内容正文:
专项提升训练02:角的认识和度量解决问题
考点梳理 1
考点一、数角 1
考点二、角的分类及换算 1
考点三、用量角器或三角尺画角 2
考点四、角度的计算 2
例题讲解 3
题型一、数角 3
题型二、角的分类及换算 4
题型三、用量角器或三角尺画角 5
题型四、角度的计算 6
专项练习 7
练习一、数角 7
练习二、角的分类及换算 10
练习三、用量角器或三角尺画角 11
练习四、角度的计算 14
考点梳理
考点一、数角
1. 角的定义
由一个公共顶点和两条从该顶点出发的射线所组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边,公共顶点叫做角的顶点。
2. 数角的方法
(1)按顺序数:从一条边开始,依次与其他边组合形成角,确保不重复、不遗漏。例如,一个顶点引出n条射线(不含反向延长线),组成的角的数量为 (1+2+3+···+(n-1)) 个。
(2)分类数:先数单个的基本角,再数由2个基本角组成的角,接着数由3个基本角组成的角……以此类推,最后将所有数量相加。
3. 注意事项
(1)数角时需确认顶点唯一,边是射线(无限长),避免将非射线的线段误判为角的边。
(2)若图形中存在重叠角(如多个角共用一条边),需明确角的范围,避免重复计数。
考点二、角的分类及换算
1. 角的分类(按度数大小)
(1)锐角:大于0°且小于90°的角。
(2)直角:等于90°的角,通常用“┐”符号标记。
(3)钝角:大于90°且小于180°的角。
(4)平角:等于180°的角,其两条边在同一条直线上(方向相反)。
(5)周角:等于360°的角,其两条边重合(旋转一周形成)。
2. 角的换算关系
(1)1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°
(2)1平角 = 2直角 = 180°
(3)1直角 = 90°
考点三、用量角器或三角尺画角
1. 用量角器画角的步骤
(1)画一条射线,作为角的一条边,射线的端点为角的顶点。
(2)将量角器的中心与射线的端点重合,0°刻度线与射线重合(注意区分内圈刻度和外圈刻度,若射线与内圈0°刻度线重合,则读内圈度数;反之读外圈度数)。
(3)在量角器对应度数的刻度线处点一个点。
(4)以射线的端点为端点,通过刚才点的点画另一条射线,即角的另一条边。
(5)在角的内部标出角的度数。
2. 用三角尺画角的方法
(1)直接画角:一副三角尺的度数分别为(30°、60°、90°)和(45°、45°、90°),可直接画出30°、45°、60°、90°的角。
(2)拼合画角:将两个三角尺的角拼合,可画出特定度数的角。例如:
(1)75° = 30° + 45°(用30°三角尺的30°角与45°三角尺的45°角拼合,顶点和一条边重合);
(2)105° = 60° + 45°;
(3)120° = 90° + 30°;
(4)135° = 90° + 45°;
(5)150° = 90° + 60°。
考点四、角度的计算
1. 基于平角、直角、周角的计算
(1)平角中的角度计算:若一个平角(180°)被一条射线分成两个角,已知其中一个角的度数,用180°减去已知角的度数,即可求出另一个角的度数。
(2)直角中的角度计算:若一个直角(90°)被一条射线分成两个角,已知其中一个角的度数,用90°减去已知角的度数,求出另一个角的度数。
(3)周角中的角度计算:若一个周角(360°)被多条射线分成若干个角,已知部分角的度数,用360°减去已知角的度数和,求出未知角的度数。
2. 简单组合角的计算
(1)多个角组合成一个大角时,大角的度数等于各部分角的度数之和。
例题讲解
题型一、数角
【例题1】数一数下列图中各有几个角?
( )个角 ( )个角
【答案】 3 6
【分析】角有两条边和一个公共端点,这两条边叫做角的边,它们的公共端点叫做角的顶点。
【详解】(1)
单独的小角有2个:∠1和∠2;
两个小角组成的角有1个:∠3;
(个)
所以一共有3个角。
(2)
单独的小角有3个:∠1、∠2和∠3;
两个小角组成的角有2个:∠4和∠5;
三个小角组成的角有1个:∠6;
(个)
所以一共有6个角。
如图:
【练习1】数一数。
有( )个锐角;有( )个直角;有( )个钝角。
【答案】 4 6 2
【分析】根据直角三角板中直角相同的角是直角,比直角更小的角是锐角,比直角更大的角是钝角,即锐角<直角<钝角。数出每个图形中各种类型的角的数量,并进行填空即可解答。
【详解】根据分析可知:
有4个锐角;有6个直角;有2个钝角。
题型二、角的分类及换算
【例题2】1周角=( )个平角=( )个直角,一个钝角大于( )°且小于( )°。
【答案】 2 4 90 180
【分析】根据1周角等于360°,1平角等于180°,1直角等于90°,据此计算出结果,即可解答;大于0°小于90°的角是锐角,等于90°的角是直角,大于90°小于180°的角是钝角。
【详解】360°÷180°=2(个)
360°÷90°=4(个)
1周角=2个平角=4个直角,一个钝角大于90°且小于180°。
【练习2】钟面上3时整,时针和分针形成的角是( )角;6时整,时针和分针形成的角是( )角;( )时整,时针和分针形成的角是周角。
【答案】 直 平 12
【分析】钟面上12个数字将钟面平均分成12个大格,每相邻两个数字之间的夹角为360°÷12=30°。
对于3时整:时针指向3,分针指向12,中间间隔3个大格,形成的角度为30°×3=90°;
对于6时整:时针指向6,分针指向12,中间间隔6个大格,形成的角度为30°×6=180°;
等于360°的角是周角,12时整时,时针和分针会完全重合,都指向12这个刻度,此时两根指针的夹角就是一整圈,也就是360°;
根据角的分类:大于0°小于90°的角叫做锐角,90°的角是直角,大于90°小于180°的角叫做钝角,等于180°的角是平角,据此解答即可。
【详解】30°×3=90°
90°是直角,即钟面上3时整,时针和分针形成的角是直角;
30°×6=180°
180°是平角,即6时整,时针和分针形成的角是平角;
12时整,时针和分针形成的角是周角。
题型三、用量角器或三角尺画角
【例题3】用量角器画。
20° 140°
【答案】见详解
【分析】先画一条射线,作为角的一条边;将量角器的中心点与射线的端点重合,0刻度线与射线本身重合;在量角器指定角度的刻度线处点一个点;以射线的端点为端点,连接刚画的点,再画一条射线,标出角的度数即可,据此作图。
【详解】作图如下:
【练习3】用一副三角板画出一个150°的角。
【答案】见详解
【分析】一副三角板中包含的角的度数有30°、45°(两个)、60°、90°(两个),如果把它们相加或相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出。150°=90°+60°,所以用一个90°和60°的角组合在一起,就可以画出一个150°的角,据此作图。
【详解】
题型四、角度的计算
【例题4】下图中∠1=40°,那么∠2=( ),∠3=( )。
【答案】 140°/140度 40°/40度
【分析】观察图可知,∠1和∠2组成了一个平角,平角是180°,∠1=40°,所以∠2=180°-40°=140°;观察图可知,∠2和∠3组成了一个平角,所以∠3=180°-140°=40°。
【详解】∠2=180°-40°=140°
∠3=180°-140°=40°
题图中∠1=40°,那么∠2=140°,∠3=40°。
【练习4】如图,已知∠3=51°,求∠1、∠2、∠4的度数。
【答案】∠1=39°;∠2=51°;∠4=129°
【分析】已知∠3=51°,平角是180°,根据图示可知,∠3+∠4=180°,∠1+∠2=90°,∠2+∠4=180°则∠4=180°-∠3;∠2=180°-∠4;∠1=90°-∠2,依此计算。
【详解】∠3=51°,∠4=180°-∠3,180°-51°=129°,所以∠4=129°。
∠4=129°,∠2=180°-∠4,180°-129°=51°,所以∠2=51°。
∠2=51°,∠1=90°-∠2,90°-51°=39°,所以∠1=39°。
专项练习
练习一、数角
1.数一数,下面图形各有几个角。
( )个 ( )个
【答案】 10 8
【分析】
如图:单个角有4个,由2个角组成的角有3个,由3个角组成的角有2个,由4个角组成的角有1个,4+3+2+1=10(个),共有10个角。
如图:单个角有6个,由2个角组成的角有2个,6+2=8(个),共有8个角。
【详解】
2.如图,有( )个直角,( )个锐角,( )个钝角。
【答案】 2 4 3
【分析】给图中各角标上序号。如下图:
通过观察图可知:直角共有2个;锐角有∠1、∠2、∠5、∠6,共有4个;钝角有∠3、∠4、∠5与∠6合起来的角、共3个。
【详解】如图,有(2)个直角,(4)个锐角,(3)个钝角。
3.数一数,如图中有( )个锐角,有( )个直角,有( )个钝角。
【答案】 10 4 10
【分析】小于90°的角是锐角,等于90°的角是直角,大于90°而小于180°的角是钝角。
长方形的四个角均为直角,所以直角有4个(黑色标注的角);
由1个角组成的钝角有2个,由2个角组成的钝角有8个(黄色标注的角),所以一共有2+8(个)角;由1个角组成的锐角有10个(红色标注的角);据此解答。
【详解】2+8=10(个)
所以图中有10个锐角,有4个直角,有10个钝角。
4.下面的图形中分别有多少个角?
( )个 ( )个 ( )个
【答案】 6 15 21
【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。根据角的个数=射线条数×(射线条数-1)÷2,算出图形中分别有多少个角,据此解答。
【详解】左边的图:4×(4-1)÷2
=4×3÷2
=12÷2
=6(个)
中间的图:6×(6-1)÷2
=6×5÷2
=30÷2
=15(个)
右边的图:7×(7-1)÷2
=7×6÷2
=42÷2
=21(个)
练习二、角的分类及换算
1.直角的2倍是( )角,周角=( )个平角。
【答案】 平 2
【分析】直角等于90°,平角等于180°,周角等于360°,直角的2倍是90°×2=180°,所以直角的2倍是平角,180°×2=360°,所以周角等于2个平角;据此即可解答。
【详解】根据分析可知,直角的2倍是平角,周角=2个平角。
2.1平角=( )直角,1周角比1平角大( )°。
【答案】 2 180
【分析】直角等于90度,平角等于180度,周角等于360度,据此即可解答。
【详解】90°+90°=180°,所以1平角=2直角。
360°-180°=180°,所以1周角比1平角大180°。
3.在62°、180°、90°、35°、135°、360°、178°这些角中,( )是锐角,( )是直角,( )是钝角,( )是平角,( )是周角。
【答案】 62°、35° 90° 135°、178° 180° 360°
【分析】大于0°小于90°的角是锐角,等于90°的角是直角,大于90°小于180°的角是钝角,等于180°的角是平角,等于360°的角是周角。
【详解】在62°、180°、90°、35°、135°、360°、178°这些角中,62°、35°是锐角,90°是直角,135°、178°是钝角,180°是平角,360°是周角。
4.的角是( )角,的3倍是( )角。
【答案】 锐 直
【分析】根据题意,锐角是指大于0°而小于90°的角;直角是指等于90°的角;钝角是指大于90°而小于180°的角。求一个数的几倍是多少,用乘法计算;30°的角是锐角, 先计算30°的3倍,30°×3=90°,90°的角是直角。以此答题即可。
【详解】根据分析可知:
30°×3=90°
的角是锐角,的3倍是直角。
5.与的角组成一个直角,( ),它是( )角。与的角组成一个平角,( ),它是( )角。
【答案】 65°/65度 锐 105°/105度 钝
【分析】直角为90°,与的角组成一个直角,用90°减去25°即可求出∠1的角度;
平角为180°,与的角组成一个平角,用180°减去75°即可求出∠2的角度;
小于90°的角为锐角,大于90°小于180°的角为钝角,由此即可填空。
【详解】①90°-25°=65°,即∠1=65°;
②65°<90°,即∠1是锐角;
③180°-75°=105°,即∠2=105°;
④90°<105°<180°,即∠2是钝角。
6.钟面上6时整,时针和分针形成的角是( )角。( )时或( )时整,时针和分针形成的是直角。3时30分,时针和分针的夹角(较小角)是( )度。
【答案】 平 3 9 75
【分析】小于90°的角是锐角,直角=90°,大于90°小于180°的角是钝角,平角=180°,周角=360°;钟面上有12个数字,以表芯为旋转点,表针转一圈是360°,被12个数字平均分成12份,每两数即一大格之间夹角是30°。
6时整,分针指向12,时针指向6,之间有6个大格;用6×30°即可;再根据角的分类判断是什么角即可;
整点时,分针指向12,要使分针与时针的夹角是直角90°,那么分针与时针之间的格数是3格,据此求出时针指向几;
3时30分,分针指向6,时针在3和4之间,时针和分针相差2个半大格,半格为30°÷2=15°,即2×30°=60°,60°+15°=75°,据此解答即可。
【详解】6×30°=180°,所以钟面上6时整,时针和分针形成的角是平角。
3时整和9时整时,时针与分针之间的夹角含3个大格,因此3时或9时整的时候,时针和分针形成的是直角。
2×30°=60°,60°+15°=75°,所以3时30分,时针和分针的夹角(较小角)是75度。
练习三、用量角器或三角尺画角
1.以直线上的一点A为顶点,画一个55°的角。
【答案】见详解
【分析】用量角器的中心和A点重合,0刻度线和直线重合,对准量角器上的55度刻度上点一点,再连线画出即可。角的一条边可以是A点左边的射线也可以是右边的射线,有两种画法,据此作答。
【详解】画图如下:
2.画出下面各角。
75° 120° 90°
【答案】见详解
【分析】根据题意,先画一条射线,再把量角器的中心和射线的端点重合,再根据要画的角的度数,在量角器上找到对应的刻度,点一个点,最后把这个点和射线的端点连起来。以此画出三个角即可。
【详解】根据分析画图如下:
3.用三角板画一个75度和105度的角。
【答案】见详解
【分析】先画一条射线,把射线的端点与三角尺中30°角的顶点重合,射线与30°角的一边重合,再沿着三角尺画出30°角的另一边,再把30°角的一边与三角尺中45°角的一边重合,角的顶点与45°角的顶点重合,在30°角的外部沿着45°角的另一边画出这个角的另一边,即可得到一个75°的角。因为60°与45°的和是105°,借助三角尺,再按照上面同样的方法画出这个105°的角。
【详解】30°+45°=75°
60°+45°=105°
4.用三角板画120°的角,用量角器画65°的角。
【答案】见详解
【分析】一副三角板有两个三角尺,一个三角尺的三个角的度数分别为:90°、45°、45°,另一个三角尺的三个角的度数分别为:90°、30°、60°;90°+30°=120°,依此画图。
用量角器画角的步骤是:先画一条射线,使量角器的中心和射线的端点重合,0°刻度线和射线重合,然后在量角器65°刻度线的地方点一个点,最后以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线;依此画图并标上对应的度数即可。
【详解】
5.用你喜欢的方法画出下面度数的角。
165° 比平角小105的角°
【答案】75°;画法见详解
【分析】先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合,零刻度线和射线重合;在量角器165°、75°的刻度线处点上一个点;以射线的端点为端点,分别连接每个点,即可画出角。
平角是180°,比它小105°就是要画75°的角。
75°的角也可以用一副三角尺拼出,75°=45°+30°。
用三角尺画角的时候,先画一条射线,将45°角的一边和射线重合,角的顶点与45°的顶点重合,然后将30°的角的一条边与45°的另一边靠在一起,30°角的顶点和射线端点也重合。沿着30°的另一边画出射线即可。
【详解】180°-105°=75°
具体画法如下:
或:
练习四、角度的计算
1.已知∠1=150°,∠2=( )°,∠3是( )角,∠4是( )角。
【答案】 30 钝 锐
【分析】根据题意,已知∠1=150°,∠1和∠2组成平角,因此∠2=180°-150°= 30°。∠3和∠2组成平角,因此∠3=180°-30°= 150°。∠3和∠4组成平角,因此∠4=180°-150°= 30°。锐角是指大于0°而小于90°的角;直角是指等于90°的角;钝角是指大于90°而小于180°的角以此答题即可。
【详解】根据分析可知:
∠1=150°
∠2=180°-150°= 30°
∠3=180°-30°= 150°
∠4=180°-150°= 30°
已知∠1=150°,∠2=30°,∠3是钝角,∠4是锐角。
2.如下图,∠1=( )°。
【答案】35
【分析】根据题意,明确直角是90°,平角是180°,仔细观察图可知,∠1与55°、90°三个角的和是180°,用180°减去55°,再减去90°,就是∠1的度数,列式计算即可。
【详解】根据分析可知:
∠1=180°-55°-90°=125°-90°=35°
如下图,∠1=35°。
3.下图是一副直角三角板,若∠1=26°,则,∠2=( )°,∠3=( )°。
【答案】 64 26
【分析】根据一副直角三角板由两个直角三角板组成,一个直角三角板的三个角分别是90°、45°、45°,另一个直角三角板的三个角分别是90°、60°、30°;
由题意可知,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,因此∠2=90°-∠1,∠3=90°-∠2,依此计算并填空。
【详解】已知∠1=26°,根据分析可知:
∠2=90°-∠1
=90°-26°
=64°
∠3=90°-∠2
=90°-64°
=26°
所以,下图是一副直角三角板,若∠1=26°,则,∠2=64°,∠3=26°。
4.如图所示,∠1=40°,那么∠2=( ),∠3=( )。
【答案】 40° 140°
【分析】本题考查了角度的计算。根据平角为180°,观察图片,∠1和∠3组成一个平角,∠3和∠2也能组成一个平角,可推出∠1=∠2,得出∠2的度数;根据∠1的度数,利用减法可求出∠3度数。
【详解】∠1和∠3的度数和为180°,∠2和∠3的度数和也为180°,推出∠1=∠2,则∠2=40°;
∠3的度数为:。
5.如图中,已知∠1=28°,求∠2、∠4各是多少度。
【答案】∠2=152°;∠4=62°
【分析】根据图示可知,∠1和∠2组成平角,平角=180°,∠1=28°,用180°减去28°即得到∠2的度数;又知∠1和∠4组成直角,直角=90°,用90°减去∠1,即得到∠4的度数。据此解答。
【详解】∠2=180°-28°=152°
∠4=90°-28°=62°
所以,∠2是152°,∠4是62°。
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专项提升训练02:角的认识和度量解决问题
考点梳理 1
考点一、数角 1
考点二、角的分类及换算 1
考点三、用量角器或三角尺画角 2
考点四、角度的计算 2
例题讲解 3
题型一、数角 3
题型二、角的分类及换算 3
题型三、用量角器或三角尺画角 3
题型四、角度的计算 4
专项练习 4
练习一、数角 4
练习二、角的分类及换算 5
练习三、用量角器或三角尺画角 5
练习四、角度的计算 6
考点梳理
考点一、数角
1. 角的定义
由一个公共顶点和两条从该顶点出发的射线所组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边,公共顶点叫做角的顶点。
2. 数角的方法
(1)按顺序数:从一条边开始,依次与其他边组合形成角,确保不重复、不遗漏。例如,一个顶点引出n条射线(不含反向延长线),组成的角的数量为 (1+2+3+···+(n-1)) 个。
(2)分类数:先数单个的基本角,再数由2个基本角组成的角,接着数由3个基本角组成的角……以此类推,最后将所有数量相加。
3. 注意事项
(1)数角时需确认顶点唯一,边是射线(无限长),避免将非射线的线段误判为角的边。
(2)若图形中存在重叠角(如多个角共用一条边),需明确角的范围,避免重复计数。
考点二、角的分类及换算
1. 角的分类(按度数大小)
(1)锐角:大于0°且小于90°的角。
(2)直角:等于90°的角,通常用“┐”符号标记。
(3)钝角:大于90°且小于180°的角。
(4)平角:等于180°的角,其两条边在同一条直线上(方向相反)。
(5)周角:等于360°的角,其两条边重合(旋转一周形成)。
2. 角的换算关系
(1)1周角 = 2平角 = 4直角 = 360°
(2)1平角 = 2直角 = 180°
(3)1直角 = 90°
考点三、用量角器或三角尺画角
1. 用量角器画角的步骤
(1)画一条射线,作为角的一条边,射线的端点为角的顶点。
(2)将量角器的中心与射线的端点重合,0°刻度线与射线重合(注意区分内圈刻度和外圈刻度,若射线与内圈0°刻度线重合,则读内圈度数;反之读外圈度数)。
(3)在量角器对应度数的刻度线处点一个点。
(4)以射线的端点为端点,通过刚才点的点画另一条射线,即角的另一条边。
(5)在角的内部标出角的度数。
2. 用三角尺画角的方法
(1)直接画角:一副三角尺的度数分别为(30°、60°、90°)和(45°、45°、90°),可直接画出30°、45°、60°、90°的角。
(2)拼合画角:将两个三角尺的角拼合,可画出特定度数的角。例如:
(1)75° = 30° + 45°(用30°三角尺的30°角与45°三角尺的45°角拼合,顶点和一条边重合);
(2)105° = 60° + 45°;
(3)120° = 90° + 30°;
(4)135° = 90° + 45°;
(5)150° = 90° + 60°。
考点四、角度的计算
1. 基于平角、直角、周角的计算
(1)平角中的角度计算:若一个平角(180°)被一条射线分成两个角,已知其中一个角的度数,用180°减去已知角的度数,即可求出另一个角的度数。
(2)直角中的角度计算:若一个直角(90°)被一条射线分成两个角,已知其中一个角的度数,用90°减去已知角的度数,求出另一个角的度数。
(3)周角中的角度计算:若一个周角(360°)被多条射线分成若干个角,已知部分角的度数,用360°减去已知角的度数和,求出未知角的度数。
2. 简单组合角的计算
(1)多个角组合成一个大角时,大角的度数等于各部分角的度数之和。
例题讲解
题型一、数角
【例题1】数一数下列图中各有几个角?
( )个角 ( )个角
【练习1】数一数。
有( )个锐角;有( )个直角;有( )个钝角。
题型二、角的分类及换算
【例题2】1周角=( )个平角=( )个直角,一个钝角大于( )°且小于( )°。
【练习2】钟面上3时整,时针和分针形成的角是( )角;6时整,时针和分针形成的角是( )角;( )时整,时针和分针形成的角是周角。
题型三、用量角器或三角尺画角
【例题3】用量角器画。
20° 140°
【练习3】用一副三角板画出一个150°的角。
题型四、角度的计算
【例题4】下图中∠1=40°,那么∠2=( ),∠3=( )。
【练习4】如图,已知∠3=51°,求∠1、∠2、∠4的度数。
专项练习
练习一、数角
1.数一数,下面图形各有几个角。
( )个 ( )个
2.如图,有( )个直角,( )个锐角,( )个钝角。
3.数一数,如图中有( )个锐角,有( )个直角,有( )个钝角。
4.下面的图形中分别有多少个角?
( )个 ( )个 ( )个
练习二、角的分类及换算
1.直角的2倍是( )角,周角=( )个平角。
2.1平角=( )直角,1周角比1平角大( )°。
3.在62°、180°、90°、35°、135°、360°、178°这些角中,( )是锐角,( )是直角,( )是钝角,( )是平角,( )是周角。
4.的角是( )角,的3倍是( )角。
5.与的角组成一个直角,( ),它是( )角。与的角组成一个平角,( ),它是( )角。
6.钟面上6时整,时针和分针形成的角是( )角。( )时或( )时整,时针和分针形成的是直角。3时30分,时针和分针的夹角(较小角)是( )度。
练习三、用量角器或三角尺画角
1.以直线上的一点A为顶点,画一个55°的角。
2.画出下面各角。
75° 120° 90°
3.用三角板画一个75度和105度的角。
4.用三角板画120°的角,用量角器画65°的角。
5.用你喜欢的方法画出下面度数的角。
165° 比平角小105的角°
练习四、角度的计算
1.已知∠1=150°,∠2=( )°,∠3是( )角,∠4是( )角。
2.如下图,∠1=( )°。
3.下图是一副直角三角板,若∠1=26°,则,∠2=( )°,∠3=( )°。
4.如图所示,∠1=40°,那么∠2=( ),∠3=( )。
5.如图中,已知∠1=28°,求∠2、∠4各是多少度。
试卷第1页,共3页
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