第四单元 正比例和反比例（举一反三讲义）知识梳理+六大考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册重难点讲义

第四单元 正比例和反比例 【解析版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二：反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三：判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四：用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 高频考点一：变化的量 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【答案】（1）18米；3米 （2）0～6分；6～12分 （3）12分 【思路引导】（1）根据折线统计图的变化，可以发现，最高的点是18米，最低点是3米； （2）转动第一圈是0分到12分之间，在这个时间段里面可以发现，人所在座舱的高度在0分到6分从3米上升到了18米，从6分到12分从18米下降到了3米； （3）第一个最高点的时间是6分，第二个最高点的时间是18分，相差12分，则每12分钟，就会到达下一个最高点。 【规范解答】（1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 （2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 （3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 【变式训练1】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【答案】(1)1 (2)4 (3) 没有变化 有变化 【思路引导】（1）竖轴表示速度，横轴表示时间，找到竖轴400米/分对应的时间即可； （2）观察横轴即可得出从解放路站到商场站共行驶的时间； （3）折线平缓无变化，表示速度不变；速度×时间＝路程，车辆行驶中，随着时间的变化，路程也在发生变化，据此分析。 【规范解答】（1）公共汽车速度从0提高到400米/分，用了1分。 （2）公共汽车从解放路站到商场站共行驶了4分。 （3）公共汽车从1分到3分，行驶的速度没有变化，行驶的路程有变化。 【变式训练2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 【答案】(1) 23 6 0.01/百分之一 (2) 二百零八亿六千四百万 2086400万 209亿 (3)4.73 (4)B 【思路引导】（1）每个数位上的数都有相对应的计数单位，个位的计数单位是个（一），十位的计数单位是十，十分位的计数单位是十分之一，百分位的计数单位是百分之一，每相邻两个计数单位之间的进率是10。据此解答。 （2）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。先读亿级，再读万级，最后读个级。每级内都先按照个级的读法来读，再在后面加一个“亿”（“万”）字。每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。把整万的数改写成用“万”做单位的数，要先分级，再将个级的四个0省略，换成“万”字。省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，也就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。据此解答。 （3）比例尺是图上距离和实际距离的比，图上距离等于实际距离（先换算成厘米）乘比例尺，据此计算。 （4）从图上看两个相关联的量随着一个量的增大，另一个量也增大。据此逐个选项分析。 【规范解答】（1）十位上是2，表示2个十（20个一）；个位上是3，表示3个一；十分位是6，表示6个十分之一（0.1）；百分位是5，表示5个百分之一（0.01）。故23.65是由23个一，6个十分之一和5个百分之一组成。 （2）横线上的数读作二百零八亿六千四百万，把它改写成用“万”作单位的数是2086400万，省略“亿”位后面的尾数约是209亿。 （3） （厘米） 故把它画在比例尺是1∶500000的图上，长4.73厘米。 （4）A．起点到终点距离一定，平均速度越大，运行时间越短，与图像不符； B．笑笑一行四人，票价是固定的，所以购买车票的张数增大，购票总价也增大，与图像符合； C．地铁中每个人的身高和他的年龄没有必然联系（不是相关联的量），与图像不符； D．地铁运行中，随着已走的路程的增大，剩下的路程是变小的，与图像不符。 故答案为：B 【变式训练3】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 【答案】(1) 年龄 体重 (2) 增长 增加 【思路引导】（1）观察表格，年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重。 （2）根据表格中的数据，发现妙想6岁前的体重随年龄的增长而增大。 【规范解答】（1）出生时重是3.5千克，2岁时重是14.0千克，4岁时体重是18.0千克，6岁时，体重是21.0千克。 通过观察，我们发现妙想的年龄在发生变化，他的体重也在发生变化。 （2）年龄：出生时、2岁、4岁、6岁； 体重：3.5、14.0、18.0、21.0千克； 6岁前，妙想的年龄在增长，体重也随着增加。 【考点剖析】本题考查了看图获取数学信息的能力和根据信息解决问题的能力。 高频考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）奇思一家坐高铁去北京游玩，这列车行驶的时间和路程的关系如图所示。 (1)这列车行驶600km需要( )时。 (2)这列车行驶的路程和时间成( )比例。 【答案】(1)3 (2)正 【思路引导】（1）观察图像，找到竖轴600km对应的横轴时间即可； （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系。正比例图像是一条经过原点的直线，通过图像也可确定路程和时间的比例关系。 【规范解答】（1）这列车行驶600km需要3时。 （2）200÷1＝200（km）、400÷2＝200（km）、600÷3＝200（km）…… 路程÷时间＝速度（一定），这列车行驶的路程和时间成正比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·福建南平·期末）下列各个选项中表述正确的是（    ）。 ①在同一个圆中，圆的周长和直径成正比例关系。 ②国家速滑馆冰面面积达1.2万平方米，相当于1.2公顷。 ③一个数的倍数比它的因数大。 ④六（1）班共50名学生，今天全部到校，出勤率是50%。 A．①② B．③④ C．①④ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】①根据圆的周长公式C＝πd，π是一个定值，所以＝π（一定），符合正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。所以在同一个圆中，圆的周长和直径成正比例关系。 ②1.2万平方米＝12000平方米，因为1公顷＝10000平方米，12000平方米＝1.2公顷，所以国家速滑馆冰面面积达1.2万平方米，相当于1.2公顷。 ③一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，所以倍数不一定比因数大。 ④出勤率的计算公式是“出勤率＝出勤人数÷总人数×100%”，全部到校时，出勤率为100%，六（1）班共50名学生，今天全部到校，即出勤率为100%，而不是50%。 【规范解答】①根据圆的周长公式C＝πd得＝π（一定），周长和直径成正比例，原题说法正确。 ②1.2万平方米＝12000平方米＝1.2公顷，原题说法正确。 ③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，倍数不一定比因数大，例如5的最大因数是5，5的最小倍数也是5，此时倍数和因数相等，原题说法错误。 ④全部到校，出勤率是100%，不是50%，原题说法错误。 综上，表述正确的是①②。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25六年级下·广东清远·期中）在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 【答案】(1)树高与影长的比值 (2)正 (3)147 【思路引导】（1）分别计算出树高与影长的比值，可以发现树高与影长的比值均为，没有变。据此解答。 （2）因为树高与影长的比值一定，根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以树高和影长成正比例。 （3）由前面可知树高与影长的比值为，已知塔的影长是88.2米，设这座塔的高为x米，根据正比例关系可列比例为＝；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得3x＝5×88.2，先计算出5×88.2＝441，然后根据等式的性质，两边同时除以3求解出x，即为塔的高度。 【规范解答】（1）4÷2.4＝＝＝ 5÷3＝ 6÷3.6＝＝＝ 7÷4.2＝＝＝ 因此可以发现树高与影长的比值没有变。 （2）因为树高与影长的比值一定，所以树高和影长成正比例。 （3）解：设这座塔的高是xm。 ＝ 3x＝5×88.2 3x＝441 3x÷3＝441÷3 x＝147 因此，这座塔的高是147m。 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解； （2）80袋 【思路引导】（1）用总价除以数量，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就成正比例关系。进行判断。 （2）设他买了x袋这种榆林豆腐，因为总价与数量成正比例关系，所以可得比例：x∶144＝4∶7.2，然后根据比例的基本性质求解即可。 【规范解答】（1）7.2÷4＝1.8（元/袋） 14.4÷8＝1.8（元/袋） 21.6÷12＝1.8（元/袋） 28.8÷16＝1.8（元/袋） 36÷20＝1.8（元/袋） 答：这种榆林豆腐的总价与数量成正比例关系，因为总价与数量的比值一定。 （2）解：设他买了x袋这种榆林豆腐 x∶144＝4∶7.2 7.2x＝144×4 7.2x＝576 7.2x÷7.2＝576÷7.2 x＝80 答：他买了80袋这种榆林豆腐。 高频考点三：正比例图象的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成( )比例关系，环卫队每小时清扫( )米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的( )%。 【答案】 正 50 125 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；清扫长度与所用时间的比值就是环卫队每小时清扫街道的长度；这条长250米的街道原来需要5小时完成清扫，现在需要（5－1）小时完成清扫，现在的清扫速度＝街道的总长度÷清扫时间，把原来的清扫速度看作单位“1”，现在速度比原来提高的百分率＝（现在的清扫速度－原来的清扫速度）÷原来的清扫速度×100%，最后加上1求出现在速度应提高到原来的百分率，据此解答。 【规范解答】由图可知，（一定），所以清扫的街道长度与所用时间成正比例关系，环卫队每小时清扫50米。 250÷（5－1） ＝250÷4 ＝62.5（米） （62.5－50）÷50×100% ＝12.5÷50×100% ＝0.25×100% ＝25% 1＋25%＝125% 所以，速度应提高到原来的125%。 【变式训练1】．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解； （2）正； （3）在；购买7个咖啡杯需要693元 【思路引导】（1）由图可知，横轴表示数量，纵轴表示总价，根据表格中的数据找出每列数据对应的点，再依次连接各点，连线发现各点在同一条直线上； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此判断； （3）计算693÷7的商是否等于99，如果商等于99，那么点（7，693）在这条直线上，如果商不等于99，那么点（7，693）不在这条直线上，最后根据“7”和“693”表示的意义说出点（7，693）的含义，据此解答。 【规范解答】（1）作图如下： （2）分析可知，（一定），所以购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成正比例。 （3）693÷7＝99（元） 分析可知，点（7，693）在这条直线上，“7”表示购买咖啡杯的数量，“693”表示购买咖啡杯一共需要的钱数，点（7，693）表示购买7个咖啡杯需要693元。 【变式训练2】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A． 长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 【答案】B 【思路引导】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【规范解答】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西西安·期中）趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）225；12.8 【思路引导】（1）正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的比值（商）一定，则成正比例关系。 计算喷水量与喷涌天数的比值：15÷1＝15万立方米/天，30÷2＝15万立方米/天，45÷3＝15万立方米/天，60÷4＝15万立方米/天，75÷5＝15万立方米/天，90÷6＝15万立方米/天。由此可知，喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。因此，趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为二者比值一定。 （2）根据表格数据，对应坐标点为：（0，0）、（1，15）、（2，30）、（3，45）、（4，60）、（5，75）、（6，90）。在方格纸上，找到对应的位置描点，再用直尺顺次连接这些点，会得到一条从原点出发的直线（因成正比例关系，图像是过原点的直线）。 （3）已知喷水量与喷涌天数成正比例，关系为：喷水量＝15×喷涌天数。计算15天的喷水量，用15乘15即可。计算192万立方米水可喷涌的天数，用192除以15即可。 【规范解答】（1）15÷1＝15（万立方米/天） 30÷2＝15（万立方米/天） 45÷3＝15（万立方米/天） 60÷4＝15（万立方米/天） 75÷5＝15（万立方米/天） 90÷6＝15（万立方米/天） 喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。 答：趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为喷水量与喷涌天数比值一定。 （2） 如图： （3）15×15＝225（万立方米） 192÷15＝12.8（天） 趵突泉15天的喷水量是225万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌12.8天。 高频考点四：正比例的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 时间/分 0 1 2 3 4 5 60 路程/千米 0 5 10 15 20 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 【答案】（1）见详解； （2）正； （3）见详解； （4）点（120，600）会在这条直线上；理由见详解 【思路引导】（1）根据表格中的数据可以发现，时间每增加1分钟，路程就增加5千米，所以可以计算出5分钟对应的路程是25千米，60分钟对应的路程就是300千米； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据速度＝路程÷时间，可以计算出复兴号的速度是一定的，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例； （3）根据表格中的数据，可以描点，然后把这些点连接起来，就可以得到复兴号所行的时间与路程的关系图像。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 （4）因为速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【规范解答】（1）5×5＝25（千米），60×5＝300（千米） 时间/分 0 1 2 3 4 5 … 60 … 路程/千米 0 5 10 15 20 25 … 300 … （2）5÷1＝5（千米/分），10÷2＝5（千米/分），15÷3＝5（千米/分），速度一定，时间与路程的比值一定，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例。 （3） （4）由第（3）小题可得，图像是一条经过原点直线，速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【变式训练1】（24-25六年级下·安徽亳州·期中）下图中，线段OA表示司机张师傅开车到外地送货时行驶的路程与时间的关系。 （1）张师傅开车行驶了___________小时，行驶的路程是___________千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为___________千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为___________小时。 （3）张师傅开车的速度是多少？ 【答案】（1）6；360； （2）120；5； （3）60千米/时 【思路引导】（1）根据图像中的信息可知：张师傅行驶的时间从0开始到6时结束，行驶的路程从0开始到360千米停止，据此解答； （2）根据图像的信息，找出2小时对应的路程及路程是300千米时对应的时间即可； （3）根据图像中的信息可知：张师傅6小时行驶了360千米，据此用路程除以时间求出速度即可。 【规范解答】（1）张师傅开车行驶了6小时，行驶的路程是360千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为120千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为5小时。 （3）360÷6＝60（千米/时） 答：张师傅开车的速度是60千米/时。 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在一家布店，有一种花布的长度和总价如下表。 长度/米 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 8.2 16.4 24.6 32.8 41 49.2 … （1）这种花布的长度与总价成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种花布的长度与总价所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）这种花布24.5米的总价是（    ）元；123元可以买（    ）米这种花布。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解；（2）见详解；（3）200.9；15 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。对于花布的长度和总价，计算它们的比值（单价）是否恒定，进而判断是否成正比例关系。 （2）方格纸中横轴表示长度（米），纵轴表示总价（元），根据表格中长度和总价的数据，找到对应的点（如长度1米对应总价8.2元），然后用直线顺次连接这些点。由于是正比例关系，图像是一条经过原点的直线。 （3）由（1）已知单价是8.2元/米，根据公式“总价＝单价×长度”，这种花布24.5米的总价为24.5×8.2＝199（元）。根据公式“长度＝总价÷单价”，123元可以买123÷8.2＝15（米）。 【规范解答】（1）8.2÷1＝8.2（元/米） 16.4÷2＝8.2（元/米） 24.6÷3＝8.2（元/米） 32.8÷4＝8.2（元/米） 41÷5＝8.2（元/米） 49.2÷6＝8.2（元/米） 答：这种花布的长度与总价成正比例关系，因为它们相对应的比值（单价）一定。 （3） 如图： （3）24.5×8.2＝200.9（元） 123÷8.2＝15（米） 这种花布24.5米的总价是200.9元；123元可以买15米这种花布。 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西西安·期中）《小布头奇遇记》是我国获国际安徒生奖提名的第一部作品。某书店购进《小布头奇遇记》的数量与总价如下表。 数量／本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价／元 0 6 12 18 24 30 36 … （1）该书店购进《小布头奇遇记》的总价与数量成正比例关系吗？为什么？ （2）把购进《小布头奇遇记》的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）购进7本《小布头奇遇记》的总价是（    ）元；120元最多可以购进（    ）本《小布头奇遇记》。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）42；20 【思路引导】（1）正比例关系是两种相关联的量，比值（商）一定。这里总价随数量变化而变化，计算总价与数量的比值，看是否为定值。 （2）在图中依次找到数量为1总价6、数量2总价12等对应的点，准确描出后，将这些点用直线连接起来。 （2）由表格可知购买1本《小布头奇遇记》需要6元，即单价为6元，求购进7本《小布头奇遇记》的总价，根据“总价＝单价×数量”，用6乘7即可。求120元最多可以购进多少本《小布头奇遇记》，根据“数量＝总价÷单价”，用120除以6即可。 【规范解答】（1）6÷1＝6 12÷2＝6 18÷3＝6 比值始终为6（即单价一定）。 答：总价与数量成正比例关系，因为它们的比值一定。 （4） 如图： （3）6÷1＝6（元） 6×7＝42（元） 120÷6＝20（本） 购进7本《小布头奇遇记》的总价是42元；120元最多可以购进20本《小布头奇遇记》。 高频考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 【答案】85圈 【思路引导】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解即可。 【规范解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 答：小齿轮每分钟转85圈。 【变式训练1】（24-25六年级下·福建南平·期末）我国生产的无人机全球领先，在农业、气象、抢险救灾等领域被广泛应用。一款大型农业无人机的电池容量为24000毫安（电量的一种计量单位）。因负重不同，飞行时间随着每分钟耗电量的变化而变化。具体情况如下表： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 飞行时间/分钟 48 40 24 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟耗电量和飞行时间有什么关系？ 【答案】（1）30；1000 （2）成反比例关系 【思路引导】（1）根据“电池容量＝每分钟耗电量×飞行时间”，电池容量为24000毫安。 当每分钟耗电量为800毫安时，飞行时间为24000÷800＝30分钟； 当飞行时间为24分钟时，每分钟耗电量为24000÷24＝1000毫安。据此填表。 （2）因为“每分钟耗电量×飞行时间＝电池容量（一定）”，根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。所以每分钟耗电量和飞行时间成反比例关系。 【规范解答】（1）24000÷800＝30（分钟） 24000÷24＝1000（毫安） 填表如下： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 1000 飞行时间/分钟 48 40 30 24 （2）每分钟耗电量和飞行时间成反比例关系。 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如表。 每天装配的数量/辆 60 90 120 时间/天 60 40 30 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；因为每天装配的数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系； （2）12天 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系； （2）用总装配量除以每天装配的数量，可求出需要的时间。 【规范解答】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 所有的乘积都是3600，说明每天装配的数量与时间的乘积一定，因此每天装配的数量与时间成反比例关系。 答：每天装配的数量与时间成反比例关系；因为每天装配数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系。 （2）3600÷300＝12（天） 答：需要12天。 【变式训练3】（24-25六年级下·福建泉州·期中）某商场出售某种玩具时，在进价的基础上又加上一定的利润，其数量和售价的关系如下表： 数量/个 1 2 3 4 5 售价/元 根据以上信息，下面说法正确的是（    ）。 A．售价与数量的比值不一定 B．售价与数量成反比例关系 C． D． 【答案】C 【思路引导】A．两数相除又叫两个数的比，求比值直接用比的前项÷后项即可。据此根据比的意义，分别写出售价与数量的比，分别求比值即可； B．两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果y÷x＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系； C．根据选项A即可得出售价与数量的比值； D．分别计算数量×售价的结果即可。 【规范解答】A．（5＋2）∶1＝7÷1＝7、（10＋4）∶2＝14÷2＝7、（15＋6）∶3＝21÷3＝7 （20＋8）∶4＝28÷4＝7、（25＋10）∶5＝35÷5＝7 售价与数量的比值一定，都是7，选项说法错误； B．根据选项A可知，售价÷数量＝单价（一定），售价与数量成正比例关系，选项说法错误； C．根据选项A可知，，选项说法正确； D．1×（5＋2）＝1×7＝7、2×（10＋4）＝2×14＝28、3×（15＋6）＝3×21＝63…… xy的值不确定，选项说法错误。 说法正确的是。 故答案为：C 高频考点六：反比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）笑笑用60个边长为1cm小正方形摆成长方形。 （1）完成下面表格。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 （2）宽随着长的增加而（    ），但长方形的（    ）不变，所以长方形的长和宽成（    ）比例。 【答案】（1）见详解 （2）减少；面积；反 【思路引导】（1）因为用60个边长为1cm的小正方形摆长方形，所以长方形的面积为60×1×1＝60cm2，根据“宽＝面积÷长”，当长为20cm时，宽为60÷20＝3cm；当长为30cm时，宽为60÷30＝2cm。所以表格中依次应填3，2。 （2）观察表格中长和宽的数据，长从10增加到12，宽从6减少到5，10×6＝12×5，12×5＝15×4，所以宽随着长的增加而减少。因为是用60个小正方形摆长方形，所以长方形的面积不变。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。由于长×宽＝面积（一定），所以长方形的长和宽成反比例。 【规范解答】（1）60×1×1＝60（cm2） 60÷20＝3（cm） 60÷30＝2（cm） 填表如下： 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 3 2 （2）10×6＝12×5＝60（一定） 12×5＝15×4＝60（一定） 所以长方形的长和宽成反比例。 宽随着长的增加而减少，但长方形的面积不变，所以长方形的长和宽成反比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 5 6 10 可烧的时间/天 0 40 24 20 12 （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是15吨，那么这批煤可烧多少天？ 【答案】（1）成反比例；理由见详解 （2）8天 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格数据计算：3×40＝120吨，5×24＝120吨，6×20＝120吨，10×12＝120吨。可以发现每天烧煤的质量变化，可烧的时间也随着变化，且它们相对应的两个数的乘积（这批煤的总质量）一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。 （2）由（1）可知这批煤的总质量是120吨。已知每天烧煤15吨，根据“可烧的时间＝煤的总质量÷每天烧煤的质量”，把数据代入计算即可。 【规范解答】（1）3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 6×20＝120（吨） 10×12＝120（吨） 答：成反比例，因为每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定。 （2）120÷15＝8（天） 答：这批煤可烧8天。 【变式训练2】（24-25六年级下·甘肃定西·期中）“和美乡村”是乡村建设的新概念，旨在提醒人们美丽乡村不仅指外表的形式美，还有人与自然、人与人之间的和谐美。为改善农村居住环境，建设“和美乡村”，朝阳村要将全村的土路进行硬化并铺上水泥，每天铺路的长度与所需的时间如下表。 每天铺路的长度/米 15 20 24 50 … 所需的时间/天 40 30 25 12 … （1）每天铺路的长度与所需的时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天铺路的长度是75米，多少天可以铺完？ 【答案】（1）反比例；因为每天铺路的长度与所需的时间的积一定。 （2）8天 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）由（1）知，每天铺路的长度与所需的时间成反比例，也就是说每天铺路的长度与所需的时间的乘积一定，据此用每天铺路的长度乘40求出需要铺路的总长度，再除以75即可解答。 【规范解答】（1）15×40＝600（米） 20×30＝600（米） 24×25＝600（米） 50×12＝600（米） …… 每天铺路的长度×所需的时间＝600（米），乘积一定，所以每天铺路的长度与所需的时间成反比例。 （2）15×40÷75 ＝600÷75 ＝8（天） 答：8天可以铺完。 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）某种豆芽的高度随生长时间的变化情况如下图。 生长时间/天 0 1 2 3 4 5 豆芽的高度/cm 0 0.5 1.5 2.5 4 5.5 (1)观察图和表，( )随着( )的变化而变化。 (2)豆芽生长最慢的是第( )天。 【答案】(1) 豆芽的高度 生长时间 (2)1 【思路引导】（1）根据统计表和统计图可以看出，时间增加，豆芽的高度也增加，据此即可填空。 （2）用后一天减去前一天，即可求出生长多少厘米，据此比较5天的生长高度，进而解答。 【规范解答】（1）观察图和表，豆芽的高度随着生长时间的变化而变化。 （2）第1天：0.5cm 第2天：1.5－0.5＝1（厘米） 第3天：2.5－1.5＝1（厘米） 第4天：4－2.5＝1.5（厘米） 第5天：5.5－4＝1.5（厘米） 豆芽生长最慢的是第1天。 【演练1】（2024·福建泉州·小升初真题）以下说法正确的是（    ）。 ①一个数与它的倒数成反比例。 ②所示抛图钉的方法决定输赢不公平。 ③一个等腰三角形的一个底角是45°，这是一个直角三角形。 ④小玟看小毅在北偏东60°的方向上，小毅看小玟在南偏西60°的方向上。 A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】根据题意，逐项进行分析判断即可求解。 ①一个数与它的倒数的乘积是1，是乘积一定，所以一个数与它的倒数成反比例；说法正确； ②抛图钉正、反面不一样，落地时，正、反面朝上的可能性不一定相同，所以用抛图钉的方法决定输赢是不公平的，说法正确； ③等腰三角形的两个底角相等，180°－45°×2＝180°－90°＝90°；所以这个三角形是等腰直角三角形，说法正确； ④根据方向的相对性：方向相反，角度不变；所以小玟看小毅在北偏东60°的方向上，小毅看小玟在南偏西60°的方向上，说法正确。 【规范解答】由分析得： 说法正确的是①②③④。 故答案为：D 【演练2】（2024·陕西西安·小升初真题）星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 【答案】（1）2套校服需要160元 （2）正 （3）2880元 【思路引导】（1）A点对应的列表示购买校服的数量，A点对应的行表示总价，据此解答； （2）根据图像可知，购买校服的数量和总价的图像是一条经过原点的直线，符合正比例图像的特点； （3）由购买校服的数量和总价成正比例可知，总价÷数量＝单价（一定），据此用160÷2列式求出校服的单价，再乘36即可解答。 【规范解答】（1）图中点A表示购买2套校服需要160元。 （2）由图形可知，购买校服的数量和总价成正比例关系。 （3）160÷2×36 ＝80×36 ＝2880（元） 答：共需2880元。 【演练3】（2024·陕西咸阳·小升初真题）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 【答案】（1）见详解 （2）正比例；原因见详解 （3）见详解 （4）48 【思路引导】（1）根据总价＝单价×数量，据此求出4本书的钱数、5本书的钱数，完成表格。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据统计表提供的数据，完成统计图。 （4）根据总价÷单价＝数量，据此求出480元买多少本《成语故事》，据此解答。 【规范解答】10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 表如下： 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 … （2）10∶1＝20∶2＝30∶3＝40∶4＝50∶5＝60∶6＝…＝10（一定），总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 480元最多可以购买48本《成语故事》。 【演练4】（2024·广东惠州·小升初真题）（    ）中的两种量不成比例。 A．从广州到北京，列车行驶的平均速度和所需时间。 B．一箱雪梨，吃去的个数和剩下的个数。 C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度。 【答案】B 【思路引导】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例，据此解答。 【规范解答】A．从广州到北京路程不变，列车行驶的平均速度×所需时间＝从广州到北京的路程（一定），所以列车行驶的平均速度和所需时间成反比例； B．雪梨的总个数不变，吃去的个数＋剩下的个数＝雪梨的总个数（一定），所以吃去的个数和剩下的个数不成比例； C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度的比值一定，所以同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度成正比例。 故答案为：B 【演练5】（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 【答案】C 【思路引导】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。 根据倒数的意义与比例的基本性质作答，即乘积是1的两个数互为倒数；在比例里两个外项的积等于两个内项的积。 因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作单位“1”，圆柱的体积则是3，根据求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法，用“（大数－小数）÷单位1的量”，则为（3－1）÷1＝2倍；得出结论。 【规范解答】A．如果，那么xy＝8，乘积一定，所以x和y成反比例。正确。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。正确。 C．（3－1）÷1＝2因此圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多2倍。所以本选项说法错误。 故答案为：C 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·广东清远·期中）下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【答案】D 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终是一个固定不变的常数，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【规范解答】A．根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以时间与速度不成正比例。 B．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S表示面积，a表示底，h表示高），当面积一定时，ah＝2S（一定），是乘积一定，所以底和高不成正比例。 C．因为被减数＝减数＋差，当被减数一定时，减数与差是和一定，不是比值或乘积一定的关系，所以减数与差不成比例。 D．圆柱的体积公式为V＝Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高），当高一定时，V÷S＝h（一定），是比值一定，所以体积和底面积成正比例关系。 所以选项D中的两个量成正比例关系。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）已知x与y是两种相关联的量（x、y均不为0），下列选项中，x与y成正比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】判断与是否成正比例，只需根据定义，看与的比值是否是一个固定不变的数即可，是，则成正比例；不是，则不成正比例。 【规范解答】A．由可以推出，属于乘积一定，成反比例，不符合题意； B．由可以，和之间是减法的关系，故不成比例； C．由可知，，故其比值为一定值，成正比例，符合题意； D．由可知，和之间含有加法的关系，故不成比例。 故答案为：C 3．乘船人数与所付船费如表，所付船费和乘船人数（    ）。 人数 0 1 2 3 4 5 船费/元 0 3 6 9 12 15 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例；如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例，据此分析解答。 【规范解答】由表格中数据可知，船费÷人数＝每人的船费，这个数值是一定的，即比值一定，故所付船费与乘船人数成正比例关系。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）三个相关联的量，A表示速度，B表示时间，C表示路程。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 【答案】 正 反 【思路引导】正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且两种量的比值（商）一定，则这两种量成正比例。 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且两种量的乘积一定，则这两种量成反比例。 A表示速度，B表示时间，C表示路程。如果A一定，根据：速度＝路程÷时间，可得C÷B＝A。即路程（C）与时间（B）的比值（商）是固定的，完全符合正比例关系的定义。 当C（路程）一定时，根据：路程＝速度×时间，可得：A×B＝C，即速度（A）与时间（B）的乘积是固定的，完全符合反比例关系的定义。 【规范解答】如果A一定。 C÷B＝A 即路程（C）与时间（B）的比值（商）是固定的，符合正比例关系的定义。 如果C一定 A×B＝C 即速度（A）与时间（B）的乘积是固定的，符合反比例关系的定义。 三个相关联的量，A表示速度，B表示时间，C表示路程。如果A一定，那么B和C成正比例关系；如果C一定，那么A和B成反比例关系。 5．（23-24六年级下·广东深圳·期中）看图回答问题。 (1)汽车行驶的路程与时间成( )比例。 (2)由图可知，汽车行驶500km需要( )小时。 【答案】(1)正 (2)10 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。取几个时间点的路程，用对应的路程除以时间，观察商是否一定，商一定就是正比例。正比例的图像是一个经过原点的直线。 （2）从图像中找出500千米，再找出500千米对应的时间。 【规范解答】（1）100÷2＝200÷4＝300÷6＝400÷8＝500÷10＝50（一定），商一定。 则汽车行驶的路程与时间成正比例。 （2）500千米对应的时间是10小时。 则由图可知，汽车行驶500km需要10小时。 6．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）如果＝y（x，y均不为0），那么x与y成( )比例；如果y＝（x，y均不为0），那么x与y成( )比例。 【答案】 反 正 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【规范解答】如果＝y（x，y均不为0），即xy＝5，那么x与y成反比例；如果y＝（x，y均不为0），即x÷y＝5，那么x与y成正比例。 7．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）北京到广州的航线一定，飞机飞行的时间和速度成反比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，如果用字母和表示两种相关联的量，用表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用表示，据此解答。 【规范解答】北京到广州的航线一定，说明总路程一定，由路程、时间、速度之间的关系可知，飞机飞行的时间×飞机飞行的速度＝总路程（一定），所以北京到广州的航线一定，飞机飞行的时间和速度成反比例，题目说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25六年级下·甘肃定西·期中）mn＋15＝45，m与n成反比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断m和n是否成反比例，我们只需看m是否随着n的变大而变小，且m和n的乘积是否为一个定值，由题目可知mn＝30，据此即可判断。 【规范解答】因为mn＝45－15 mn＝30 所以m随着n的变大而变小，且m和n的乘积为定值30，因此，m和n成反比例。 故答案为：√ 9．（2024·福建泉州·小升初真题）如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 【答案】（1）成 （2）见详解 【思路引导】（1）判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 （2）观察统计图，横轴表示时间，纵轴表示路程，观察10分钟时斑马和长颈鹿分别跑的路程，路程多的就跑得快。 【规范解答】（1）路程÷时间＝速度，速度一定，所以斑马的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2） 答：从图像上看，斑马跑得快，因为10分钟斑马跑了12千米，长颈鹿跑了8千米。 10．（24-25六年级下·陕西西安·期中）亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）草稿本每本的页数与装订的本数成反比例吗？为什么？ （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 【答案】（1）成反比例；理由见详解 （2）150；3 【思路引导】（1）由题意可知每本的页数×装订的本数＝总页数，每一列的总页数都是300页，故总页数一定，所以成反比例； （2）由（1）可知，总页数是300页，因此，若装订成2本，每本页数就等于总页数÷2，若每本100页，本数就等于总页数÷100即可。 【规范解答】（1）由表格可知，每本页数×装订的本数＝300页（一定），总页数固定不变，每本的页数越多，则本数越少，因此每本页数和装订本数成反比例。 答：草稿本每本的页数与装订的本数成反比例。因为每本的页数和装订的本数的积总是一定。 （2）15×20＝300（页） 300÷2＝150（页） 300÷100＝3（本） 所以若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是150页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成3本草稿本。 【考点剖析】本题主要考查反比例的定义，能够通过判定乘积一定，成反比例，比值一定成正比例，来判定相关联的两个量之间的关系。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·广东深圳·小升初模拟）以下成正比例的是（    ）。 A．周长一定时，长方形的长与宽 B．面积一定时，平行四边形的底和高 C．一个人的身高与年龄 D．正方形的周长与边长 【答案】D 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】A．周长一定时，长方形的长与宽；（长＋宽）×2＝周长（一定），长与宽的和一定，所以长与宽不成比例。 B．面积一定时，平行四边形的底和高；底×高＝平行四边形面积（一定），底与高成反比例。 C．一个人的身高与年龄；一个人身高与年龄不成比例。 D．正方形的周长与边长；边长×4＝周长，周长∶边长＝4（一定），周长与边长成正比例。 成正比例的是正方形的周长与边长。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·广东清远·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换y支钢笔。下面的比例中，错误的是（    ）。 A．100∶y＝20∶4 B．4∶20＝y∶100 C．y∶20＝4∶200 D．4∶y＝20∶100 【答案】C 【思路引导】已知20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，设可以换y支钢笔。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终是一个固定不变的常数，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。由于换1支钢笔的奖章数量始终一定，所以奖章数量与兑换的钢笔数量成正比例关系，所以可得，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），可变形为多种比例形式，据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【规范解答】A．100∶y＝20∶4，根据比例的基本性质，两内项之积y×20，两外项之积100×4，即20y＝400，与（20y＝400）一致，该比例正确。 B．4∶20＝y∶100，两内项之积20×y，两外项之积4×100，即20y＝400，与（20y＝400）一致，该比例正确。 C．y∶20＝4∶200，两内项之积20×4＝80，两外项之积y×200＝200y，即200y＝80，与不一致，该比例错误。 D．4∶y＝20∶100，两内项之积y×20，两外项之积4×100＝400，即20y＝400，与（20y＝400）一致，该比例正确。 所以选项C中的比例是错误的。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当（    ）一定时，其他两种量成反比例。 A．商品的总价 B．商品的单价 C．商品的数量 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】两种相关联的量，若一种量变化，另一种也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。字母关系为：xy＝k（一定）。再根据总价＝单价×数量，所以当商品的总价一定时，其他两种量成反比例。据此解答。 【规范解答】由分析可得，商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当商品的总价一定时，其他两种量成反比例。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·四川成都·期末）如果、不为0），则( )∶( )，和成( )比例关系。 【答案】 3 20 正 【思路引导】比例的基本性质为“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”。已知A×1.2＝0.18×B（A、B不为0），要将其转化为A∶B的形式，可根据比例基本性质，把A和1.2看作比例的外项，B和0.18看作比例的内项，再化简比。 两种相关联的量，若它们的比值（或商）一定，则这两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，则成反比例关系。 【规范解答】由A×1.2＝0.18×B可知： A∶B＝0.18∶1.2 ＝（0.18×100）∶（1.2×100） ＝18∶120 ＝（18÷6）∶（120÷6） ＝3∶20 由于A∶B＝3∶20＝（一定），即A和B对应的比值一定，所以A和B成正比例关系。 填空如下： 如果A×1.2＝0.18×B（A  、B 不为0），则A∶B＝（3）∶（20），A和B成（正）比例关系。 5．（24-25六年级下·广东湛江·期中）甲数的与乙数的相等，甲数∶乙数＝( )∶( )，甲数与乙数成( )比例。 【答案】 7 9 正 【思路引导】根据题意可得等式：甲数×＝乙数×。根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积。先将等式改写成比例式，一个外项是甲，则和甲相乘的就是另一个外项，一个内项是乙，则和它相乘的就是另一个内项。据此写出比例。再求出比值。判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。据此判断即可。 【规范解答】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ∶ ＝（×21）∶（×21） ＝14∶18 ＝7∶9 甲数∶乙数＝7∶9 甲数∶乙数＝（一定） 甲数的与乙数的相等，甲数∶乙数＝7∶9，甲数与乙数的比值一定，所以甲数与乙数成正比例。 6．（24-25六年级下·浙江金华·期中）分子一定，分母与分数值成( )比例；圆锥的底面积一定，体积和高成( )比例；自行车前轮滚动的圈数与所行的路程成( )比例。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） 【答案】 反 正 正 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】分子÷分母=分数值 分母×分数值＝分子（一定），分母和分数值成反比例。 圆锥的体积＝底面积×高× 圆锥的体积÷高÷＝底面积（一定），圆锥的体积和高成正比例。 路程＝车轮周长×圈数 路程÷圈数＝车轮周长（一定），圈数与路程成正比例。 分子一定，分母与分数值成反比例；圆锥的底面积一定，体积和高成正比例；自行车前轮滚动的圈数与所行的路程成正比例。 7．（2025·广东深圳·小升初模拟）笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 【答案】100块 【思路引导】根据题意可知，面积与方砖块数成正比例，设一共需要x块，列比例：10.80∶120＝9∶x，解比例，即可解答。 【规范解答】解：设一共需要x块。 10.80∶120＝9∶x 10.80x＝120×9 10.80x＝1080 x＝1080÷10.80 x＝100 答：一共需要100块。 8．（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 【答案】（1）成正比例；因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定 （2）图见详解 （3）63；200 【思路引导】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）把统计表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 （3）由第（1）题可得出行驶路程与耗电量的比值，求行驶420千米需要的电量，即求比的后项，用比的前项除以比值即可；求30千瓦时的电可行驶的路程，即求比的前项，用比的后项乘比值即可。 【规范解答】（1）（一定） 答：该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例，因为该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量的比值一定。 （2）根据分析如图： （3）80÷12＝（千米/千瓦时） 420÷＝420×＝63（千瓦时） ×30＝200（千米） 该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要63千瓦时；30千瓦时的电可行驶200千米。 9．李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 【答案】（1） （2）小麦质量和面粉质量成正比例。 （3）560千克 【思路引导】根据题意描点画图，然后根据图形判断小麦质量和面粉质量之间的比例关系，然后根据比例的定义得到两者成正比例，然后根据正比例的性质计算出800千克小麦，能磨出的面粉质量。 【规范解答】（1）利用表格中的数据，描点作图。 （2）图形成直线，所以面粉质量和小麦质量成正比例。 （3）由题意可得小麦质量和面粉质量的比值一定，等于 。 800÷=800× =560千克 【考点剖析】本题主要考查正比例的数形结合，利用图形判断两个量之间的比例关系。当图形成一条直线时，两者成正比例。两个量成正比例，则比值一定，再把结论带入表格中进行验证。 10．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 正比例和反比例 【原卷版】 （导图+知识梳理+考点讲练+真题演练+难度分层练 共49题） 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二：反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三：判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四：用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 高频考点一：变化的量 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【变式训练1】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【变式训练2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 【变式训练3】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 高频考点二：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）奇思一家坐高铁去北京游玩，这列车行驶的时间和路程的关系如图所示。 (1)这列车行驶600km需要( )时。 (2)这列车行驶的路程和时间成( )比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·福建南平·期末）下列各个选项中表述正确的是（    ）。 ①在同一个圆中，圆的周长和直径成正比例关系。 ②国家速滑馆冰面面积达1.2万平方米，相当于1.2公顷。 ③一个数的倍数比它的因数大。 ④六（1）班共50名学生，今天全部到校，出勤率是50%。 A．①② B．③④ C．①④ D．①②③ 【变式训练2】（24-25六年级下·广东清远·期中）在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）榆林豆腐被泉水“宠坏”的白胖子。某食品公司将榆林豆腐包装成小袋售卖，榆林豆腐的购买数量和总价的关系如下表。 数量/袋 0 4 8 12 16 20 … 总价/元 0 7.2 14.4 21.6 28.8 36 … （1）这种榆林豆腐的总价与数量是否成正比例关系？并说明理由。 （2）采购员小张买这种榆林豆腐花了144元，他买了多少袋这种榆林豆腐？（用比例解答） 高频考点三：正比例图象的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）某环卫队要清扫一条长250米的街道，下图是环卫队清扫这条街道的进度情况。由图可知，清扫的街道长度与所用时间成( )比例关系，环卫队每小时清扫( )米，若想提前1小时完成清扫，则速度应提高到原来的( )%。 【变式训练1】．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 【变式训练2】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A． 长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西西安·期中）趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 高频考点四：正比例的应用 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 时间/分 0 1 2 3 4 5 60 路程/千米 0 5 10 15 20 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 【变式训练1】（24-25六年级下·安徽亳州·期中）下图中，线段OA表示司机张师傅开车到外地送货时行驶的路程与时间的关系。 （1）张师傅开车行驶了___________小时，行驶的路程是___________千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为___________千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为___________小时。 （3）张师傅开车的速度是多少？ 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在一家布店，有一种花布的长度和总价如下表。 长度/米 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 8.2 16.4 24.6 32.8 41 49.2 … （1）这种花布的长度与总价成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种花布的长度与总价所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）这种花布24.5米的总价是（    ）元；123元可以买（    ）米这种花布。 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西西安·期中）《小布头奇遇记》是我国获国际安徒生奖提名的第一部作品。某书店购进《小布头奇遇记》的数量与总价如下表。 数量／本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价／元 0 6 12 18 24 30 36 … （1）该书店购进《小布头奇遇记》的总价与数量成正比例关系吗？为什么？ （2）把购进《小布头奇遇记》的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）购进7本《小布头奇遇记》的总价是（    ）元；120元最多可以购进（    ）本《小布头奇遇记》。 高频考点五：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 【变式训练1】（24-25六年级下·福建南平·期末）我国生产的无人机全球领先，在农业、气象、抢险救灾等领域被广泛应用。一款大型农业无人机的电池容量为24000毫安（电量的一种计量单位）。因负重不同，飞行时间随着每分钟耗电量的变化而变化。具体情况如下表： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 飞行时间/分钟 48 40 24 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟耗电量和飞行时间有什么关系？ 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如表。 每天装配的数量/辆 60 90 120 时间/天 60 40 30 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【变式训练3】（24-25六年级下·福建泉州·期中）某商场出售某种玩具时，在进价的基础上又加上一定的利润，其数量和售价的关系如下表： 数量/个 1 2 3 4 5 售价/元 根据以上信息，下面说法正确的是（    ）。 A．售价与数量的比值不一定 B．售价与数量成反比例关系 C． D． 高频考点六：反比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）笑笑用60个边长为1cm小正方形摆成长方形。 （1）完成下面表格。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 （2）宽随着长的增加而（    ），但长方形的（    ）不变，所以长方形的长和宽成（    ）比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。 每天烧煤的质量/吨 0 3 5 6 10 可烧的时间/天 0 40 24 20 12 （1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。 （2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是15吨，那么这批煤可烧多少天？ 【变式训练2】（24-25六年级下·甘肃定西·期中）“和美乡村”是乡村建设的新概念，旨在提醒人们美丽乡村不仅指外表的形式美，还有人与自然、人与人之间的和谐美。为改善农村居住环境，建设“和美乡村”，朝阳村要将全村的土路进行硬化并铺上水泥，每天铺路的长度与所需的时间如下表。 每天铺路的长度/米 15 20 24 50 … 所需的时间/天 40 30 25 12 … （1）每天铺路的长度与所需的时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天铺路的长度是75米，多少天可以铺完？ 【变式训练3】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）某种豆芽的高度随生长时间的变化情况如下图。 生长时间/天 0 1 2 3 4 5 豆芽的高度/cm 0 0.5 1.5 2.5 4 5.5 (1)观察图和表，( )随着( )的变化而变化。 (2)豆芽生长最慢的是第( )天。 【演练1】（2024·福建泉州·小升初真题）以下说法正确的是（    ）。 ①一个数与它的倒数成反比例。 ②所示抛图钉的方法决定输赢不公平。 ③一个等腰三角形的一个底角是45°，这是一个直角三角形。 ④小玟看小毅在北偏东60°的方向上，小毅看小玟在南偏西60°的方向上。 A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【演练2】（2024·陕西西安·小升初真题）星光小学购买校服的数量和总价的关系如下图。 （1）图中点A表示（    ）。 （2）购买校服的数量和总价成（    ）比例。 （3）如果该校六年级1班要购买36套校服，共需多少元钱？ 【演练3】（2024·陕西咸阳·小升初真题）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 10 20 30 60 … （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买（    ）本《成语故事》。 【演练4】（2024·广东惠州·小升初真题）（    ）中的两种量不成比例。 A．从广州到北京，列车行驶的平均速度和所需时间。 B．一箱雪梨，吃去的个数和剩下的个数。 C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度。 【演练5】（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·广东清远·期中）下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 2．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）已知x与y是两种相关联的量（x、y均不为0），下列选项中，x与y成正比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 3．乘船人数与所付船费如表，所付船费和乘船人数（    ）。 人数 0 1 2 3 4 5 船费/元 0 3 6 9 12 15 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 4．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）三个相关联的量，A表示速度，B表示时间，C表示路程。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 5．（23-24六年级下·广东深圳·期中）看图回答问题。 (1)汽车行驶的路程与时间成( )比例。 (2)由图可知，汽车行驶500km需要( )小时。 6．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）如果＝y（x，y均不为0），那么x与y成( )比例；如果y＝（x，y均不为0），那么x与y成( )比例。 7．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）北京到广州的航线一定，飞机飞行的时间和速度成反比例。( )（判断对错） 8．（24-25六年级下·甘肃定西·期中）mn＋15＝45，m与n成反比例。( )（判断对错） 9．（2024·福建泉州·小升初真题）如图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？ （填“成”或“不成”） （2）从图像上看，斑马与长颈鹿比，谁跑得快？请说明理由。 10．（24-25六年级下·陕西西安·期中）亮亮要用一些纸装订草稿本。 每本的页数/页 15 20 25 30 50 … 装订的本数/本 20 15 12 10 6 … （1）草稿本每本的页数与装订的本数成反比例吗？为什么？ （2）若将这些纸装订成2本草稿本，则每本的页数是（    ）页；若每本的页数是100页，则这些纸可以装订成（    ）本草稿本。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·广东深圳·小升初模拟）以下成正比例的是（    ）。 A．周长一定时，长方形的长与宽 B．面积一定时，平行四边形的底和高 C．一个人的身高与年龄 D．正方形的周长与边长 2．（24-25六年级下·广东清远·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换y支钢笔。下面的比例中，错误的是（    ）。 A．100∶y＝20∶4 B．4∶20＝y∶100 C．y∶20＝4∶200 D．4∶y＝20∶100 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）商品的总价、商品的单价、商品的数量这三种相关联的量中，当（    ）一定时，其他两种量成反比例。 A．商品的总价 B．商品的单价 C．商品的数量 D．无法确定 4．（24-25六年级下·四川成都·期末）如果、不为0），则( )∶( )，和成( )比例关系。 5．（24-25六年级下·广东湛江·期中）甲数的与乙数的相等，甲数∶乙数＝( )∶( )，甲数与乙数成( )比例。 6．（24-25六年级下·浙江金华·期中）分子一定，分母与分数值成( )比例；圆锥的底面积一定，体积和高成( )比例；自行车前轮滚动的圈数与所行的路程成( )比例。（填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） 7．（2025·广东深圳·小升初模拟）笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 8．（2025·陕西榆林·小升初真题）电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。新新的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行，途中新新记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程/千米 0 80 160 240 320 400 480 … 耗电量/千瓦时 0 12 24 36 48 60 72 … （1）判断该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中该品牌电动汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该品牌的电动汽车充满电后续航为420千米，这辆电动汽车充满电需要（    ）千瓦时；30千瓦时的电可行驶（    ）千米。 9．李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 10．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $