【名师派】浙江省2026年初中学业水平考试数学原创卷07（PPT版）

数学原创卷（七） 浙江省2026年初中学业水平考试 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.意思是今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向北走5步记作＋5步，那么向南走7步记作（　B　） A. ＋7步 B. －7步 C. ＋12步 D. －2步 B 2. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（　A　） A A C B D 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为（　C　） A. 50×108光年 B. 5×108光年 C. 5×109光年 D. 5×1010光年 4. 下列运算结果正确的是（　B　） A. x3·x4＝x12 B. （－2x2）3＝－8x6 C. x6÷x3＝x2 D. x2＋x3＝x5 C B 5. 一次空气污染指数抽查中，收集到9天的数据如下：60，70，70，56，81，91，92，91，75.该组数据的中位数是（　D　） A. 70 B. 81 C. 91 D. 75 D 6. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（　D　） A. （1，2） B. （4，8） C. （8，2）或 （－8，－2） D. （4，8）或 （－4，－8） D 7. 解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　C　） C A C B D 8. 如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A，B，E三点在一条直线上，连结CE，以CE为边构造正方形CPQE，PQ交AB于点M，连结CM. 设∠APM＝α，∠BCM＝β.若点Q，B，F三点共线，tan α＝ntan β，则n的值为（　A　） A. B. C. D. 第8题图 A 解析：过点Q作QN⊥AB于点N，连结Q，B，F， 则∠QNE＝∠QNM＝90°. ∵四边形ABCD、四边形BEFG、四边形CPQE都是正方形， 答图 ∴EC＝EQ，CB＝CD，∠GBE＝∠CEQ＝∠BCD＝∠PCE＝∠A＝90°. ∵点Q，B，F三点共线， ∴∠QBN＝∠EBF＝45°， ∴△BQN是等腰直角三角形， ∴QN＝BN. ∵∠BCE＋∠BEC＝90°，∠QEN＋∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝∠QEN. 在△ENQ和△CBE中， ∴△ENQ≌△CBE（AAS）， ∴EN＝CB，QN＝EB. ∵QN＝BN，∴EB＝BN， ∴EN＝CB＝2EB， ∴EB＝QN＝BN＝BG＝CG. 设EB＝QN＝BN＝BG＝CG＝a， 则AB＝BC＝CD＝AD＝2a，AN＝2a－a＝a. ∵∠DCP＋∠BCP＝90°，∠BCE＋∠BCP＝90°， ∴∠DCP＝∠BCE. 在△CBE和△CDP中， ∴△CBE≌△CDP（ASA）， ∴DP＝BE＝a， ∴PA＝2a－a＝a， ∴PA＝QN. 在△PAM和△QNM中， ∴△PAM≌△QNM（AAS）， ∴AM＝MN＝ AN＝ a， ∴BM＝2a－ a＝ a. 在Rt△PAM中，tan∠APM＝tan α＝ ＝ ＝ . 在Rt△BCM中，tan∠BCM＝tan β＝ ＝ ＝ . ∵tan α＝ntan β，∴ ＝n× ，∴n＝ .故选A. 9. 如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，S1＋S2＋S3＝8，则k的值为（　B　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 第9题图 B 解析：∵点A，B，C在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ∴A（2， ），B（3， ），C4， ）， ∴S1＝（ － ）×2＝ ，S2＝（ － ）×（3－2）＝ ， S3＝ ×（4－3）＝ . ∵S1＋S2＋S3＝8， ∴ ＋ ＋ ＝8，解得：k＝12. 故选B. 10. 用两对全等的直角三角形（Rt△ADE≌Rt△CBG，Rt△ABF≌Rt△CDH）和一个矩形EFGH拼成如图所示的▱ABCD（无缝隙且不重叠），Rt△ADE和Rt△ABF的面积相等，连结DF，若AD⊥DF， ＝ ，则tan∠BAF的值是（　B　） A. B. C. D. B 解析：由题意知Rt△ADE≌Rt△CBG，Rt△ABF≌ Rt△CDH，四边形EFGH为矩形，∴DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，AE＝CG，HE＝GF，HG＝EF，设EF＝HG＝x，AE＝CG＝a，DH＝BF＝b. ∵ ＝ ，∴BG＝DE＝2x，AF＝AE＋EF＝a＋x. ∵Rt△ADE和Rt△ABF的面积相等， ∴ DE·AE＝ BF·AF， ∴2xa＝b（a＋x）.① ∵AD⊥DF，DE⊥AF， ∴∠EDF＋∠EDA＝∠EDA＋∠DAE＝90°， ∴∠EDF＝∠DAE， ∴△ADE∽△DFE，∴ ＝ ， ∴DE2＝AE·EF，∴（2x）2＝ax， ∴a＝4x.② 结合①②可得b＝ x， ∴tan∠BAF＝ ＝ ＝ ＝ .故选B. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：8x2－2x＝ 　2x（4x－1）　. 12. 方程 ＋ ＝1的解是 　x＝2　. 13. 如图，AB是☉O的直径，点C，E在☉O上，点A是劣弧CE的中点，过点A作☉O的切线交BC的延长线于点D，连结 AC. 若∠ADB＝58°，则∠ACE＝ 　32°　. 2x（4x－1） x＝2 32° 第13题图 14. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 　 　. ​ 15. 如图，在菱形ABCD中，tan B＝0.75，AE⊥BC，垂足为点E，若CE＝2，则菱形的周长为  　40　. 第15题图 40 解析：∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°. ∵tan B＝0.75， ∴ ＝ ，设AE＝3x，则BE＝4x， ∴AB＝ ＝5x. ∵四边形 ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝5x. ∴CE＝5x－4x＝x＝2， ∴菱形的周长＝4AB＝20x＝40. 16. 如图1是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品.拉杆固定在轴上，可以绕连结点旋转，拉杆、置物板、脚架形状保持不变.图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP⊥DE，DF＝24 cm，FG＝ cm，☉A，☉B，☉C的半径均为4 cm，O为三角轮的中心，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 如图2，当轮子☉B，☉C及点G都放置在水平地面HI时，D恰好与☉A的最高点重合.此时，D的高度为20 cm，则OA＝ 　8　cm；如图3，拉动OP，使轮子☉A，☉B在楼梯表面滚动，当OA∥HI，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 　（12 ＋ ）　cm. 8 （12＋ ） 解析：如答图1，连结BC，延长AO交BC于点J，作BQ⊥HG于点Q， 由圆的半径为4 cm，得AD＝BQ＝4 cm. ∵D的高度为20 cm，∴AJ＝12 cm. 设OA＝OB＝x cm，∴OJ＝（12－x）cm， ∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC， ∴∠BOC＝120°，∠BOJ＝60°，∠OBJ＝30°， ∴OB＝2OJ，即x＝2（12－x）， ∴x＝8，即OA＝8 cm. 如答图1，作FS⊥HG于点S，∴FS＝20 cm， ∴SG＝ ＝ . 如答图2，连结BG，过点B作水平线，并与过点G的铅垂线交于点M， 由答图1得BD＝20 cm，且BD⊥BG， ∴∠GBM＝30°. ∵BG＝（24＋ ）cm， ∴GM＝ BG＝（12＋ ）cm. 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （8分）计算： ＋2 sin 45°－（π－3）0＋｜ －2｜. 解： ＋2 sin 45°－（π－3）0＋｜ －2｜ ＝2＋2× －1＋2－ ＝2＋ －1＋2－ ＝3. 18. （8分）解方程组： 解： ①×3，得3x＋12y＝6，③ ③－②，得14y＝28， 解得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝－6. ∴方程组的解为 19. （8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tan A＝2 cos ∠BCD. （1）求证：BC＝2AD. 证明：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， 在Rt△ACD中，tan A＝ ， 在Rt△CDB中， cos ∠BCD＝ . ∵tan A＝2 cos ∠BCD，∴ ＝ ， ∴BC＝2AD. （2）若 cos B＝ ，AB＝10，求△ABC的面积. 解：（2）在Rt△CDB中， cos B＝ ＝ . ∵BC＝2AD，∴ ＝ . ∵AB＝10，∴BD＝ AB＝6， ∴BC＝ ＝ ＝8， ∴CD＝ ＝ ＝2 ， ∴△ABC的面积为： AB·CD＝ ×10×2 ＝10 . 20. （8分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示. （1）本次抽查的学生人数是 　50　，并补全条形统计图； 解：（1）8÷16％＝50（人）， “捐款为15元”的学生有50－8－14－6－4＝18（人），补全条形统计图如下： 50 答图 （2）本次捐款金额的众数为 　15　元，中位数为 　15　元； 解析：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列，处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元. 15 15 （3）若该校八年级学生为600名，请你估计捐款总金额. 解：（3）样本平均数为 ＝13.4（元/人）， 13.4×600＝8 040（元）. 答：估计捐款总金额为8 040元. 21. （8分）尺规作图，并完成证明. 如图，点D，F在△ABC外，连结AF，AD，BD，且AF∥BC，∠ABD ＝∠CAF，BD＝AC. （1）用尺规作图完成以下基本作图： 作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连结CE（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； 解：（1）如答图. 答图 （2）根据（1）中的作图，求证：AD＝CE. 解：（2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵AF∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝EA. 在△ABD和△EAC中， ∴△ABD≌△EAC（SAS）， ∴AD＝CE. 22. （10分）【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m.每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨1.8 m达到最高 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽1.2 m，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于1 m，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是1 m的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为 0.7 m（第一个文字、最后一个文字与牌匾两端也分别有一个0.7 m的间距） 【解决问题】 （1）若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 解：（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 答图 由题意可知该抛物线顶点坐标为（0，0）， 且B（10，－5），A（－10，－5）. 设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0）. 把B（10，－5）的坐标代入解析式，得a×102＝－5， 解得a＝－ ， ∴抛物线的解析式为y＝－ x2. （2）请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小、字与字的间距，从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） 解：（2）不能成功.根据题意，高AB的危险高度为1.8＋1.2＋1＝4（m），即离点O的安全最低高度为5－4＝1（m）. ∵y＝－ x2， ∴当y＝－1时，－ x2＝－1. 解得x1＝2 ，x2＝－2 ， ∴匾额的最大长度为2 －（－2 ）＝4 ≈4×2.24＝8.96（m）. 根据题意，方案的设计长度为0.7×6＋5×1＝9.2（m）. 由9.2＞8.96，故牌匾悬挂不能成功. 若相邻两个字的水平间距均为0.6 m， 则匾额的长度为0.6×6＋5×1＝8.6（m）＜8.96（m）， 即把字间距由0.7 m改为0.6 m即可实现悬挂目标. （3）若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材2的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案.（参考数据： ≈1.73， ≈2.24， ≈2.44） 解：（3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为AB＝20 m，过点O作ON⊥AB于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理， 得AC＝CB＝ AB＝10 m. ∵NC＝5 m， 设圆的半径为r m，则OA＝r m，OC＝（r－5）m. 根据勾股定理，得r2＝（r－5）2＋102， 解得r＝12.5（m）. 在NC上截取GC＝4 m，过点G作EF⊥GC，交圆于E，F两点， 连结OE，则OG＝ON－NG＝12.5－（5－4）＝11.5（m），EG＝ FG， ∴EG＝ ＝2 （m）， ∴EF＝2EG＝4 ≈4×2.44＝9.76（m）. 根据题意，方案的设计宽度为0.7×6＋5×1＝9.2（m）. 由9.76＞9.2. ∴方案可行. 23. （10分）已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过原点O和点A（8＋t，0），其中t≥0. （1）当t＝0时. ①求y关于x的函数解析式；当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ 解：（1）①当t＝0时，A（8，0）， 把A（8，0），O（0，0）的坐标分别代入y＝－ x2＋bx＋c，得： ∴ ∴二次函数为y＝－ x2＋2x. ∵y＝－ x2＋2x＝－ （x－4）2＋4， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为4. ②当x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等，求a的值. 解：②∵x＝a和x＝b时（a≠b），函数值相等， ∴－ a2＋2a＝－ ×22＋2×2， 整理得a2－8a＋12＝0， 解得a＝2（不合题意，舍去）或a＝6， ∴a的值为6. （2）若t＞0，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值. 解：（2）∵二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过原点O，∴c＝0， ∴二次函数解析式为y＝－ x2＋bx， ∴对称轴为直线x＝2b. ∵二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过原点O和点A（8＋t，0）， ∴2b＝ ＝4＋ t. ∵t＞0，∴2b＞4， 当t≤8时，对称轴x＝2b≤8. ∵0≤x≤8，∴当x＝2b时，y有最大值18， 即－ ×（2b）2＋b×2b＝18， 整理得b2＝18， 解得b＝－3 或b＝3 . ∵4＜2b≤8，∴2＜b≤4， ∴b＝－3 或b＝3 都不符合，舍去； 当t＞8时，对称轴x＝2b＞8. ∵－ ＜0，∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大. ∵0≤x≤8，∴当x＝8时，y有最大值18， 即－ ×82＋8b＝18，解得b＝ ， ∴4＋ t＝2× ， ∴t＝9. 综上，t＝9，x＝8. 24. （12分）如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC. 点E在BD上，点F在AB上，有∠CEF＝120°. （1）如图2，BC为直径. ①求证：EF＝EC. 解：（1）①证明：过点E作EN⊥BC于点N，EM⊥AB于点M，如答图1，则有EM＝EN. ∵∠ABC＝60°，∠CEF＝120°， ∴∠EFB＋∠ECB＝180°. ∵∠EFB＋∠EFM＝180°， ∴∠EFM＝∠ECN. 又∵∠ENC＝∠EMF＝90°，EN＝EM， ∴△ENC≌△EMF（AAS）， ∴EF＝EC. 答图1 ②已知BC＝12，若点F为AB的中点，求BE的长. 解：②∵∠ENC＝∠EMF＝90°，EM＝EN，BE＝BE， ∴Rt△EMB≌Rt△ENB（HL）， ∴BM＝BN. 由①得，△ENC≌△EMF，∴MF＝NC， ∴BF＋BC＝BM－FM＋BN＋NC＝BM＋BN＝2BN. 在Rt△BEN中， cos ∠EBN＝ ，即 cos 30°＝ ＝ ， ∴BE＝ ＝ ＝ （BF＋BC）. ∵BC为☉O直径，∴∠BAC＝90°， ∴∠BCA＝90°－60°＝30°，∴BC＝2BA. 又∵点F为AB的中点， ∴BF＝AF＝ AB＝ BC＝3， ∴BF＋BC＝15， ∴BE＝ ×15＝5 . （2）求 的值. 解：（2）连结CF，如答图2， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠1＝∠2＝30°， ∴∠DAC＝∠2＝∠1＝∠DCA＝30°. 答图2 ∵∠FEC＝120°，∠FBC＝60°， ∴∠FEC＋∠FBC＝180°， ∴E，F，B，C四点共圆， ∴∠1＝∠ECF＝∠2＝∠EFC＝30°， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠ECF＝∠EFC＝30°， ∴△ADC∽△FEC， ∴ ＝ .又∠ECF＝∠DCA， ∴∠ACF＝∠DCE，∴△ACF∽△DCE， ∴ ＝ . 作DJ⊥AC于点J，如答图2. ∵∠DAC＝∠ACD＝30°，∴AD＝DC， ∴CJ＝AJ＝ AC. 在Rt△DCJ中， cos 30°＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ . 答图2 感谢观看 $