝450（体积一定），已知底面积是90cm2，用体积除以底面积即可计算出水面高度。 【规范解答】（1）10×45＝450，15×30＝450，20×22.5＝450，25×18＝450，即S和h的乘积始终是450（一定），所以S和h成反比例。 （2）450÷90＝5（cm） 如果底面积是90cm2，水面高度是5cm。 易错考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解 （2）12天 【易错思路引导】（1）反比例关系的定义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格中的数据计算每天装配数量和时间相对应的乘积，看是否相等。 （2）由于每天装配数量和时间成反比例关系，它们的乘积始终是这批童车的总数（3600辆）。已知每天装配300辆，根据“时间＝总数÷每天装配数量”来计算天数。 【规范解答】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 180×20＝3600（辆） 答：每天装配的数量与时间成反比例关系，原因是两种相关联的量乘积一定。 （2）3600÷300＝12（天） 答：如果该童车厂每天装配300辆，那么需要12天。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个工厂的工人加工一批零件的情况如表。 加工的时间/时 4 5 10 12 每小时加工零件的个数/个 60 24 15 20 观察并补全表格可以发现：加工的时间与每小时加工零件的个数成（    ）比例。（填“正”或“反”） 【答案】表格见详解；反 【易错思路引导】根据题意可知，每小时加工零件的个数×加工时间＝加工零件的个数；据此补充完整的表格。 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】4×60＝240（个） 10×24＝240（个） 12×20＝240（个） 240÷5＝48（个） 240÷15＝16（时） 填表如下： 加工的时间/时 4 5 10 16 12 每小时加工零件的个数/个 60 48 24 15 20 4×60＝5×48＝10×24＝16×15＝12×20＝240（一定），所以加工的时间与每小时加工零件的个数成反比例。 【变式训练2】下列判断中正确的有（    ）个 ①因为周长相等的两个圆，面积一定相等，所以周长相等的两个长方形，面积也一定相等。 ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体的。 ③xy＝k＋5.4（k＋5.4≠0），当k一定时，x和y成反比例。 ④一个圆的半径增加10％，它的面积增加21％。 ⑤甲数比乙数多，乙数比甲数少。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【易错思路引导】①周长相等的两个圆，半径相等，所以面积也相等，但周长相等的两个长方形，长和宽不一定相等，所以面积不一定相等； ②根据圆锥体的体积公式V＝Sh和圆柱体的体积公式V＝Sh，等底等高的情况下，圆锥体体积是圆柱体体积的。 ③相关联的两个量，乘积一定时成反比例，k＋5.4，当k一定时，k＋5.4也是定值，据此作答。 ④假设原来的半径为1，半径增加10％，半径变成1×（1＋10％）＝1.1，根据圆形的面积公式S＝πr²，用原圆形的面积与半径增加后的面积差除以原圆形的面积便可算出面积增加的百分比。 ⑤甲数比乙数多，把乙数看作单位“1”，则甲数是乙数的（1＋），用1乘（1＋）即可求出甲数。求一个数比另一个数多（或少）几分之几，先求出多（或少）的具体数量，再除以单位“1”数量即可解答。据此求乙数比甲数少几分之几，用两数的差除以甲数即可解答。 【规范解答】①周长相等的两个圆，半径相等，所以面积也相等，但周长相等的两个长方形，长和宽不一定相等，所以面积不一定相等。原题说法错误。 ②圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，原题说法正确； ③ xy＝k＋5.4（k＋5.4≠0），当k一定时，x和y成反比例。原题说法正确； ④假设原来的半径为1，半径增加10％，半径变成1×（1＋10％）＝1.1，面积增加了 （1.12π－12π）÷12π ＝（1.21－1）π÷1π×100% ＝0.21÷1×100% ＝21% 因此原题说法正确； ⑤根据分析： 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 甲数比乙数多，乙数比甲数少。原题说法正确。 所以说法正确的有4个。 故答案为：A 【考点剖析】该题考查了对求比一个数多/少几分之几的数的运算能力，对反比例的意义的掌握情况以及对圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积的掌握情况。掌握求比一个数多/少几分之几的数的运算，了解反比例的意义及辨识，熟练运用圆的面积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式是解答本题的关键。 【变式训练3】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【答案】（1）40；30； （2）成反比例，原因见详解 （3）20辆 【易错思路引导】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【规范解答】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 易错考点六：反比例的应用 【典例精讲】（2023·陕西西安·小升初真题）在一根粗细均匀竹竿的中点处打个孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔做一个记号。如果在左边刻度4上用塑料袋挂6个棋子，则在右边刻度3上用塑料袋挂（    ）个棋子才能保持平衡。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【易错思路引导】根据题干，由杠杆平衡原理可得：在竹竿平衡的情况下，每个袋子中的棋子数与对应刻度的乘积是一定的，即每个袋子中的棋子数与对应刻度成反比例，据此即可求解。 【规范解答】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（个） 在右边刻度3上用塑料袋挂8个棋子才能保持平衡。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查了反比例问题，关键是理解每个袋子中的棋子数与对应刻度的乘积是一定的。 【变式训练1】读书小组同读一本书，下表记录的是每人读这本书所用的时间，请把下表补充完整，然后回答下列问题： 淘气 笑笑 欢欢 天数 3 4 6 每天读的页数 80 ( ) ( ) ①不同的人在读这本书时，( )没有变； ②每天读的页数和天数有什么关系？( ) ③小强平均每天读15页，( )天看完。 【答案】 60 40 这本书的总页数 成反比例 16 【易错思路引导】由于总页数是固定的，即总页数是：3×80＝240（页），用240分别除以笑笑和欢欢看的天数即可求出她俩每天看的页数。 ①由于读的是同一本书，不同人去读同一本书，这本书的总页数是不变的，据此填空； ②由于每天读的页数×读的天数＝这本书的总页数（一定），两个相关联的量乘积一定，则成反比例关系； ③用书的总页数除以15即可求出小强多少天看完。 【规范解答】如下表： 淘气 笑笑 欢欢 天数 3 4 6 每天读的页数 80 60 40 ①不同的人在读这本书时，总页数没有变； ②每天读的页数×读的天数＝总页数（一定），则每天读的页数和天数成反比例关系。 ③240÷15＝16（天） 小强平均每天读15页，16天看完。 【考点剖析】本题主要考查反比例的辨识，熟练掌握反比例的意义是解题的关键。 【变式训练2】下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 【答案】1000 【易错思路引导】因为两个是相互交合的齿轮，即转动齿数相等，所以转动的周数和每周齿数成反比，由此列出比例解决问题。 【规范解答】3dm＝30cm 解：设小齿轮要转动x周。 100×3.14×2×30＝3.14×2×3×x 100×2×30＝2×3×x 100×30＝3×x 3000＝3x x＝1000 【考点剖析】答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，另外还要注意单位的统一。 1．下列关系式中，表示x和y成反比例的关系式是（    ）。 A．y÷x＝k（一定） B．x＋y＝k（一定） C．xy＝k（一定） 【答案】C 【易错思路引导】依据反比例的意义，即如果两个量的乘积一定，就说这两个量成反比例，据此即可作出正确选择。 【规范解答】xy＝k（一定），表示x和y的乘积一定，因此成反比例； 故答案为：C 【考点剖析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 2．平行四边形的面积一定，平行四边形的底和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】B 【易错思路引导】判断平行四边形的底和高之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】因为平行四边形的底×高＝平行四边形的面积（一定），所以平行四边形的底和高成反比例； 故答案为：B 【考点剖析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 3．m，n是两种相关联的量（m，n均不为0），下列各式中，m和n成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【易错思路引导】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，两种量成反比例关系。 【规范解答】A．m和n的比值一定，m和n成正比例关系。 B．根据＝m，得＝2，比值一定，m和n成正比例关系。 C．根据＝，得＝，比值一定，m和n成正比例关系。 D．根据＝8，得mn＝，乘积一定，m和n成反比例关系。 故答案为：D 【考点剖析】辨识两种量成正比例还是成反比例，就看两种量的比值一定还是乘积一定。 4．下面各选项中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．奇思读一本书，已读的页数和剩下的页数 B．苹果的单价一定，购买的数量和总价 C．三角形的面积一定，它的底和高 【答案】C 【易错思路引导】两个相关联的量，若比值一定，则两个量成正比例关系；若乘积一定，则两个量成反比例关系。 【规范解答】A．已读的页数＋剩下的页数＝这本书的总页数，已读的页数和剩下的页数不成比例关系，错误； B．总价÷数量＝单价，单价一定，即商一定，购买的数量和总价成正比例关系，错误； C．三角形的面积×2＝底×高，三角形的面积一定，即乘积一定，三角形的底和高成反比例关系，正确。 故答案为：C 【考点剖析】本题属于辨析成正比例关系和成反比例关系的量，就看它们是比值一定，还是乘积一定。 5．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下列各种数量关系中，成反比例的是（    ）。 A．出油率一定，大豆质量和大豆油的质量 B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．已知，与 【答案】C 【易错思路引导】判断两个相关联的量呈正比例或反比例时，要看两个变量的比值或乘积是否为定值，据此解答。 【规范解答】A．出油率＝大豆质量÷大豆油的质量×100%，出油率一定，即大豆质量与大豆油的质量的比值一定，那么大豆质量与大豆油的质量成正比例； B．正方体表面积＝6×每个面的面积，即正方体表面积÷每个面的面积＝6（定值），正方体表面积与每个面的面积的比值一定，那么正方体表面积与每个面的面积成正比例； C．比的前项÷比的后项＝比值，即比的前项＝比的后项×比值，比的前项一定，即比的后项与比值的乘积一定，那么比的后项与比值成反比例； D．（一定），即与的比值一定，那么与成正比例。 故答案为：C 6．（2025·吉林长春·小升初真题）六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【易错思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】优秀率＝优秀的人数÷总人数×100%；则优秀的人数÷优秀率×100%＝总人数（一定），即优秀的人数∶优秀率＝总人数（一定），优秀的人数与优秀率成正比例。 六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率成正比例。 故答案为：A 7．圆柱的高一定，它体积和( )成正比例。 【答案】底面积 【易错思路引导】判断体积和底面积、半径、周长是否成比例，就看这两种量是否是对应的乘积（商）一定，如果是乘积（商）一定，就成反（正）比例，如果不是乘积（商）一定或乘积（商）不一定，就不成比例。 【规范解答】因为：圆柱的体积÷底面积＝高（一定）也就是圆柱的体积与底面积的商一定，符合正比例的意义，所以圆柱的体积与底面积成正比例 【考点剖析】此题考查用正反比例的意义辨识成正比例的量与成反比例的量。 8．已知4x＝5y，x和y成________比例，x∶y＝________。 【答案】 正 5∶4 【易错思路引导】判断x与y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例。 【规范解答】4x＝5y，则＝（比值一定），x和y成正比例，x∶y＝5∶4。 【考点剖析】考查了正比例的辨认和比例的基本性质的应用，学生应掌握。 9．圆锥的高一定，底面积和体积成( )比例。 【答案】正 【易错思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此进行解答即可。 【规范解答】由圆锥的高＝体积÷底面积可知，圆锥的高一定，体积和底面积的比值一定，所以成正比例关系。 【考点剖析】此题主要考查学生对正、反比例的认识与实际应用解题，需要理解判断两个量是正比例还是反比例，就是看比值一定还是乘积一定。 10．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）已知a、b均不为0，若ab＝7，则a和b成( )比例；若，则a和b成( )比例。（填“正”或“反”） 【答案】 反 正 【易错思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量随着变化，如果相对应的两个数的比值一定，则两种量成正比例；如果相对应的两个数的积一定，则两种量成反比例，据此分析。 【规范解答】已知a、b均不为0，若ab＝7，即a和b的积一定，则a和b成反比例；若，即a和b的比值一定，则a和b成正比例。 11．（23-24六年级下·四川成都·期末）某天同一时刻，小明在广场上测得一把竖直放立的米尺在地面的影长约为60厘米，一棵大树的影长约为9米。这棵大树实际高约( )米。 【答案】15 【易错思路引导】先统一单位，60厘米＝0.6米；同一时间，同一地点，物体的高度和影长成正比例，设大树的实际高是x米，可列出比例0.6∶1＝9∶x，然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得0.6x＝9，根据等式的性质，两边同时除以0.6求解出x，即大树的实际高度。 【规范解答】60厘米＝0.6米 解：设大树的实际高是x米。 0.6∶1＝9∶x 0.6x＝9 0.6x÷0.6＝9÷0.6 x＝15 所以大树的实际高约15米。 12．（24-25六年级下·陕西延安·期末）少儿科普杂志《爱科学》单价一定，订阅这种杂志的总价与订阅数量成正比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】判断两种量是否成正比例，需看它们的比值是否一定。总价＝单价×数量，单价一定时，总价与数量的比值等于单价（定值），因此成正比例。 【规范解答】根据正比例的定义，两种相关联的量的比值一定时，它们成正比例。由题意可知，总价÷数量＝单价（一定），因此订阅《爱科学》的总价与订阅数量成正比例。 故答案为：√ 13．（2025·陕西榆林·小升初真题）若（、均不为0），则与成反比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】已知5∶x＝3y（x、y均不为0），则3y×x＝5，即3xy＝5。将3xy＝5两边同时除以3，得到xy＝。反比例的定义为：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。因为x与y的乘积是一个定值，所以x与y成反比例。 【规范解答】5∶x＝3y（x、y均不为0） 3y×x＝5 3xy＝5 xy＝（一定） 所以x与y成反比例，原说法正确。 故答案为：√ 14．解方程。 x－x＝                   42∶＝x∶ 5x＋16×2＝36                  ＝ 【答案】x＝3；x＝50 x＝；x＝2.5 【易错思路引导】（1）先计算出方程左边x－x＝x，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原方程的解； （2）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程x＝42×，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原比例的解； （3）先计算出方程左边16×2＝32，再根据等式的性质，方程两边都减32，再都除以5即可得到原方程的解； （4）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程1.2x＝7.5×0.4，再根据等式的性质，方程两边都除以1.2即可得到原比例的解。 【规范解答】（1）x－x＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝÷ x＝× x＝3 （2）42∶＝x∶ 解：x＝42× x＝30 x÷＝30÷ x＝30× x＝50 （3）5x＋16×2＝36 解：5x＋32＝36 5x＋32－32＝36－32 5x＝4 5x÷5＝4÷5 x＝ （4）＝  解：1.2x＝7.5×0.4 1.2x÷1.2＝7.5×0.4÷1.2 x＝2.5 15．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）某商场全部商品六折出售。 （1）完成下表。 原价/元 10 20 30 40 现价/元 （2）根据上表描点，再顺次连接各点。 （3）点（70，63）在这条线上吗？为什么？ （4）如果用x表示原价，y表示现价，那么y＝（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）不在；理由见详解 （4）60%x 【易错思路引导】（1）六折是指现价是原价的60%，把原价看成单位“1”，用原价乘上60%就是现价，10×60%＝6（元）；20×60%＝12（元）；30×60%＝18（元）；40×60%＝24（元）；由此计算填表即可。 （2）根据（1）的计算，原价10元对应现价6元，原价20元对应现价12元，原价30元对应现价18元，原价40元对应现价24元，在图中相对应的点描出来，并按顺序连起来。 （3）点（70，63）表示原价70元，现价63元。用70乘60%求出现价，如等于63则在这条直线上，否则不在。 （4）根据现价是原价的60%，如果用x表示原价，y表示现价，那么y＝60%x；据此解答。 【规范解答】（1）六折＝60% 10×60% ＝10×0.6 ＝6（元） 20×60% ＝20×0.6 ＝12（元） 30×60% ＝30×0.6 ＝18（元） 40×60% ＝40×0.6 ＝24（元） 填表如下： 原价/元 10 20 30 40 现价/元 6 12 18 24 （2）画图如下： （3）70×60% ＝70×0.6 ＝42（元） 答：因为42元不等于63元，所以点（70，63）不在这条线上。 （4）如果用x表示原价，y表示现价，那么y＝60%x。 16．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）2022年5月，在中国儿童口罩非常短缺的情况下，某工厂4天生产了2400盒儿童口罩。照这样的速度，再生产5天一共可以生产多少盒儿童口罩？（用比例解答） 【答案】5400盒 【易错思路引导】因为工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系。设一共可以生产x盒儿童口罩，根据比例关系列方程2400∶4＝x∶（4＋5），据此解答。 【规范解答】已知4天生产2400盒，总共生产4＋5＝9天， 解：设一共可以生产x盒儿童口罩。 2400∶4＝x∶9 4x＝2400×9 4x＝21600 4x÷4＝21600÷4 x＝5400 答：一共可以生产5400盒儿童口罩。 17．（24-25六年级下·广东清远·期中）笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 【答案】（1）成；行驶的路程和耗油量的比值一定； （2）6； （3）需要加油；见详解 【易错思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）行驶的路程和耗油量的比值表示1升油可以行驶多少千米，汽车的耗油量＝汽车行驶的总路程÷每升油可以行驶的路程； （3）由上可知，每升汽油可以行驶10千米，求出4升汽油可以行驶的路程，再和50千米比较大小，结果大于50千米时不用加油，结果小于50千米时需要加油，据此解答。 【规范解答】（1）由图可知，（一定），因为行驶的路程和耗油量的比值一定，所以行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （2）60÷10＝6（升） 所以，汽车耗油6升。 （3）4×10＝40（千米） 因为40千米＜50千米，所以需要加油。 答：笑笑的爸爸需要加油。 18．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）磁悬浮列车匀速行驶，路程与时间的关系如下： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 … 路程/km 0 7 14 21 28 35 42 … （1）图中点A表示什么意思？ （2）描点，顺次连线，你发现了什么？ （3）根据图象估计，列车行驶4.5小时路程是多少？ （4）点（9，60）在各点所形成的图象上吗？为什么？ （5）如果B、C两个点都在这个图形上，请把两个点的数对补充完整B（15， ），C（ ，196）。 （6）这里的路程和时间成比例吗？为什么？ （7）s表示路程，t表示时间，请用含有字母的式子表示s与t的关系：（          ）。 【答案】（1）磁悬浮列车1分钟行驶了7千米 （2）图见详解；发现见详解 （3）1890千米 （4）不在；理由见详解 （5）105；28 （6）成正比例；理由见详解 （7）s＝7t 【易错思路引导】（1）从图中可知，点A是横轴1分钟和纵轴7千米的交点，据此得出点A表示的意思。 （2）根据表中的数据在图中先描点，再顺次连线，完成统计图的制作，并从中得出发现。 （3）1时＝60分，把时间单位统一，已知列车的速度是每分钟行驶7千米，根据“速度×时间＝路程”得出4.5小时行驶的路程。 （4）点（9，60）表示9分钟对应60千米；已知列车的速度是每分钟行驶7千米，根据“速度×时间＝路程”得出9分钟行驶的路程，即可判断。 （5）点B（15， ），即已知列车行驶15分钟，根据“速度×时间＝路程”得出列车15分钟行驶的路程，据此把数对补充完整； 点C（ ，196），即已知列车行驶196千米，根据“路程÷速度＝时间”得出列车行驶196千米所需的时间，据此把数对补充完整。 （6）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （7）已知列车的速度是每分钟行驶7千米，s表示路程，t表示时间，根据“路程＝速度×时间”，据此用含有字母的式子表示s与t的关系。 【规范解答】（1）图中点A表示磁悬浮列车1分钟行驶了7千米。 （2）如图： 我发现：所有点都在一条直线上。 （3） 1时＝60分，4.5×60＝270（分钟） 7×270＝1890（千米） 答：列车行驶4.5小时的路程是1890千米。 （4）7×9＝63（千米） 答：点（9，60）不在各点所形成的图象上。因为列车9分钟行驶63千米，不是60千米。 （5）7×15＝105（千米） 196÷7＝28（分钟） 如果B、C两个点都在这个图形上，请把两个点的数对补充完整B（15，105），C（28，196）。 （6）＝＝＝＝＝＝…＝7（一定） 答：这里的路程和时间成正比例。因为路程与时间的比值一定。 （7）s表示路程，t表示时间，请用含有字母的式子表示s与t的关系：（s＝7t）。 19．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一辆新能源纯电车的行驶路程和耗电量的对应数值如下表。 行驶路程/km 0 9 18 27 36 45 耗电量/千瓦时 0 1 2 3 4 5 （1）在图中把该汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描出来，并连线。 （2）该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）图见详解（2）正比例关系；理由见详解 【易错思路引导】（1）根据表格里行驶路程和耗电量的对应数据，在给定的坐标图中，找到每个数据对应的位置（比如行驶路程9千米对应耗电量1千瓦时，就找到坐标9、坐标1的点 ），然后把这些点用直线连起来。据此完成操作。 （2）判断两种相关联的量是否成正比例关系，关键看它们的比值是否一定。即耗电量÷行驶路程是否一定，计算它们的比值，若比值始终不变，就成正比例关系。据此解答。 【规范解答】 （1） （2）计算比值：耗电量÷行驶路程 1÷9＝，2÷18＝，3÷27＝，4÷36＝，5÷45＝ 可以看到，耗电量与行驶路程的比值一直是，是固定不变的。所以，该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系。 20．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【易错思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $