第10卷 平面向量 2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第10卷。 2026年山东省春季高考 第10卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，且则等于（　） A． B． C． D． 2．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 3．下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 4．已知向量，则（　） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D．5 6．如图所示，是线段的中点，设向量，则可以用表示为（    ）    A． B． C． D． 7．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，若，点D是的中点，则等于（   ） A． B． C． D．1 9．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 10．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．已知向量，，若，则实数的值是___ __. 12．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是__________. 13．已知正方形的边长为2，若分别是的中点，则___ ___. 14．已知，则 . 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0）． (1)若c＝5，求的值； (2)若，求c的值． 16．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 17．已知向量，且与垂直. (1)求实数的值； (2)若，当有最小值时，求实数的值并求出的最小值. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，依托于山东省春季高考数学科目考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共20份试卷，本卷是2026年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》的第10卷。 2026年山东省春季高考 第10卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．已知向量，且则等于（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 2．已知 三点在一条直线上，则m的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 又因为三点共线，. . 故选：B. 3．下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相反向量、共线向量的概念可知A、B、C错误，D正确. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误； 单位向量的模相等，它们是否相等与方向有关，故B错误； 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量，故C错误； 若//，且A点公共，则A，B，C三点共线.故D正确. 故选：D 4．已知向量，则（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量减法的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 5．已知向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示得出的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量， 则， 由， 得， 即，解得， 故选：A. 6．如图所示，是线段的中点，设向量，则可以用表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数乘和减法法则计算即可. 【详解】因为向量，所以. 因为是线段的中点，所以. . 故选：C. 7．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量内积的定义及向量的模，可得，，结合向量夹角的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，即， 所以， 所以. 又向量夹角的范围是， 所以. 故选：B. 8．在△ABC中，若，点D是的中点，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】找到与的夹角代入内积公式即可求. 【详解】如图， 因为，所以为等边三角形， 则， 而与的夹角为， 因为点D是的中点，则， 则； 故选：C. 9．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将等式两边分别平方，结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，则， 所以， 化简得，解得（舍）或， 故选：. 10．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量，再根据同向单位向量的求法求出. 【详解】由题意，得， 则， 所以. 故选：B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．已知向量，，若，则实数的值是___ __. 【答案】 【分析】根据向量内积的坐标运算公式列式求解即可. 【详解】由，得，解得. 故答案为： 12．设平面向量，，若的的夹角为锐角，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据与的夹角为锐角或，所以只需求出且不共线时的取值范围即可. 【详解】与的夹角为锐角，所以， 而时，方向相同，夹角为， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知正方形的边长为2，若分别是的中点，则______. 【答案】4 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，结合向量的坐标表示，及向量内积的坐标运算，即可求解. 【详解】由题意，以A为原点，建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为2，且分别是的中点， 则， 所以， 所以. 故答案为：4. 14．已知，则____ _. 【答案】2 【分析】根据题意，先求出，代入即可求出，继而求解. 【详解】因为， 两边平方得， 因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为：2. 三、解答题:本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0）． (1)若c＝5，求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意和两点之间的距离公式求出、、，由余弦定理求出的值，再根据平方关系即可得解； （2）由题意和向量的坐标运算求出的坐标，由向量的数量积运算列出方程，求出的值. 【详解】（1）解：由条件得，，，， ，，， 由余弦定理得，， 又，所以； （2）解：，，， ， ，，解得. 16．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 17．已知向量，且与垂直. (1)求实数的值； (2)若，当有最小值时，求实数的值并求出的最小值. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（）根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示及平面向量垂直的坐标表示即可得解. （）根据题意结合平面向量的模长公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，， 因为与垂直， 所以，化简得， 解得或. （2）因为，所以，即， 则， 所以当时， 有最小值，最小值为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $