单元培优讲义：数学好玩（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 数学好玩 考点梳理 1 考点一：绘制校园平面图 1 考点二：莫比乌斯带的制作 2 考点三：利用数对绘制相似图形 2 例题讲解 3 题型一、绘制校园平面图 3 题型二、莫比乌斯带的制作 5 题型三、利用数对绘制相似图形 6 培优练习 8 练习一、绘制校园平面图 8 练习二、莫比乌斯带的制作 14 练习三、利用数对绘制相似图形 17 考点梳理 考点一：绘制校园平面图 1. 绘制前的准备 (1)确定绘制范围：明确校园平面图需包含的主要区域，如教学楼、操场、图书馆、花坛、道路等，避免遗漏关键场所。 (2)收集数据：通过实地测量或查阅校园资料，获取各区域的实际尺寸（如教学楼长、宽，操场跑道长度等），确保数据准确。 (3)选择比例尺：根据纸张大小和校园实际大小确定合适的比例尺（如1:500，表示图上1厘米代表实际500厘米，即5米），比例尺需标注在图的右下角。 2. 绘制步骤 (1)确定方向：通常采用“上北下南，左西右东”的方向标，在图的右上角绘制箭头并标注“北”。 (2)绘制草图：先在草稿纸上大致勾勒各区域的相对位置和形状，确定各部分的布局合理性。 (3)按比例绘制：根据实际尺寸和比例尺，计算各区域在图上的尺寸（图上距离=实际距离÷比例尺），用直尺、圆规等工具准确绘制图形轮廓。 (4)标注信息：在图上标注各区域名称（如“教学楼”“篮球场”）、主要设施（如“旗杆”“大门”），并绘制图例说明不同符号代表的含义（如用长方形表示建筑物，曲线表示道路等）。 3. 注意事项 (1)确保各区域相对位置准确，符合校园实际布局； (2)比例尺选择需适中，避免图形过大或过小导致细节模糊； (3)标注清晰，图例简洁易懂，方便他人理解平面图内容。 考点二：莫比乌斯带的制作 1. 制作材料 (1)长方形纸条（建议长20~30厘米，宽3~5厘米，材质可选用彩纸或牛皮纸，便于折叠和粘贴）； (2)胶水或胶带（用于固定纸条接头）； (3)剪刀（用于裁剪纸条或后续实验）。 2. 制作步骤 (1)裁剪纸条：将长方形纸条裁剪整齐，确保边缘平直。 (2)扭转纸条：将纸条的一端固定，另一端扭转180°（即半圈），使纸条的正面与反面相连。 (3)粘贴固定：将扭转后的两端对齐，用胶水或胶带粘贴在一起，形成一个闭合的环，即莫比乌斯带。 3. 莫比乌斯带的特征 (1)拓扑学特征：莫比乌斯带是一种单侧曲面，只有一个面和一条边（普通圆环有两个面和两条边）。 (2)实验验证：用彩笔沿纸条中线连续画线，会发现无需翻面即可画完整个曲面；若沿中线剪开莫比乌斯带，会得到一个比原带长一倍的闭合环（而非两个分开的环）。 4. 数学意义与应用 (1)体现“拓扑变换”思想，即图形在连续变形（如拉伸、扭转）下保持不变的性质； (2)生活应用：传送带、打印机色带等设计为莫比乌斯带形状，可使磨损均匀，延长使用寿命。 考点三：利用数对绘制相似图形 1. 核心概念回顾 (1)数对：由两个有顺序的数组成，记作（列数，行数），用于确定平面内点的位置（如在方格纸上，点A的位置为（3，2），表示第3列第2行）。 (2)相似图形：形状相同但大小可能不同的图形，对应边成比例，对应角相等。 2. 绘制步骤 (1)确定原图形顶点数对：在方格纸上标出原图形各顶点的数对（如原三角形顶点A（1，1）、B（3，1）、C（2，3））。 (2)确定相似比：明确新图形与原图形的相似比k（k>0，k=1时为全等图形，k>1时放大，0<k<1时缩小）。 (3)计算新顶点数对：将原图形各顶点数对的列数和行数分别乘以相似比k，得到新图形顶点的数对（如相似比k=2，则新顶点A'（1×2，1×2）=（2，2），B'（3×2，1×2）=（6，2），C'（2×2，3×2）=（4，6））。 (4)连接顶点：在方格纸上根据新顶点数对描点，依次连接各顶点，形成与原图形相似的新图形。 3. 关键要点 (1)相似比需统一应用于原图形所有顶点的数对，确保对应边成比例； (2)数对计算时需注意列数和行数的对应关系，避免混淆； (3)绘制后可通过测量对应边长度或对应角大小，验证图形是否相似。 例题讲解 题型一、绘制校园平面图 【例题1】看图回答问题。 (1)教学楼在图上长4cm，宽1cm，那么教学楼的实际长为( )m，宽为( )m，教学楼的实际占地面积是( )m2。 (2)图上的圆形花坛直径为1cm，这个花坛的实际面积是( )m2；如果要在这个花坛的周围围上篱笆，篱笆全长( )m。 【答案】(1) 160 40 6400 (2) 1256 125.6 【分析】（1）图上距离与实际距离的比叫做这幅图的比例尺，由上图比例尺1∶4000可知，实际距离是图上距离的4000倍，所以用“图上距离×4000”即可得到实际距离，再除以100，即可把单位“cm”，转化成“m”，再用“长×宽”即可求出教学楼的实际占地面积； （2）先根据（1）的分析求出花坛的实际直径，，，据此即可求出花坛的实际面积和篱笆的全长。 【详解】（1）教学楼实际长：4×4000÷100＝160（m） 教学楼实际宽：1×4000÷100＝40（m） 教学楼的实际占地面积：160×40＝6400（） （2）花坛实际直径：1×4000÷100＝40（m） 花坛的实际面积： （） 篱笆全长： （m） 【点睛】本题考查比例尺的应用以及圆的周长和面积公式的灵活运用，根据比例尺先求出实际距离是本题的解题关键。 【练习1】根据所给的条件，在下面的图纸上选择合适的比例尺，并画出学校的平面图。 （1）学校大门在花坛的正南面。 （2）花坛的西面有一栋长50m，宽20m的长方形教学楼 （3）花坛的东北角有一座边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m，宽10m的图书馆。 （5）花坛的东南角有一片长30m，宽20m的绿化区。 【答案】见详解 【分析】根据长度单位1米＝100厘米换算单位，根据每个小问可以选择一小段是表示20米，据此即可表示出每个图形图上的长度，再根据上北下南，左西右东结合图上确定方向的方法，完成作图即可。 【详解】由分析可知： （1）、（2）、（3）、（4）、（5）如图： 【点睛】考查了应用比例尺画图，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一。 题型二、莫比乌斯带的制作 【例题2】下列造型应用了莫比乌斯带原理的是( )。（填序号） 【答案】①②③ 【分析】一个长方形的长条，先扭一下或几下，再将长条的两端粘上，得到的闭环是莫比乌斯带。据此找出题中的莫比乌斯带，从而解题。 【详解】①②③符合莫比乌斯带定义，所以应用了莫比乌斯带原理。 ④是圆环交叉在一起，所以没有应用莫比乌斯带原理。 【练习2】如图，将①号、②号纸环分别沿虚线剪开，会得到怎样的纸环？ 【答案】将①号纸环沿虚线剪开，得到两个分离的纸环。将②号纸环沿虚线剪开，得到一个窄一点的大的纸环。 【分析】①号纸环是普通的纸环，沿虚线剪开后会得到 两个分离的纸环。 ②号纸环是莫比乌斯带，沿虚线剪开后会得到 一个窄一点的大的纸环。据此解答。 【详解】根据分析得： 将①号纸环沿虚线剪开，得到两个分离的纸环。将②号纸环沿虚线剪开，得到一个窄一点的大的纸环。 题型三、利用数对绘制相似图形 【例题3】请准确描述出下面涂色方格的位置。 A（5，7）、B( )、C( )、D( )、E( )、F( )、G( )、H( )。    【答案】 （4，6） （3，5） （4，4） （5，3） （6，4） （7，5） （6，6） 【分析】在用数对表述物体位置时，括号里的第一个数字表示物体所在的列，第二个数字表示物体所在的行，在图中找到需要写出数对的地点，根据这一原则答题即可。 【详解】由分析可得： 各方格的位置表示如下：B（4，6）；C（3，5）；D（4，4）；E（5，3）；F（6，4）；G（7，5）；H（6，6）。 【点睛】本题主要考查了用数对表示位置以及根据位置来写出数对，一定要仔细观察，知道数对括号里的第一个数表示物体所在的列，第二个数字表示物体所在的行。 【练习3】可爱的机器人。 （1）如图是一个可爱的机器人淘淘，请将表示淘淘轮廓的数对填在下面。 A（0，0），B（5，0），C（3，1），D（3，2），E（   ，  ），F（  ，  ），G（  ，  ），H（  ，  ），I（  ，  ），J（  ，  ）。 （2）淘淘还有当当和方方两个小伙伴，观察下表中表示每个机器人轮廓的点的数对规律，把表格补充完整。 A B C D E F G H I J 当当 （0，0） （10，0） （6，1） （6，2） 方方 （0，0） （10，0） （6，2） （6，4） （3）根据表格，在下面方格纸中分别画出当当和方方的轮廓。 （4）谁的轮廓更像淘淘？ 【答案】见详解 【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示点所在的列，第二个数字表示点所在的行，据此填写。 （2）通过观察可知：当当和淘气相同字母所表示的位置，所在的行相同，所在列不同，同一个字母所表示的列，当当是淘气的2倍； 方方和淘气相同字母所表示的位置，所在的行和列是淘气的2倍。 （3）根据（2）中的当当和方方的每个轮廓点所表示的列和行，在方格纸中准确标出即可。 （4）观察方格中的轮廓，和（1）中的轮廓比较好可。 【详解】（1）E（5，4）；F（4，4）；G（1，4）；H（0，4）；I（2，2）；J（2，1） （2）当当：E（10，4）；F（8，4）；G（2，4）；H（0，4）；I（4，2）；J（4，1） 方方：E（10，8）；F（8，8）；G（2，8）；H（0，8）；I（4，4）；J（4，2） （3） （4）通过观察比较，方方的轮廓更像淘淘。 培优练习 练习一、绘制校园平面图 1．下图是一幅美丽的校园平面图，量得实验楼到教学楼的图上距离是2厘米，而实际距离为100米。 (1)该图所用的比例尺为（    ）。 A．1∶50000 B．1∶5000 C．1∶500 (2)量得田径场的宽为1cm，它的实际距离为（    ）m。 A．5 B．500 C．50 (3)绘制这幅平面图前，必须收集的数据是（    ）。 A．实际距离 B．图上距离 C．建筑的高度 【答案】(1)B (2)C (3)A 【分析】（1）比例尺＝图上距离∶实际距离，将数据代入即可求得比例尺的大小。 （2）实际距离＝图上距离∶比例尺，将数据代入即可求得实际距离。 （3）根据比例尺的定义，要收集实际距离。 【详解】（1）2厘米∶100米＝2厘米∶10000厘米＝1：5000 故答案为：B （2）＝（厘米）＝50米 故答案为：C （3）绘制这幅平面图前，必须知道各建筑物的实际距离。 故答案为：A 【点睛】本题考查了比例尺的应用，掌握比例尺、图上距离、实际距离三者的关第是解答的关键。 2．平平家的正西方向600米是游泳馆，游泳馆的正北方向200米是图书馆，图书馆的正东方向1000米是百货超市，百货超市的正南方向400米是电影院。请你先确定比例尺，再画出上述各个地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】根据利用方向和距离确定物体位置的方法，先确定方向，再确定距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，确定比例尺为：1∶20000，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 平平家到游泳馆的图上距离为：600米＝60000厘米 60000×＝3（厘米） 游泳馆到图书馆的图上距离为：200米＝20000厘米 20000×＝1（厘米） 图书馆到百货超市的图上距离为：1000米＝100000厘米 100000×＝5（厘米） 百货超市到电影院的图上距离为：400米＝40000厘米 40000×＝2（厘米） 画图如下：    【点睛】此题考查的目的是理解掌握利用方向和距离确定物体位置的方法及应用。 3．游乐中心计划建一个半径为20米的半圆形花坛。请你选择合适的比例尺把这个半圆形花坛画在下面的长方形内。 【答案】见详解 【分析】先测量出长方形的长和宽；量的长是5厘米，宽是3厘米；由此可知，直径小于5厘米，即半径选择为2厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出比例尺，然后找一个点为圆心，以20米的图上距离为半径画出半圆即可。 【详解】20米＝2000厘米 2∶2000 ＝（2÷2）∶（2000÷2） ＝1∶1000 （画法不唯一）。 【点睛】熟练掌握比例尺的意义是解答本题的关键。 4．实验小学的正东方向200米处是图书馆，图书馆的正北方向100米处是医院，医院的正西方向300处是科技馆。请你先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】用图上1厘米代表实际100米的线段比例尺比较合适．根据平面图上方向辨别“上北下南，左西右东”，以实验小学的位置为观测点即可确定图书馆的方向，再根据比例尺求出实际200米的图上距离；以图书馆的位置为观测点即可确定医院的方向，再根据比例尺求出实际100米的图上距离；以医院的位置为观测点即可确定科技馆的方向，再根据比例尺求出实际300米的图上距离；据此画图。 【详解】200÷100＝2（厘米） 100÷100＝1（厘米） 300÷100＝3（厘米） 作图如下： 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。 5．下图所示的是某小学校园的平面图。 （1）图上1cm表示实际距离（    ）。量得图上操场的长为（    ）cm，宽为（    ）cm，则实际操场的长为（    ）m，宽为（    ）m，面积为（    ）。 （2）描述一下，从大门进去，如何才能走到厕所？ 【答案】（1）40m；2.5；1.5；100；60；； （2）从大门进去，先向北走，经过花坛到达教学楼前，再向东走，经过图书馆到达厕所。 【分析】先用直尺量出图上操场的长、宽的距离，再利用：实际距离＝图上距离÷比例尺，算出实际距离，最后利用：长方形面积＝长×宽，算出长方形操场的实际面积； 根据图上标的方向，上北下南左西右东，描述路线。 【详解】根据图中比例尺可知：图上距离1cm表示实际距离4000cm，cmmm， 量得操场图上长为2.5cm，操场实际长：（cm）m 量得操场图上宽为1.5cm，操场实际宽：（cm）m 操场实际面积：（m2） （1）图上1cm表示实际距离40m。量得图上操场的长为2.5cm，宽为1.5cm，则实际操场的长为100m，宽为60m，面积为6000m2。 （2）从大门进去，先向北走，经过花坛到达教学楼前，再向东走，经过图书馆到达厕所。 6．利用课间，贝贝学习小组的同学绘制了和平小学的校园平面图。 （1）图上1厘米表示实际距离是（    ）。 （2）在平面图中，操场的长是2.5厘米，宽是1.5厘米，操场实际的长是（    ）米，宽是（    ）米。操场的占地面积是（    ）平方米。 （3）和平小学的校园实际占地面积是多少？ （4）乐乐在另一张图纸上画出校园的平面图，他用54厘米表示校园的长。乐乐所画的平面图的比例尺是多少？ 【答案】（1）18米 （2）45；27；1215 （3）5832平方米 （4）1∶200 【分析】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离可求得实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得1厘米表示18米； （2）已知1厘米表示18米，则由长和宽的图上距离×18即可得出实际的长和宽，根据长方形面积＝长×宽即可计算出操场的占地面积； （3）观察图形可知，和平小学图上的长是6厘米，宽是3厘米，根据比例尺可求得其实际的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽代入数据即可计算出和平小学的校园实际的占地面积； （4）乐乐画的平面图用54厘米表示出的校园的长，与贝贝的平面图用6厘米表示的校园的长，实际长度是一样的，因此可先用贝贝的比例尺求出校园的实际长度，再用乐乐的图上距离∶实际距离求出乐乐画的平面图的比例尺。 【详解】（1）1÷＝1×1800＝1800厘米 1800厘米＝18米，即图上1厘米表示实际距离18米； （2）2.5×18＝45（米） 1.5×18＝27（米） 45×27＝1215（平方米） 则操场实际的长是45米，宽是27米，操场的占地面积是1215平方米； （3）3÷＝3×1800＝5400厘米 5400厘米＝54米 6÷＝6×1800＝10800（厘米） 10800厘米＝108米 54×108＝5832（平方米） 答：和平小学的校园实际占地面积是5832平方米。 （4）6÷＝6×1800＝10800（厘米） 54∶10800＝1∶200 答：乐乐所画的平面图的比例尺是1∶200。 练习二、莫比乌斯带的制作 1．下面的造型设计没有用到莫比乌斯带元素的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】莫比乌斯带是一种单侧曲面，它只有一个面和一条边界，形状通常呈现出连续的、扭曲的环状等特征。观察四个选项中的造型，判断是否具有莫比乌斯带的这些特征。 【详解】A．摩天轮是常见的旋转对称结构，没有用到莫比乌斯带元素； B．造型设计呈现连续的、扭曲的环状，符合莫比乌斯带的特征，用到了莫比乌斯带元素； C．造型设计具有莫比乌斯带独特的单侧、扭曲的曲面特点，用到了莫比乌斯带元素； D．造型设计呈现类似莫比乌斯带的连续扭曲的环状结构，用到了莫比乌斯带元素。 故答案为：A 2．用一张长纸条做成一个莫比乌斯带，将这条莫比乌斯带沿带中线剪开，得到的图形是（    ）。 A．两个一样大小的纸环 B．一个较大的纸环 C．一个较小的纸环 D．一大一小的两个纸环 【答案】B 【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。 【详解】当沿着莫比乌斯带的中线剪开时，并不会得到两个独立的纸环，而是会形成一个更大的纸环，这个纸环的长度是原来莫比乌斯带长度的两倍。 故答案为：B 3．下面描述莫比乌斯带错误的是（    ）。 A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环 B．莫比乌斯带只有一个面 C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带 D．莫比乌斯带只有一条边 【答案】A 【分析】莫比乌斯带是德国数学家在1858年发现的，把一条长方形纸带先捏着一端，另一端扭转180°，再粘贴起来就成了莫比乌斯带，莫比乌斯带只有一个面，一条边；如果沿着中线剪一次，纸带会变成一个更大的纸环；如果沿着三等分线剪开没有一分为三，而成了一大一小两个相连的环，据此解答。 【详解】A．沿着莫比乌斯带中线剪开，会得到一个更大的纸环；原说法错误； B．莫比乌斯带只有一个面；此说法正确； C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带；此说法正确； D．莫比乌斯带只有一条边；此说法正确。 故答案为：A 4．把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转( )°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有( )个面，有( )条边。 【答案】 180 1 1 【分析】把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条特殊的带子，即一条莫比乌斯带。莫比乌斯带具有独特的性质，它只有1个面，有1条边，据此解答。 【详解】由分析得：把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有1个面，有1条边。 5．一个圆形纸环的直径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包面包屑。笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑， 这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 【答案】31.4 【分析】让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，根据“莫比乌斯环”的特点，爬行的最短距离即为圆环的周长，根据圆的周长公式，代入数据即可解答。 【详解】（cm） 即蚂蚁至少需要爬行31.4cm才能吃到面包屑。 6．取一张长60cm、宽6cm的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如下图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这个莫比乌斯带上爬行，它至少爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 【答案】120厘米 【分析】将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到一个大环，大环的周长是原来长方形纸条长度的2倍。将纸条长度乘2，求出大环的周长，即蚂蚁至少爬行多少厘米可以回到起点。 【详解】（厘米） 答：它至少爬行120厘米可以回到起点。 7．用一张长26厘米、宽4厘米的长方形纸条，做一个莫比乌斯带。 （1）从纸环的连接处开始，沿着一个方向涂色，直到再次回到连接处为止，涂色的面积是（    ）平方厘米。（接口处忽略不计） （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会变成什么样子？试一试。 【答案】（1）208 （2）会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带。 【分析】（1）莫比乌斯带是由长方形纸条经过扭转、粘贴而成，按照题中的方式涂色，长方形纸条的正、反两面都能涂上色，故涂色面积是长方形纸条面积的2倍。 （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带（合理即可）。 【详解】（1） （平方厘米） 即涂色的面积是208平方厘米。 （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会得到一个长度是原来2倍的大纸环，而且这个大纸环不是莫比乌斯带（合理即可）。 练习三、利用数对绘制相似图形 1．如图中字母A的位置是（    ）。 A．（2，1） B．（9，6） C．（5，9） D．（1，6） 【答案】C 【分析】根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此解答。 【详解】图中字母A在第5列第9行，用数对表示字母A的位置是（5，9）。 故答案为：C 【点睛】本题考查数对与位置的知识，掌握用数对表示物体位置的方法是解题的关键。 2．游动的小鱼。    （1）如图是一条小鱼乐乐，请你将表示乐乐轮廓的点的数对填在下面。 A（4，3），B（4，1），C（3，2），D（    ），E（    ），F（    ）。 （2）观察下表中表示每条小鱼轮廓的点的数对规律，把表格填写整。 A B C D E F 乐乐 （4，3） （4，1） （3，2） （    ） （    ） （    ） 南南 （8， 3） （8， 1） （6，2） （    ） （    ） （    ） 笑笑 （4， 6） （4， 2） （3，4） （    ） （    ） （    ） （3）根据上表，在下面的方格纸上分别绘出小鱼南南和笑笑的轮廓。      （4）如果用（x，y）表示乐乐某一点的位置，那么南南相对应点的位置可以表示为（    ），笑笑相对应点的位置可以表示为（    ）。 【答案】（1）（2，1），（1，2），（2，3）； （2）（2，1），（1，2），（2，3） （4，1），（2，2），（4，3） （2，2），（1，4），（2，6） （3）见详解 （4）（2x，y）；（x，2y） 【分析】（1）数对中左边的数表示第几列，右边的数表示第几行，据此解答； （2）画小鱼南南轮廓的点的数对规律：列数都是乐乐的2倍，行数不变，据此填写； 画小鱼笑笑轮廓的点的数对规律：列数不变，行数都是乐乐的2倍，据此填写； （3）画图时先描点再连线，具体画图见详解； （4）如果用（x，y）表示乐乐某一点的位置，画小鱼南南轮廓的点的数对规律：列数都是乐乐的2倍，行数不变，那么南南相对应点的位置可以表示为（2x，y）；画小鱼笑笑轮廓的点的数对规律：列数不变，行数都是乐乐的2倍，那么笑笑相对应点的位置可以表示为（x，2y）。 【详解】由分析可知： （1）表示乐乐轮廓的点的数对如下： A（4，3），B（4，1），C（3，2），D（2，1），E（1，2），F（2，3）。 （2）由分析中规律填写如下： A B C D E F 乐乐 （4，3） （4，1） （3，2） （2，1） （1，2） （2，3） 南南 （8， 3） （8， 1） （6，2） （4，1） （2，2） （4，3） 笑笑 （4， 6） （4， 2） （3，4） （2，2） （1，4） （2，6） （3）小鱼南南和笑笑的轮廓如下：    （4）如果用（x，y）表示乐乐某一点的位置，那么南南相对应点的位置可以表示为（2x，y）；笑笑相对应点的位置可以表示为（x，2y）。 【点睛】本题考查运用数对画图形，注意先描点再连线，如果数对中有一个数变了，那么画出的图形也会有变化。 3．如图所示的是小鱼小东。 （1）将表示小鱼小东轮廓的点的数对填在下面。 A（0，1）  B（2，2）  C（2，0）  D（  ，  ）  E（  ，  ）  F（  ，  ） （2）观察下表中小南、小西、小北轮廓的点的数对的规律，把表格填写完整。 A B C D E F 小东 （0，1） （2，2） （2，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小南 （0，2） （2，4） （2，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小西 （0，1） （4，2） （4，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小北 （0，2） （4，4） （4，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） （3）根据上表，在下面的方格纸中分别画出小鱼小南、小西和小北的轮廓。 （4）小南、小西和小北中，（    ）和小东长得最像。 【答案】（1）D（2，1）；E（3，2）；F（3，0） （2）（2，1）；（3，2）；（3，0）； （2，2）；（3，4）；（3，0）； （4，1）；（6，2）；（6，0）； （4，2）；（6，4）；（6，0）； （3）图见详解 （4）小北 【分析】（1）数对中左边的数表示第几列，右边的数表示第几行，据此解答； （2）小南轮廓的点的数对规律：行数×2，列数不变，据此填写；小西轮廓的点的数对规律：行数不变，列数×2，据此填写；小北轮廓的点的数对规律：行数×2，列数×2，据此填写； （3）画图时先描点再连线，具体画图见详解； （4）观察方格中的轮廓，和小东的轮廓比较即可。 【详解】由分析可知： （1）表示小鱼小东轮廓的点的数对如下：A（0，1） B（2，2） C（2，0）D（2，1）；E（3，2）；F（3，0）。 （2）由分析中的规律填表如下： A B C D E F 小东 （0，1） （2，2） （2，0） （2，1） （3，2） （3，0） 小南 （0，2） （2，4） （2，0） （2，2） （3，4） （3，0） 小西 （0，1） （4，2） （4，0） （4，1） （6，2） （6，0） 小北 （0，2） （4，4） （4，0） （4，2） （6，4） （6，0） （3）如下图所示； （4）小南、小西和小北中，小北和小东长得最像。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 数学好玩 考点梳理 1 考点一：绘制校园平面图 1 考点二：莫比乌斯带的制作 2 考点三：利用数对绘制相似图形 2 例题讲解 3 题型一、绘制校园平面图 3 题型二、莫比乌斯带的制作 4 题型三、利用数对绘制相似图形 4 培优练习 5 练习一、绘制校园平面图 5 练习二、莫比乌斯带的制作 8 练习三、利用数对绘制相似图形 9 考点梳理 考点一：绘制校园平面图 1. 绘制前的准备 (1)确定绘制范围：明确校园平面图需包含的主要区域，如教学楼、操场、图书馆、花坛、道路等，避免遗漏关键场所。 (2)收集数据：通过实地测量或查阅校园资料，获取各区域的实际尺寸（如教学楼长、宽，操场跑道长度等），确保数据准确。 (3)选择比例尺：根据纸张大小和校园实际大小确定合适的比例尺（如1:500，表示图上1厘米代表实际500厘米，即5米），比例尺需标注在图的右下角。 2. 绘制步骤 (1)确定方向：通常采用“上北下南，左西右东”的方向标，在图的右上角绘制箭头并标注“北”。 (2)绘制草图：先在草稿纸上大致勾勒各区域的相对位置和形状，确定各部分的布局合理性。 (3)按比例绘制：根据实际尺寸和比例尺，计算各区域在图上的尺寸（图上距离=实际距离÷比例尺），用直尺、圆规等工具准确绘制图形轮廓。 (4)标注信息：在图上标注各区域名称（如“教学楼”“篮球场”）、主要设施（如“旗杆”“大门”），并绘制图例说明不同符号代表的含义（如用长方形表示建筑物，曲线表示道路等）。 3. 注意事项 (1)确保各区域相对位置准确，符合校园实际布局； (2)比例尺选择需适中，避免图形过大或过小导致细节模糊； (3)标注清晰，图例简洁易懂，方便他人理解平面图内容。 考点二：莫比乌斯带的制作 1. 制作材料 (1)长方形纸条（建议长20~30厘米，宽3~5厘米，材质可选用彩纸或牛皮纸，便于折叠和粘贴）； (2)胶水或胶带（用于固定纸条接头）； (3)剪刀（用于裁剪纸条或后续实验）。 2. 制作步骤 (1)裁剪纸条：将长方形纸条裁剪整齐，确保边缘平直。 (2)扭转纸条：将纸条的一端固定，另一端扭转180°（即半圈），使纸条的正面与反面相连。 (3)粘贴固定：将扭转后的两端对齐，用胶水或胶带粘贴在一起，形成一个闭合的环，即莫比乌斯带。 3. 莫比乌斯带的特征 (1)拓扑学特征：莫比乌斯带是一种单侧曲面，只有一个面和一条边（普通圆环有两个面和两条边）。 (2)实验验证：用彩笔沿纸条中线连续画线，会发现无需翻面即可画完整个曲面；若沿中线剪开莫比乌斯带，会得到一个比原带长一倍的闭合环（而非两个分开的环）。 4. 数学意义与应用 (1)体现“拓扑变换”思想，即图形在连续变形（如拉伸、扭转）下保持不变的性质； (2)生活应用：传送带、打印机色带等设计为莫比乌斯带形状，可使磨损均匀，延长使用寿命。 考点三：利用数对绘制相似图形 1. 核心概念回顾 (1)数对：由两个有顺序的数组成，记作（列数，行数），用于确定平面内点的位置（如在方格纸上，点A的位置为（3，2），表示第3列第2行）。 (2)相似图形：形状相同但大小可能不同的图形，对应边成比例，对应角相等。 2. 绘制步骤 (1)确定原图形顶点数对：在方格纸上标出原图形各顶点的数对（如原三角形顶点A（1，1）、B（3，1）、C（2，3））。 (2)确定相似比：明确新图形与原图形的相似比k（k>0，k=1时为全等图形，k>1时放大，0<k<1时缩小）。 (3)计算新顶点数对：将原图形各顶点数对的列数和行数分别乘以相似比k，得到新图形顶点的数对（如相似比k=2，则新顶点A'（1×2，1×2）=（2，2），B'（3×2，1×2）=（6，2），C'（2×2，3×2）=（4，6））。 (4)连接顶点：在方格纸上根据新顶点数对描点，依次连接各顶点，形成与原图形相似的新图形。 3. 关键要点 (1)相似比需统一应用于原图形所有顶点的数对，确保对应边成比例； (2)数对计算时需注意列数和行数的对应关系，避免混淆； (3)绘制后可通过测量对应边长度或对应角大小，验证图形是否相似。 例题讲解 题型一、绘制校园平面图 【例题1】看图回答问题。 (1)教学楼在图上长4cm，宽1cm，那么教学楼的实际长为( )m，宽为( )m，教学楼的实际占地面积是( )m2。 (2)图上的圆形花坛直径为1cm，这个花坛的实际面积是( )m2；如果要在这个花坛的周围围上篱笆，篱笆全长( )m。 【练习1】根据所给的条件，在下面的图纸上选择合适的比例尺，并画出学校的平面图。 （1）学校大门在花坛的正南面。 （2）花坛的西面有一栋长50m，宽20m的长方形教学楼 （3）花坛的东北角有一座边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m，宽10m的图书馆。 （5）花坛的东南角有一片长30m，宽20m的绿化区。 题型二、莫比乌斯带的制作 【例题2】下列造型应用了莫比乌斯带原理的是( )。（填序号） 【练习2】如图，将①号、②号纸环分别沿虚线剪开，会得到怎样的纸环？ 题型三、利用数对绘制相似图形 【例题3】请准确描述出下面涂色方格的位置。 A（5，7）、B( )、C( )、D( )、E( )、F( )、G( )、H( )。    【练习3】可爱的机器人。 （1）如图是一个可爱的机器人淘淘，请将表示淘淘轮廓的数对填在下面。 A（0，0），B（5，0），C（3，1），D（3，2），E（   ，  ），F（  ，  ），G（  ，  ），H（  ，  ），I（  ，  ），J（  ，  ）。 （2）淘淘还有当当和方方两个小伙伴，观察下表中表示每个机器人轮廓的点的数对规律，把表格补充完整。 A B C D E F G H I J 当当 （0，0） （10，0） （6，1） （6，2） 方方 （0，0） （10，0） （6，2） （6，4） （3）根据表格，在下面方格纸中分别画出当当和方方的轮廓。 （4）谁的轮廓更像淘淘？ 培优练习 练习一、绘制校园平面图 1．下图是一幅美丽的校园平面图，量得实验楼到教学楼的图上距离是2厘米，而实际距离为100米。 (1)该图所用的比例尺为（    ）。 A．1∶50000 B．1∶5000 C．1∶500 (2)量得田径场的宽为1cm，它的实际距离为（    ）m。 A．5 B．500 C．50 (3)绘制这幅平面图前，必须收集的数据是（    ）。 A．实际距离 B．图上距离 C．建筑的高度 2．平平家的正西方向600米是游泳馆，游泳馆的正北方向200米是图书馆，图书馆的正东方向1000米是百货超市，百货超市的正南方向400米是电影院。请你先确定比例尺，再画出上述各个地点的平面图。 3．游乐中心计划建一个半径为20米的半圆形花坛。请你选择合适的比例尺把这个半圆形花坛画在下面的长方形内。 4．实验小学的正东方向200米处是图书馆，图书馆的正北方向100米处是医院，医院的正西方向300处是科技馆。请你先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。 5．下图所示的是某小学校园的平面图。 （1）图上1cm表示实际距离（    ）。量得图上操场的长为（    ）cm，宽为（    ）cm，则实际操场的长为（    ）m，宽为（    ）m，面积为（    ）。 （2）描述一下，从大门进去，如何才能走到厕所？ 6．利用课间，贝贝学习小组的同学绘制了和平小学的校园平面图。 （1）图上1厘米表示实际距离是（    ）。 （2）在平面图中，操场的长是2.5厘米，宽是1.5厘米，操场实际的长是（    ）米，宽是（    ）米。操场的占地面积是（    ）平方米。 （3）和平小学的校园实际占地面积是多少？ （4）乐乐在另一张图纸上画出校园的平面图，他用54厘米表示校园的长。乐乐所画的平面图的比例尺是多少？ 练习二、莫比乌斯带的制作 1．下面的造型设计没有用到莫比乌斯带元素的是（    ）。 A． B． C． D． 2．用一张长纸条做成一个莫比乌斯带，将这条莫比乌斯带沿带中线剪开，得到的图形是（    ）。 A．两个一样大小的纸环 B．一个较大的纸环 C．一个较小的纸环 D．一大一小的两个纸环 3．下面描述莫比乌斯带错误的是（    ）。 A．沿着莫比乌斯带中线剪开，得到两个圆环 B．莫比乌斯带只有一个面 C．用一张长方形纸条的一端旋转180°，再和另一端粘贴好，可以制作一个莫比乌斯带 D．莫比乌斯带只有一条边 4．把长方形纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转( )°，与相对应的另一边粘起来，就制成了一条莫比乌斯带，它只有( )个面，有( )条边。 5．一个圆形纸环的直径是10cm，纸环外侧的A点处有一只蚂蚁，A点相对的纸环内侧有一点面包面包屑。笑笑将纸环剪断后扭转做成“莫比乌斯环”（接头忽略不计），让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑， 这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 6．取一张长60cm、宽6cm的长方形纸条，在纸条中间画一条虚线（如下图）。将它先做成一个莫比乌斯带，然后沿虚线剪开。一只蚂蚁从某一点开始沿着一个方向在这个莫比乌斯带上爬行，它至少爬行多少厘米可以回到起点？（接口处长度忽略不计） 7．用一张长26厘米、宽4厘米的长方形纸条，做一个莫比乌斯带。 （1）从纸环的连接处开始，沿着一个方向涂色，直到再次回到连接处为止，涂色的面积是（    ）平方厘米。（接口处忽略不计） （2）将纸环沿图中的虚线剪开，会变成什么样子？试一试。 练习三、利用数对绘制相似图形 1．如图中字母A的位置是（    ）。 A．（2，1） B．（9，6） C．（5，9） D．（1，6） 2．游动的小鱼。    （1）如图是一条小鱼乐乐，请你将表示乐乐轮廓的点的数对填在下面。 A（4，3），B（4，1），C（3，2），D（    ），E（    ），F（    ）。 （2）观察下表中表示每条小鱼轮廓的点的数对规律，把表格填写整。 A B C D E F 乐乐 （4，3） （4，1） （3，2） （    ） （    ） （    ） 南南 （8， 3） （8， 1） （6，2） （    ） （    ） （    ） 笑笑 （4， 6） （4， 2） （3，4） （    ） （    ） （    ） （3）根据上表，在下面的方格纸上分别绘出小鱼南南和笑笑的轮廓。      （4）如果用（x，y）表示乐乐某一点的位置，那么南南相对应点的位置可以表示为（    ），笑笑相对应点的位置可以表示为（    ）。 3．如图所示的是小鱼小东。 （1）将表示小鱼小东轮廓的点的数对填在下面。 A（0，1）  B（2，2）  C（2，0）  D（  ，  ）  E（  ，  ）  F（  ，  ） （2）观察下表中小南、小西、小北轮廓的点的数对的规律，把表格填写完整。 A B C D E F 小东 （0，1） （2，2） （2，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小南 （0，2） （2，4） （2，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小西 （0，1） （4，2） （4，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） 小北 （0，2） （4，4） （4，0） （  ，  ） （  ，  ） （  ，  ） （3）根据上表，在下面的方格纸中分别画出小鱼小南、小西和小北的轮廓。 （4）小南、小西和小北中，（    ）和小东长得最像。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $