【名师派】浙江省2026年初中学业水平考试数学原创卷09（PPT版）

数学原创卷（九） 浙江省2026年初中学业水平考试 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数3.141 59， ，－4，π， 中，无理数有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（　A　） A A C B D 3. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175 000 000 000个模型参数，数据175 000 000 000用科学记数法表示为（　D　） A. 1.75×103 B. 1.75×1012 C. 1 750×108 D. 1.75×1011 4. 下列计算正确的是（　C　） A. a3＋a4＝2a7 B. a3·a4＝a12 C. a4÷a＝a3 D. （a4）3＝a7 D C 5. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197.现用一名身高为178 cm的队员换下场上身高为197 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　A　） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 A 6. 一元一次不等式2（x＋1）≤4的解集在数轴上表示为（　A　） A B C D A 7. 如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD，分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB∶AD＝2∶3，则 的值是（　C　） A. B. C. D. 第7题图 C 解析：∵AG平分∠BAD， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△GBF，△ABG∽△ECG， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝（ ）2＝（2）＝ . 设AD＝BC＝3a，则AB＝2a，GB＝2a， ∴CG＝a， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝4， ∴S△ABG＝4S2. 设S△GBF＝4S，则S△ADF＝9S， ∴S△ABF＝6S， ∴S△ABG＝S△GBF＋S△ABF＝10S， ∴4S2＝10S， ∴S＝ S2， ∴ ＝ ＝ ＝ . 故选C. 8. 将两张全等的等腰直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张正方形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD，同时形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（　A　） A. △BEF的面积 B. △CDF的面积 C. 平行四边形ABCD的面积 D. 剩余部分的面积与正方形EFGH面积的和 第8题图 A 解析：如答图，连结HF. ∵△ABH，△CDF是等腰直角三角形，四边形EFGH是正方形， ∴∠ABH＝∠AHB＝∠EHF＝45°，∠CDF＝∠CFD＝∠HFG＝45°， ∴AB∥HF∥CD，∠BAH＝∠AHF＝∠HFC＝∠FCD＝90°， ∴S△ABH＝S△ABF，S△CDF＝S△CDH， 答图 ∴S△ABH＋S△CDF＝S△CDH＋S△ABF. 设阴影部分的面积为a2. ∵△ABH与△CDF全等， ∴S△ABH＝S△CDF＝ a2，故△CDF的面积可求； ∴AB＝AH＝CD＝CF＝a. 延长CF交AB于点M，则四边形AMFH是矩形， ∴FM＝AH＝a，CM⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB·CM＝a·2a＝2a2，故平行四边形ABCD的面积可求. ∴剩余部分的面积＋正方形EFGH的面积＝a2，故D选项正确.故选A. 9. 如图，正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y＝ （k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，AH⊥x轴于点H，连结BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值为（　D　） A. －3 B. －6 C. －9 D. －12 第9题图 D 解析：∵正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y＝ （k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，∴AO＝BO， ∴S△OBG＝S△OHG＝ S△OHB＝3， ∴S△OHB＝6，∴｜k｜＝12. ∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝－12. 故选D. 10. 如图1，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x， AN＋MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图2所示，点E（a，2 ）是图象的最低点，那么a的值为（　A　） A. B. 2 C. D. 第10题图 A 解析：如答图，连结AC交BD于点O，连结NC，连结MC交BD于 点N'. ∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点. ∵点M是AB的中点，∴N'是△ABC的重心， ∴N'O＝ BO，∴N'D＝ BD， ∵A，C关于BD对称，∴NA＝NC， ∴AN＋MN＝NC＋MN. ∵当M，N，C共线时，y的值最小， ∴y的值最小就是MC的长， ∴MC＝2 . 设正方形的边长为m，则BM＝ m， 在Rt△BCM中，由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2， ∴20＝m2＋（ m）2， ∴m＝4， ∴BD＝4 . ∴a＝N'D＝ BD＝ ×4 ＝ . 故选A. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：mx2－m＝ 　m（x＋1）（x－1）　. 12. 方程 ＋ ＝1的解是 　x＝2　. 13. 如图，已知☉O的直径AB为8，点M是☉O外一点，若MB是☉O的切线，B为切点，且MB＝3，Q为☉O上一动点，则MQ的最小值为 　1　. m（x＋1）（x－1） x＝2 1 14. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其他完全相同.任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是 　  　. 解析：列表如下： ​ 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球所标数字之和为5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，所以两次摸出的球所标数字之和为5的概率是 ＝ . 15. 图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条AB＝AC＝28 cm，支点D，F分别固定在支撑条上（AF＞CF），活动条DE绕点D转动，DE＝4 cm，活动条EF长度不变.闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合.如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC，则EF的长为 　12　cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为 　 　cm. 第15题图 12 7 解析：由题意，得BD＝DE＝4 cm，AE＝AB－BD－DE＝20（cm），FC＝EF. 设EF＝FC＝x，则AF＝AC－x＝28－x. ∵EF⊥AC，∴AE2＝AF2＋EF2， 即202＝（28－x）2＋x2，解得x＝12或x＝16. ∵AF＞CF，∴x＝12，即EF＝12. 如答图，当D，E，F三点共线时，∠A度数达到最大， 此时FD＝EF＋DE＝16（cm）， AF＝AC－FC＝16（cm），AD＝AB－BD＝24（cm）， ∴AF＝DF. 答图 如答图，过点F作FH⊥AB于点H， ∴AH＝ AD＝12（cm）， ∴FH＝ ＝4 （cm）. 如答图，过点C作CG⊥AB于点G， 答图 ∴ sin A＝ ＝ ，∴ ＝ . 解得GC＝7 . 16. 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，如图1，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，则折痕EF的长为  　 　；如图2，将矩形ABCD沿EF折叠.使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若EF＝ ，则BP的长为 　 　. ​ ​ 第16题图 解析：如答图1，连结BD，过点E作EG⊥BC于点G， ∴∠GEF＋∠GFE＝90°，∠EGF＝∠C＝90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴EG＝AB＝CD＝2， ∴BD＝ ＝ ＝ . 答图1 ∴∠DBF＋∠BFE＝90°，∴∠GEF＝∠DBF， ∴△GEF∽△CBD，∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴EF＝ . 如答图2，过点F作FH⊥EG于点H， 过点P作PJ⊥BF于点J. ∵矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，∴BD⊥EF， 答图2 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°. ∵∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°， ∴四边形PFHG是矩形， ∴FH＝GP＝CD＝AB＝2，GH＝PF＝FC. 由轴对称的性质可知∠GEF＝∠DEF，DG⊥EF， ∴∠ADG＋∠DEF＝90°. ∵FH⊥EG， ∴∠EFH＋∠GEF＝90°， ∴∠ADG＝∠EFH， ∴ cos ∠ADG＝ cos ∠EFH， 即 ＝ ，∴ ＝ . ∴DG＝ . 在Rt△ADG 中，AG＝ ＝ ＝1. 设AE＝x，则EG＝ED＝3－x， 在Rt△AEG 中，AE2＋AG2＝EG2， 即x2＋12＝（3－x）2， 解得x＝ ，∴AE＝ ，EG＝ED＝3－ ＝ . 在Rt△EFH中，EH＝ ＝ ＝ ， ∴PF＝FC＝GH＝EG－EH＝ － ＝1. ∵PF∥GE，AE∥BF，∴∠AEG＝∠JFP， 又∵∠A＝∠PJF＝90°，∴△AEG∽△JFP， ∴ ＝ ＝ ， 即 ＝ ＝ ， ∴JF＝ ，JP＝ ， ∴BJ＝BC－JF－FC＝3－ －1＝ . 在Rt△BJP中，BP＝ ＝ ＝ . 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （8分）（1）计算：2 cos 45°－（π－3.14）0＋（－ ）－1. 解：（1）原式＝2× －1－2 ＝ －3. （2）化简：（a＋3）（a－3）－a（2＋a）. 解：（2）原式＝a2－9－2a－a2 ＝－9－2a. 18. （8分）解方程组： 解： 由②－①，得y＝1， 把y＝1代入①，得x＋3＝7，解得x＝4. ∴原方程组的解为 19. （8分）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点. （1）求证：BF⊥AC； 证明：（1）∵BA＝BC，F是AC的中点， ∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）. （2）求证：△ADC≌△AEC； 证明：（2）∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠AEC. ∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB. ∵BA＝BC，∴∠ECA＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠ECA. 在△ADC和△AEC中， ∴△ADC≌△AEC（AAS）. （3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长. 解：（3）设DE，AC交于点G， 由（2）知△ADC≌△AEC， ∴CD＝CE，AD＝AE， ∴AC垂直平分线DE，∴DG＝EG. 在Rt△ACD中， 答图 AC＝ ＝ ＝13. ∵S△ACD＝ AD·CD＝ DG·AC， ∴DG＝ ＝ ＝ . ∴DE＝ . 20. （8分）中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动.为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）.测试结束后，随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A. 95≤x≤100，B. 90≤x＜95，C. 85≤x＜90，D. 80≤x＜85.得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数直方图和扇形统计图.其中七、八年级B组学生的成绩如下. 七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94. 八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92. 七、八年级选取的学生测试成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 94 c 八年级 92 92.5 b 65％ 【解决问题】 （1）填空：a＝ 　92.5　，b＝ 　93　，c＝ 　55％　. 92.5 93 55％ （2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数. 解：（2）600×55％＋600×65％＝720（人）， 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数为720人. （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解得更好一些？请说明理由.（写出一条理由即可） 解：（3）八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解得更好一些. 理由如下：从七、八年级选取的学生测试成绩表中可以看出，其平均数和中位数均相等，但从优秀率角度来看，八年级学生的成绩优秀率高于七年级学生的成绩优秀率，说明八年级学生对中国非物质文化遗产相关知识了解得更好一些.（答案不唯一，合理即可） 21. （8分）【阅读与思考】 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图2，第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等. 下面是部分证明过程： 证明：如图3，连结BD，CD，过点B作 BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD于点F，连结BC，交AD于点O. 由作图可知 AB＝CD，AC＝BD， ∴四边形ABDC是平行四边形.（依据1） ∴BO＝CO. （依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线. 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　； “依据2”是指 　平行四边形的对角线互相平分　. 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形　 平行四边形的对角线互相平分 （2）请将小明的证明过程补充完整. 解：（2）补充证明过程如下： 在△BEO和△CFO中， ∴△BEO≌△CFO（AAS）， ∴BE＝CF. （3）尺规作图：请在图4中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等.（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 解：（3）如答图，直线AM即为所求. 22. （10分）根据以下素材，探索完成任务. 设计拱桥灯笼的悬挂方案 素材1 图1中有一座拱桥，图2中的曲线（虚线）为桥拱的示意图，现已知桥拱的示意图是轴对称图形，桥拱与水面的交点分别为O，B 设计拱桥灯笼的悬挂方案 素材2 春节前夕，拟在图1的桥拱上悬挂灯笼.为了美观，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为4 m，要求在符合条件处都挂上灯笼，灯笼挂满后须成轴对称分布.悬挂的所有灯笼的最低点都在经过O，B两点的抛物线上（如图2虚线） 设计拱桥灯笼的悬挂方案 任务1 课外实践小组的同学想通过测量的方式确定桥拱的形状，于是在桥面上找到若干个位置进行测量，所得数据如表格所示，其中x是测量点到铅垂线OA的水平距离，y是对应位置桥拱距水面的高度. 根据表格中的数据，试确定桥拱的形状，并说明理由 距OA的水平距离x（m） 2 4 12 14 16 18 20 22 24 26 距水面的高度y（m） 1.9 3.6 8.4 9.1 9.6 9.9 10 9.9 9.6 9.1 解：任务1　以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如答图， ∵桥拱是轴对称图形，为抛物线，根据表格可知顶点为（20，10）. ∴设其表达式为y＝a（x－20）2＋10. 将（0，0）的坐标代入，得0＝a（0－20）2＋10（a≠0）. 解得：a＝－ . ∴表达式为y＝－ （x－20）2＋10. 将表格中其他数值代入表达式，均成立，所以桥拱的形状是抛物线. 设计拱桥灯笼的悬挂方案 悬挂 方案1 若安装人员在与OA水平距离 4 m的M点悬挂第一盏灯笼，测得最低点N到水面的距离为2.88 m.则最高一盏灯笼的最低点到水面的距离为多少米 解：悬挂方案1 ∵灯笼最低点所在抛物线过O，B，依旧用（1）中的坐标系， ∴对称轴为直线x＝20. ∴设表达式为y＝m（x－20）2＋n（m≠0）. 将（0，0），（4，2.88）的坐标分别代入，得 ​ 解得： ∴表达式为y＝－ （x－20）2＋8. 当 x＝20时，y＝8. ∴最高一盏灯笼的最低点到水面的距离为8 m. 设计拱桥灯笼的悬挂方案 悬挂 方案2 若最高处灯笼的最低点距离水面不能小于6 m，每盏灯笼的最低点与悬挂点（桥拱边缘）的竖直距离（例如图3中的MN）不能小于 0.7 m，请设计一种可使悬挂的灯笼数量尽可能多的方案，求出最左边一盏灯笼的最低点到水面的最小距离 解：悬挂方案2 根据题意可知若最左边灯笼的最低点与水面距离最小，则最高处灯笼的最低点与水面的距离应最小，即6 m. ∵对称轴为直线x＝20，∴OB＝40 m. ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为4 m， ∴①若从桥拱顶点处开始悬挂灯笼，可挂9盏灯笼. ②若从桥拱顶点两侧开始悬挂灯笼，可挂10盏灯笼. ∵其最高处灯笼最低点坐标为（18，6）， ∴设此时灯笼最低点所在抛物线的表达式为 y＝e（x－20）2＋f（e≠0）. 将（0，0）.（18，6）的坐标分别代入，得 　 解得： ∴y＝－ （x－20）2＋ . ∵最左边灯笼在x＝2 m处， ∴y＝－ （2－20）2＋ ≈1.15. ∵1.9－1.15＝0.75＞0.7， ∴符合条件. ∴最左边一盏灯笼的最低点到水面的最小距离约1.15 m. 23. （10分）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数，且a＞0）与y轴交于点A. （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； 解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1， ∴拋物线的顶点坐标为（1，1）. （2）若线段OA （含端点）上的“完美点”个数大于3且小于6，求a的取值范围； 解：（2）当x＝0时，y＝2a， 即抛物线与y轴的交点A的坐标为（0， 2a）. ∵线段OA上的“完美点”的个数大于3且小于6， 即“完美点”的个数为4或5.又a＞0， ∴当“完美点”个数为4时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）， 当“完美点”个数为5时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3） ，（0，4）， ∴3≤2a＜5， ∴a的取值范围是 ≤a＜ . （3）若抛物线与直线y＝x交于M，N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围. 解：（3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a） ，过点P（2，2a） ， Q（3，5a）， R（4，10a）. 显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意. ①当抛物线经过（2，1）时，解得a＝ . 此时，P（2，1），Q（3， ），R（4，5）. 如答图1，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个. 下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况： 答图1 ②当抛物线经过（3，2）时，解得a＝ . 此时，P（2， ），Q（3，2），R（4，4）. 如答图2，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个. ∴a的取值范围是 ＜a≤ . 答图2 24. （12分）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形. （1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ 　30　°，∠B＝ 　60　°，∠C＝ 　90（答案不唯一）　°.（任意写一种即可） 30 60 90（答案不唯一） 解析：设∠A∶∠B∶∠C＝（n－1）∶n∶（n＋1），其中n≥2，n为正整数， ∴∠B＝180°× ＝180°× ＝60°. 可设n＝2，由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴∠A＝ ×180°＝30°，∠C＝ ×180°＝90°. （2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数. 解：（2）∠B的度数不变.由题意：设∠A∶∠B∶∠C＝ （n－1）∶ n∶（n＋1），其中n≥2，n为正整数， ∴∠B＝180°× ＝180°× ＝60°. ∴∠B 的度数不变，且∠B＝60°. （3）拓展延伸：如图，△ABC内接于☉O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°.过点A作 AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1∶2，则△ABC一定为和谐三角形吗？请说明理由. 解：（3）△ABC一定为和谐三角形.理由如下：分两种情况讨论. ①当S△ACF＝2S△ABF 时，如答图1，连结OA，OC， 过点O作OG⊥BC于点G. 设OA＝OB＝OC＝r，∵∠OBC＝30°， ∴∠OCB＝30°，∠BOC＝180°－30°－30°＝120°. ∴OG＝ r，BG＝CG＝OB· cos 30°＝ r. ∴BC＝2BG＝ r. ∵ ＝ ，∴∠BAC＝ ∠BOC＝60°. 又∵S△ACF＝2S△ABF，∴CF＝2BF. ∴BF＝ BC＝ r. ∵AF⊥BD，∠OBC＝30°， ∴∠AFB＝60°＝∠BAC. 又∵∠ABF＝∠CBA， ∴△ABF∽△CBA. ∴AB2＝BF·BC. ∴AB2＝ r· r＝r2， 解得：AB＝r. ∴△AOB为等边三角形. ∵ ＝ ，∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°， ∴∠ABC＝90°.∵30°∶60°∶90°＝1∶2∶3， ∴△ABC为和谐三角形. ②当S△ABF＝2S△ACF 时，如答图2，连结OA，OC， 过点O作OG⊥BC于点G. 同理可得OA＝OB＝OC＝r，BC＝ r，∠BAC＝60°， BF＝ BC＝ r，△ABF∽△CBA， ∴AB2＝BF·BC. ∴AB＝ r. ∴△AOB为等腰直角三角形. ∴∠ACB＝ ∠AOB＝45°. ∴∠ABC＝75°. ∵45°∶60°∶75°＝3∶4∶5， ∴△ABC 为和谐三角形. 综上所述，△ABC一定为和谐三角形. 感谢观看 $