周期问题（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学三年级下册(新教材）

周期问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 核心定义：周期问题是指事物按照一定的规律，重复出现的问题。苏教版三年级下册重点是认识周期现象，理解“周期”的含义，掌握周期问题的核心解题方法，能结合生活实例，运用除法计算解决简单的周期问题，培养观察、分析和归纳推理能力。 核心关联概念：① 周期的含义：把一组重复出现的事物看作一个整体，这个整体就是一个周期（如“红、黄、蓝”重复出现，这3种颜色就是一个周期，周期长度为3）；② 与前期知识关联：是在“除法的意义”“有余数的除法”基础上的延伸，需熟练掌握有余数除法的计算方法，理解商和余数的含义，为周期问题的解题奠定基础；③ 核心分类：按周期规律分为“简单周期”（单一重复规律，如颜色、图形重复）和“复杂周期”（组合重复规律，如数字+图形组合重复），两者解题思路一致，核心是找准周期长度。 2. 周期问题知识的核心意义 本知识点是苏教版三年级下册数学广角的核心内容，核心是帮助学生发现生活中的周期现象，理解周期的含义，掌握“找周期、算余数、定位置”的解题思路，能运用有余数的除法解决简单的周期问题，培养“观察归纳能力”“逻辑推理能力”和“应用意识”。它是后续学习更复杂规律问题的重要基础，也是日常生活中解决重复规律问题（如日期、星期、排列）的常用方法，能帮助学生建立正确的规律意识，学会从复杂现象中提取重复规律，养成认真观察、仔细分析的良好习惯。本单元重点是找准周期长度、运用有余数除法解决周期问题，难点是理解余数与周期位置的对应关系，避免余数判断失误。 3. 常见场景 ① 概念识别：识别生活中的周期现象，明确周期的含义，能找出一组重复事物的周期长度； ② 简单周期：单一事物重复出现（如颜色排列、图形排列、数字排列），找准周期长度，判断指定位置的事物； ③ 复杂周期：组合事物重复出现（如“数字+图形”“字母+颜色”组合），提取重复规律，确定周期长度； ④ 实际应用：结合生活场景（星期、日期、节日装饰、队列排列），运用周期知识解决实际问题； ⑤ 易错场景：找错周期长度、混淆商和余数的含义、余数为0时判断错误、忽略周期的起始位置。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.除法基础：熟练掌握有余数除法的计算方法，能准确计算被除数、除数、商和余数，理解商和余数的含义（商表示完整周期的个数，余数表示剩余的个数）； 2.观察基础：能认真观察一组事物的排列规律，发现重复出现的部分，准确提取周期； 3.推理能力：能根据周期规律，结合余数，推理出指定位置的事物，具备初步的逻辑推理能力； 4.审题能力：能准确读懂题目含义，提取题目中的排列规律，找准周期长度和所求问题（如“第n个是什么”“第n个的颜色/形状是什么”）。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：认识周期现象，找准周期长度（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：观察一组事物的排列顺序，找出重复出现的“最小整体”，这个整体的个数就是周期长度，核心是“找重复、定长度”，避免把非重复部分当作周期； ② 常用规则：（1）找周期：从第一个事物开始，依次观察，直到出现与前面完全相同的排列，这一段就是一个周期；（2）定长度：数出一个周期内包含的事物个数，就是周期长度（如“红、黄、蓝、红、黄、蓝”，重复部分是“红、黄、蓝”，周期长度为3）；（3）补充：周期必须是“重复出现”的，若排列没有重复，就不是周期现象；周期长度是固定的，不能随意拆分。 ③ 步骤：1. 观察题目中的排列规律（颜色、图形、数字等）；2. 从起始位置开始，找出重复出现的最小整体；3. 数出这个整体的个数，确定周期长度；4. 检查：观察后续排列，确认该整体重复出现，周期长度正确。 ④ 示例：找出下列排列的周期长度。（1）红、黄、绿、红、黄、绿、红、黄、绿 （2）△○□△○□△○□ （3）1、2、3、1、2、3、1、2、3。解：（1）重复部分是“红、黄、绿”，周期长度为3；（2）重复部分是“△○□”，周期长度为3；（3）重复部分是“1、2、3”，周期长度为3。 2.方法二：简单周期问题（单一规律）的解题方法（基础，苏教版重点） ① 核心思路：遵循“找周期→算余数→定位置”的三步法，先找准周期长度，再用所求位置的序号除以周期长度，通过商和余数判断指定位置的事物（核心是理解余数的含义）； ② 关键：牢记余数与位置的对应关系——余数为1，对应周期的第1个事物；余数为2，对应周期的第2个事物……余数为0（没有余数），对应周期的最后1个事物；商表示完整的周期个数，不影响指定位置的判断。 ③ 步骤：1. 找周期：观察排列规律，确定周期长度（n）；2. 算余数：用所求位置的序号（m）除以周期长度（n），计算 m÷n = 商……余数（r，0≤r＜n）；3. 定位置：根据余数判断——r=1→第1个，r=2→第2个……r=0→第n个；4. 检查：结合周期规律，核对判断结果是否正确。 ④ 示例：一串彩灯按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，周期长度为3，第17盏彩灯是什么颜色？解：1. 周期长度n=3；2. 算余数：17÷3=5（商）……2（余数）；3. 定位置：余数为2，对应周期的第2个颜色（黄）；4. 检查：5个完整周期（15盏），剩余2盏，第16盏红、第17盏黄，结果正确。答：第17盏彩灯是黄色。 3.方法三：复杂周期问题（组合规律）的解题方法（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：与简单周期解题思路一致，核心区别是“找周期”时，需提取组合事物的重复规律，把“组合整体”当作一个周期，再按“算余数、定位置”的步骤解题，避免拆分组合、找错周期； ② 关键：找准组合周期的长度（如“△1、○2、□3、△1、○2、□3”，组合重复部分是“△1、○2、□3”，周期长度为3），余数对应的是组合周期中的第几个组合，再确定组合内的具体事物。 ③ 步骤：1. 找组合周期：观察组合排列规律，找出重复出现的最小组合整体，确定周期长度（n）；2. 算余数：用所求位置的序号（m）除以周期长度（n），计算 m÷n = 商……余数（r，0≤r＜n）；3. 定组合：根据余数确定对应的组合（r=1→第1个组合，r=0→最后1个组合）；4. 定具体事物：在对应组合中，确定具体的事物（颜色、图形、数字等）；5. 检查：结合组合周期规律，核对结果是否正确。 ④ 示例：一串图形和数字组合按“△1、○2、□3”的顺序重复排列，周期长度为3，第20个组合是什么？其中的数字是几？解：1. 组合周期长度n=3；2. 算余数：20÷3=6（商）……2（余数）；3. 定组合：余数为2，对应第2个组合“○2”；4. 定具体事物：组合是“○2”，数字是2；5. 检查：6个完整周期（18个组合），剩余2个组合，第19个“△1”、第20个“○2”，结果正确。答：第20个组合是○2，数字是2。 4.方法四：周期问题的实际应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：结合生活实际场景（星期、日期、节日装饰、队列排列），提取题目中的周期规律，找准周期长度，运用“找周期→算余数→定位置”的方法，解决实际问题，核心是找准周期的起始点和周期长度； ② 关键：牢记生活中常见的周期（如星期的周期长度为7，月份天数的周期规律等），找准周期的起始位置（如从星期几开始，从哪一天开始），避免起始位置错误导致结果偏差。 ③ 步骤：1. 审题：读懂生活场景，提取已知条件（排列规律、起始位置）和所求问题（如“第n天是星期几”“第n个装饰是什么颜色”）；2. 找周期：确定周期长度和起始位置；3. 算余数：用所求序号减去起始序号（若起始位置不是第1个），再除以周期长度，计算余数；4. 定结果：根据余数判断指定位置的事物，结合生活场景解读结果；5. 检查：核对周期规律、余数计算，判断结果是否符合生活实际。 ④ 示例：（1）2026年3月7日是星期六，从这一天开始，第25天是星期几？解：1. 周期长度（星期）n=7，起始位置是星期六（对应周期第1个：星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五）；2. 算余数：25÷7=3（商）……4（余数）；3. 定结果：余数为4，对应周期第4个，即星期二；4. 解读：第25天是星期二；5. 检查：3个完整星期（21天），剩余4天，第22天六、23天日、24天一一、25天二，结果正确。（2）节日装饰按“灯笼、中国结、灯笼、中国结”的顺序排列，从第一个灯笼开始，第18个装饰是什么？解：1. 周期长度n=2（灯笼、中国结）；2. 算余数：18÷2=9（商）……0（余数）；3. 定结果：余数为0，对应周期最后1个，即中国结；4. 检查：9个完整周期，第18个是中国结，结果正确。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.找错周期长度：把非重复部分当作周期，或拆分周期（如“红、黄、红、黄、蓝”，误把“红、黄”当作周期，实际无固定周期）； 2.余数判断错误：混淆余数与周期位置的对应关系，如余数为0时，误判为周期第1个，实际应为周期最后1个； 3.起始位置错误：忽略周期的起始点，如从第2个事物开始排列，仍按从第1个开始计算，导致结果偏差； 4.有余数除法计算错误：计算被除数÷周期长度时，商或余数计算失误（如17÷3误算成5余1，正确应为5余2）； 5.复杂周期拆分错误：把组合周期拆分成单一事物，如“△1、○2”组合，误把图形和数字分开找周期，导致周期长度错误； 6.忽略隐含周期：题目中未直接说明周期，需结合生活常识找周期（如星期周期为7，月份天数的周期规律）； 7.审题不清：误读所求位置的序号，或忽略题目中的“从第几个开始”，导致列式错误； 8.逻辑推理错误：根据余数判断位置时，混淆周期的排列顺序，如周期为“红、黄、蓝”，余数为2，误判为蓝色，实际为黄色。 三、周期问题的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确题目类型（简单周期、复杂周期、实际应用），提取已知条件（排列规律、起始位置）和所求问题，判断是否为周期现象，排除非周期问题。 2.准备工作：回顾周期的含义、有余数除法的计算方法，牢记余数与周期位置的对应关系，结合生活常识，找准常见周期的长度。 3.解题过程：1. 找周期：观察排列规律，确定周期长度（单一或组合），明确周期的起始位置；2. 算余数：用所求位置的序号（若有起始偏移，先调整序号）除以周期长度，计算商和余数；3. 定结果：根据余数判断指定位置的事物（余数为0对应周期最后1个）；4. 解实际问题：结合生活场景，解读结果，确保符合实际。 4.核对检查：1. 周期检查：核对周期长度和起始位置是否正确，确认是重复规律；2. 计算检查：核对有余数除法的商和余数，确保计算准确；3. 逻辑检查：根据周期规律，手动数出前几个事物，核对所求位置的结果是否正确；4. 细节检查：核对题目序号、起始位置，避免审题失误。 5.规范作答：简单周期题直接写出结果和判断过程；复杂周期题清晰写出找周期、算余数、定位置的步骤；实际应用题完整写出解题步骤、结果和答语，确保步骤完整、格式规范，符合苏教版教材要求。 四、常见周期问题的题型及解题示例 1. 场景一：找准周期长度（基础题） 例：找出下列各组排列的周期长度，说说重复部分是什么。（1）蓝、白、蓝、白、蓝、白 （2）○△△○△△○△△ （3）5、4、3、2、1、5、4、3、2、1 （4）☆□○☆□○☆□○ 解：（1）重复部分是“蓝、白”，周期长度为2； （2）重复部分是“○△△”，周期长度为3； （3）重复部分是“5、4、3、2、1”，周期长度为5； （4）重复部分是“☆□○”，周期长度为3； 检验：各组排列均有固定重复部分，周期长度判断准确。 答：（1）周期长度2，重复部分蓝、白；（2）周期长度3，重复部分○△△；（3）周期长度5，重复部分5、4、3、2、1；（4）周期长度3，重复部分☆□○。 2. 场景二：简单周期问题（单一规律）（基础题） 例：一串珠子按“黑、白、灰”的顺序重复排列，周期长度为3，第19颗珠子是什么颜色？第27颗珠子是什么颜色？ 解：（1）第19颗珠子：1. 周期长度n=3；2. 算余数：19÷3=6（商）……1（余数）；3. 定颜色：余数为1，对应周期第1个颜色（黑）； （2）第27颗珠子：1. 周期长度n=3；2. 算余数：27÷3=9（商）……0（余数）；3. 定颜色：余数为0，对应周期最后1个颜色（灰）； 检验：6个完整周期（18颗），第19颗是第7个周期第1颗（黑）；9个完整周期（27颗），第27颗是第9个周期最后1颗（灰），结果正确。 答：第19颗珠子是黑色，第27颗珠子是灰色。 3. 场景三：复杂周期问题（组合规律）（进阶题） 例：一组符号按“★2、☆3、△4”的顺序重复排列，周期长度为3，第14个符号组合是什么？其中的数字是几？ 解：1. 组合周期长度n=3；2. 算余数：14÷3=4（商）……2（余数）；3. 定组合：余数为2，对应第2个组合“☆3”；4. 定数字：组合“☆3”中的数字是3； 检验：4个完整周期（12个组合），剩余2个组合，第13个“★2”、第14个“☆3”，结果正确。 答：第14个符号组合是☆3，其中的数字是3。 4. 场景四：周期问题的实际应用（进阶题） 例：（1）2026年3月7日是星期六，从这一天起，第30天是星期几？（2）学校走廊挂了一串灯笼，按“红、橙、黄、绿”的顺序排列，从第一个红灯笼开始，第22个灯笼是什么颜色？ 解：（1）1. 周期长度（星期）n=7，起始位置是星期六（周期顺序：六、日、一、二、三、四、五）；2. 算余数：30÷7=4（商）……2（余数）；3. 定星期：余数为2，对应周期第2个，即星期日；答：第30天是星期日； （2）1. 周期长度n=4（红、橙、黄、绿）；2. 算余数：22÷4=5（商）……2（余数）；3. 定颜色：余数为2，对应周期第2个颜色（橙）；答：第22个灯笼是橙色； 检验：两道题周期长度、余数计算正确，结果符合生活实际。 答：（1）星期日；（2）橙色。 5. 场景五：判断周期问题的相关错误（基础题） 例：判断下列说法或解题过程是否正确，说明理由并改正。（1）一串珠子按“红、黄、蓝”排列，周期长度为2（×）；（2）第18颗珠子，周期长度3，18÷3=6余0，判断为红色（×）；（3）星期周期为8（×）；（4）第10个组合“△1、○2”，周期长度2，10÷2=5余0，判断为△1（×） 解：（1）不正确；理由：重复部分是“红、黄、蓝”，周期长度应为3，误把前两个当作周期；正确周期长度：3； （2）不正确；理由：余数为0时，对应周期最后1个事物，“红、黄、蓝”周期最后1个是蓝色，误判为红色；正确判断：第18颗珠子是蓝色； （3）不正确；理由：星期有7天，周期长度应为7，误算为8；正确周期长度：7； （4）不正确；理由：余数为0时，对应周期最后1个组合，“△1、○2”周期最后1个是○2，误判为△1；正确判断：第10个组合是○2； 检验：改正后的说法和判断符合周期问题的核心知识，理由充分，结果准确。 答：（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确；（4）不正确。 培优练习 一、选择题 1．，按这样的规律摆下去，一共摆了48个，那么的个数一共是（    ）个。 A．47 B．48 C．49 根据题意，，是按照“1个1个”为一个循环进行排列的，按这样的规律，一共摆了48个，因为最后一个图形是，那么的个数比多1个，据此解答即可。 48＋1＝49（个），按这样的规律，一共摆了48个，那么的个数一共是49个。 2．“生、旦、净、末、丑”是指戏曲里面的五种行当，戏曲道具组按照下图这样的规律制作标识棋子，第31枚棋子对应的行当是（    ）。 A．生 B．旦 C．净 3．◇○○△◇○○△◇○○△……按照这样的规律排下去，第23个图形是（    ）。 A．◇ B．○ C．△ 4．按照下面物品的摆放规律，下一个物品是（    ）。 A． B． C． 5．喜迎三八妇女节，和谐公园门口按照“1蓝2黄3红”的规律挂了一排彩色气球，第73个气球是（    ）色。 A．蓝 B．黄 C．红 6．〇□〇□〇□……□〇，按这样的规律，一共摆了48个口，那么〇的个数一共是（    ）。 A．49个 B．48个 C．47个 二、填空题 7．丽丽穿一串黑白相间的珠子（如下图），若这串珠子中有黑珠60颗，那么白珠有( )颗。 8．六一儿童节到了，学校在教学楼上挂了一串彩灯，彩灯按红色、黄色、蓝色、绿色的顺序排列。第37盏彩灯应该是( )色。 9．按照“红蓝蓝蓝红蓝蓝蓝……”的顺序在运动场的一侧插彩旗，一共插了142面彩旗，最后一面是( )色彩旗。 10．……按这样的规律排列下去，第32个圆片是_____色。 11．一列图形按○△△□○△△口……的顺序排列，则第20个图形是( )。 12．小宇按规律用珠子穿成一串手链，但是掉了5颗珠子。每种形状的珠子分别掉了几颗呢？ 掉了( )颗；掉了( )颗；掉了( )颗。 三、解答题 13．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少只？ 14．一串珠子，按下图排列，那么第33颗是什么珠子？第48颗是什么珠子？ 15．学校艺术节挂气球，气球按“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的规律排列，第32个气球是什么颜色？ 16．2023年父亲节（6月18日）是星期日，7月8日是星期几？（6月有30天，7月有31天） 17．元旦要到了，同学们准备用36只灯笼布置教室。如果按“2红1黄”的规律排列，应该准备多少只红灯笼和多少只黄灯笼？ 18．星期天，小东和小丽从一楼出发比赛爬楼梯，小东跑到四楼时，小丽恰好跑到三楼。照这样的速度，小东跑到十六楼时，小丽跑到几楼？ 19．有26名学生排成一排，如图按2名男生、1名女生，且5名站着、1名坐着的规律进行排列。第26名学生是男生还是女生？是站着的还是坐着的？ 20．超市棒棒糖专柜按下面的规律摆放了30根棒棒糖。最后一根是什么口味？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周期问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 核心定义：周期问题是指事物按照一定的规律，重复出现的问题。苏教版三年级下册重点是认识周期现象，理解“周期”的含义，掌握周期问题的核心解题方法，能结合生活实例，运用除法计算解决简单的周期问题，培养观察、分析和归纳推理能力。 核心关联概念：① 周期的含义：把一组重复出现的事物看作一个整体，这个整体就是一个周期（如“红、黄、蓝”重复出现，这3种颜色就是一个周期，周期长度为3）；② 与前期知识关联：是在“除法的意义”“有余数的除法”基础上的延伸，需熟练掌握有余数除法的计算方法，理解商和余数的含义，为周期问题的解题奠定基础；③ 核心分类：按周期规律分为“简单周期”（单一重复规律，如颜色、图形重复）和“复杂周期”（组合重复规律，如数字+图形组合重复），两者解题思路一致，核心是找准周期长度。 2. 周期问题知识的核心意义 本知识点是苏教版三年级下册数学广角的核心内容，核心是帮助学生发现生活中的周期现象，理解周期的含义，掌握“找周期、算余数、定位置”的解题思路，能运用有余数的除法解决简单的周期问题，培养“观察归纳能力”“逻辑推理能力”和“应用意识”。它是后续学习更复杂规律问题的重要基础，也是日常生活中解决重复规律问题（如日期、星期、排列）的常用方法，能帮助学生建立正确的规律意识，学会从复杂现象中提取重复规律，养成认真观察、仔细分析的良好习惯。本单元重点是找准周期长度、运用有余数除法解决周期问题，难点是理解余数与周期位置的对应关系，避免余数判断失误。 3. 常见场景 ① 概念识别：识别生活中的周期现象，明确周期的含义，能找出一组重复事物的周期长度； ② 简单周期：单一事物重复出现（如颜色排列、图形排列、数字排列），找准周期长度，判断指定位置的事物； ③ 复杂周期：组合事物重复出现（如“数字+图形”“字母+颜色”组合），提取重复规律，确定周期长度； ④ 实际应用：结合生活场景（星期、日期、节日装饰、队列排列），运用周期知识解决实际问题； ⑤ 易错场景：找错周期长度、混淆商和余数的含义、余数为0时判断错误、忽略周期的起始位置。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.除法基础：熟练掌握有余数除法的计算方法，能准确计算被除数、除数、商和余数，理解商和余数的含义（商表示完整周期的个数，余数表示剩余的个数）； 2.观察基础：能认真观察一组事物的排列规律，发现重复出现的部分，准确提取周期； 3.推理能力：能根据周期规律，结合余数，推理出指定位置的事物，具备初步的逻辑推理能力； 4.审题能力：能准确读懂题目含义，提取题目中的排列规律，找准周期长度和所求问题（如“第n个是什么”“第n个的颜色/形状是什么”）。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：认识周期现象，找准周期长度（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：观察一组事物的排列顺序，找出重复出现的“最小整体”，这个整体的个数就是周期长度，核心是“找重复、定长度”，避免把非重复部分当作周期； ② 常用规则：（1）找周期：从第一个事物开始，依次观察，直到出现与前面完全相同的排列，这一段就是一个周期；（2）定长度：数出一个周期内包含的事物个数，就是周期长度（如“红、黄、蓝、红、黄、蓝”，重复部分是“红、黄、蓝”，周期长度为3）；（3）补充：周期必须是“重复出现”的，若排列没有重复，就不是周期现象；周期长度是固定的，不能随意拆分。 ③ 步骤：1. 观察题目中的排列规律（颜色、图形、数字等）；2. 从起始位置开始，找出重复出现的最小整体；3. 数出这个整体的个数，确定周期长度；4. 检查：观察后续排列，确认该整体重复出现，周期长度正确。 ④ 示例：找出下列排列的周期长度。（1）红、黄、绿、红、黄、绿、红、黄、绿 （2）△○□△○□△○□ （3）1、2、3、1、2、3、1、2、3。解：（1）重复部分是“红、黄、绿”，周期长度为3；（2）重复部分是“△○□”，周期长度为3；（3）重复部分是“1、2、3”，周期长度为3。 2.方法二：简单周期问题（单一规律）的解题方法（基础，苏教版重点） ① 核心思路：遵循“找周期→算余数→定位置”的三步法，先找准周期长度，再用所求位置的序号除以周期长度，通过商和余数判断指定位置的事物（核心是理解余数的含义）； ② 关键：牢记余数与位置的对应关系——余数为1，对应周期的第1个事物；余数为2，对应周期的第2个事物……余数为0（没有余数），对应周期的最后1个事物；商表示完整的周期个数，不影响指定位置的判断。 ③ 步骤：1. 找周期：观察排列规律，确定周期长度（n）；2. 算余数：用所求位置的序号（m）除以周期长度（n），计算 m÷n = 商……余数（r，0≤r＜n）；3. 定位置：根据余数判断——r=1→第1个，r=2→第2个……r=0→第n个；4. 检查：结合周期规律，核对判断结果是否正确。 ④ 示例：一串彩灯按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，周期长度为3，第17盏彩灯是什么颜色？解：1. 周期长度n=3；2. 算余数：17÷3=5（商）……2（余数）；3. 定位置：余数为2，对应周期的第2个颜色（黄）；4. 检查：5个完整周期（15盏），剩余2盏，第16盏红、第17盏黄，结果正确。答：第17盏彩灯是黄色。 3.方法三：复杂周期问题（组合规律）的解题方法（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：与简单周期解题思路一致，核心区别是“找周期”时，需提取组合事物的重复规律，把“组合整体”当作一个周期，再按“算余数、定位置”的步骤解题，避免拆分组合、找错周期； ② 关键：找准组合周期的长度（如“△1、○2、□3、△1、○2、□3”，组合重复部分是“△1、○2、□3”，周期长度为3），余数对应的是组合周期中的第几个组合，再确定组合内的具体事物。 ③ 步骤：1. 找组合周期：观察组合排列规律，找出重复出现的最小组合整体，确定周期长度（n）；2. 算余数：用所求位置的序号（m）除以周期长度（n），计算 m÷n = 商……余数（r，0≤r＜n）；3. 定组合：根据余数确定对应的组合（r=1→第1个组合，r=0→最后1个组合）；4. 定具体事物：在对应组合中，确定具体的事物（颜色、图形、数字等）；5. 检查：结合组合周期规律，核对结果是否正确。 ④ 示例：一串图形和数字组合按“△1、○2、□3”的顺序重复排列，周期长度为3，第20个组合是什么？其中的数字是几？解：1. 组合周期长度n=3；2. 算余数：20÷3=6（商）……2（余数）；3. 定组合：余数为2，对应第2个组合“○2”；4. 定具体事物：组合是“○2”，数字是2；5. 检查：6个完整周期（18个组合），剩余2个组合，第19个“△1”、第20个“○2”，结果正确。答：第20个组合是○2，数字是2。 4.方法四：周期问题的实际应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：结合生活实际场景（星期、日期、节日装饰、队列排列），提取题目中的周期规律，找准周期长度，运用“找周期→算余数→定位置”的方法，解决实际问题，核心是找准周期的起始点和周期长度； ② 关键：牢记生活中常见的周期（如星期的周期长度为7，月份天数的周期规律等），找准周期的起始位置（如从星期几开始，从哪一天开始），避免起始位置错误导致结果偏差。 ③ 步骤：1. 审题：读懂生活场景，提取已知条件（排列规律、起始位置）和所求问题（如“第n天是星期几”“第n个装饰是什么颜色”）；2. 找周期：确定周期长度和起始位置；3. 算余数：用所求序号减去起始序号（若起始位置不是第1个），再除以周期长度，计算余数；4. 定结果：根据余数判断指定位置的事物，结合生活场景解读结果；5. 检查：核对周期规律、余数计算，判断结果是否符合生活实际。 ④ 示例：（1）2026年3月7日是星期六，从这一天开始，第25天是星期几？解：1. 周期长度（星期）n=7，起始位置是星期六（对应周期第1个：星期六、星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五）；2. 算余数：25÷7=3（商）……4（余数）；3. 定结果：余数为4，对应周期第4个，即星期二；4. 解读：第25天是星期二；5. 检查：3个完整星期（21天），剩余4天，第22天六、23天日、24天一一、25天二，结果正确。（2）节日装饰按“灯笼、中国结、灯笼、中国结”的顺序排列，从第一个灯笼开始，第18个装饰是什么？解：1. 周期长度n=2（灯笼、中国结）；2. 算余数：18÷2=9（商）……0（余数）；3. 定结果：余数为0，对应周期最后1个，即中国结；4. 检查：9个完整周期，第18个是中国结，结果正确。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.找错周期长度：把非重复部分当作周期，或拆分周期（如“红、黄、红、黄、蓝”，误把“红、黄”当作周期，实际无固定周期）； 2.余数判断错误：混淆余数与周期位置的对应关系，如余数为0时，误判为周期第1个，实际应为周期最后1个； 3.起始位置错误：忽略周期的起始点，如从第2个事物开始排列，仍按从第1个开始计算，导致结果偏差； 4.有余数除法计算错误：计算被除数÷周期长度时，商或余数计算失误（如17÷3误算成5余1，正确应为5余2）； 5.复杂周期拆分错误：把组合周期拆分成单一事物，如“△1、○2”组合，误把图形和数字分开找周期，导致周期长度错误； 6.忽略隐含周期：题目中未直接说明周期，需结合生活常识找周期（如星期周期为7，月份天数的周期规律）； 7.审题不清：误读所求位置的序号，或忽略题目中的“从第几个开始”，导致列式错误； 8.逻辑推理错误：根据余数判断位置时，混淆周期的排列顺序，如周期为“红、黄、蓝”，余数为2，误判为蓝色，实际为黄色。 三、周期问题的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确题目类型（简单周期、复杂周期、实际应用），提取已知条件（排列规律、起始位置）和所求问题，判断是否为周期现象，排除非周期问题。 2.准备工作：回顾周期的含义、有余数除法的计算方法，牢记余数与周期位置的对应关系，结合生活常识，找准常见周期的长度。 3.解题过程：1. 找周期：观察排列规律，确定周期长度（单一或组合），明确周期的起始位置；2. 算余数：用所求位置的序号（若有起始偏移，先调整序号）除以周期长度，计算商和余数；3. 定结果：根据余数判断指定位置的事物（余数为0对应周期最后1个）；4. 解实际问题：结合生活场景，解读结果，确保符合实际。 4.核对检查：1. 周期检查：核对周期长度和起始位置是否正确，确认是重复规律；2. 计算检查：核对有余数除法的商和余数，确保计算准确；3. 逻辑检查：根据周期规律，手动数出前几个事物，核对所求位置的结果是否正确；4. 细节检查：核对题目序号、起始位置，避免审题失误。 5.规范作答：简单周期题直接写出结果和判断过程；复杂周期题清晰写出找周期、算余数、定位置的步骤；实际应用题完整写出解题步骤、结果和答语，确保步骤完整、格式规范，符合苏教版教材要求。 四、常见周期问题的题型及解题示例 1. 场景一：找准周期长度（基础题） 例：找出下列各组排列的周期长度，说说重复部分是什么。（1）蓝、白、蓝、白、蓝、白 （2）○△△○△△○△△ （3）5、4、3、2、1、5、4、3、2、1 （4）☆□○☆□○☆□○ 解：（1）重复部分是“蓝、白”，周期长度为2； （2）重复部分是“○△△”，周期长度为3； （3）重复部分是“5、4、3、2、1”，周期长度为5； （4）重复部分是“☆□○”，周期长度为3； 检验：各组排列均有固定重复部分，周期长度判断准确。 答：（1）周期长度2，重复部分蓝、白；（2）周期长度3，重复部分○△△；（3）周期长度5，重复部分5、4、3、2、1；（4）周期长度3，重复部分☆□○。 2. 场景二：简单周期问题（单一规律）（基础题） 例：一串珠子按“黑、白、灰”的顺序重复排列，周期长度为3，第19颗珠子是什么颜色？第27颗珠子是什么颜色？ 解：（1）第19颗珠子：1. 周期长度n=3；2. 算余数：19÷3=6（商）……1（余数）；3. 定颜色：余数为1，对应周期第1个颜色（黑）； （2）第27颗珠子：1. 周期长度n=3；2. 算余数：27÷3=9（商）……0（余数）；3. 定颜色：余数为0，对应周期最后1个颜色（灰）； 检验：6个完整周期（18颗），第19颗是第7个周期第1颗（黑）；9个完整周期（27颗），第27颗是第9个周期最后1颗（灰），结果正确。 答：第19颗珠子是黑色，第27颗珠子是灰色。 3. 场景三：复杂周期问题（组合规律）（进阶题） 例：一组符号按“★2、☆3、△4”的顺序重复排列，周期长度为3，第14个符号组合是什么？其中的数字是几？ 解：1. 组合周期长度n=3；2. 算余数：14÷3=4（商）……2（余数）；3. 定组合：余数为2，对应第2个组合“☆3”；4. 定数字：组合“☆3”中的数字是3； 检验：4个完整周期（12个组合），剩余2个组合，第13个“★2”、第14个“☆3”，结果正确。 答：第14个符号组合是☆3，其中的数字是3。 4. 场景四：周期问题的实际应用（进阶题） 例：（1）2026年3月7日是星期六，从这一天起，第30天是星期几？（2）学校走廊挂了一串灯笼，按“红、橙、黄、绿”的顺序排列，从第一个红灯笼开始，第22个灯笼是什么颜色？ 解：（1）1. 周期长度（星期）n=7，起始位置是星期六（周期顺序：六、日、一、二、三、四、五）；2. 算余数：30÷7=4（商）……2（余数）；3. 定星期：余数为2，对应周期第2个，即星期日；答：第30天是星期日； （2）1. 周期长度n=4（红、橙、黄、绿）；2. 算余数：22÷4=5（商）……2（余数）；3. 定颜色：余数为2，对应周期第2个颜色（橙）；答：第22个灯笼是橙色； 检验：两道题周期长度、余数计算正确，结果符合生活实际。 答：（1）星期日；（2）橙色。 5. 场景五：判断周期问题的相关错误（基础题） 例：判断下列说法或解题过程是否正确，说明理由并改正。（1）一串珠子按“红、黄、蓝”排列，周期长度为2（×）；（2）第18颗珠子，周期长度3，18÷3=6余0，判断为红色（×）；（3）星期周期为8（×）；（4）第10个组合“△1、○2”，周期长度2，10÷2=5余0，判断为△1（×） 解：（1）不正确；理由：重复部分是“红、黄、蓝”，周期长度应为3，误把前两个当作周期；正确周期长度：3； （2）不正确；理由：余数为0时，对应周期最后1个事物，“红、黄、蓝”周期最后1个是蓝色，误判为红色；正确判断：第18颗珠子是蓝色； （3）不正确；理由：星期有7天，周期长度应为7，误算为8；正确周期长度：7； （4）不正确；理由：余数为0时，对应周期最后1个组合，“△1、○2”周期最后1个是○2，误判为△1；正确判断：第10个组合是○2； 检验：改正后的说法和判断符合周期问题的核心知识，理由充分，结果准确。 答：（1）不正确；（2）不正确；（3）不正确；（4）不正确。 培优练习 一、选择题 1．，按这样的规律摆下去，一共摆了48个，那么的个数一共是（    ）个。 A．47 B．48 C．49 【答案】C 【分析】 根据题意，，是按照“1个1个”为一个循环进行排列的，按这样的规律，一共摆了48个，因为最后一个图形是，那么的个数比多1个，据此解答即可。 【详解】根据分析： 48＋1＝49（个），按这样的规律，一共摆了48个，那么的个数一共是49个。 故答案为：C 2．“生、旦、净、末、丑”是指戏曲里面的五种行当，戏曲道具组按照下图这样的规律制作标识棋子，第31枚棋子对应的行当是（    ）。 A．生 B．旦 C．净 【答案】A 【分析】根据题意，戏曲道具组按照“生、旦、净、末、丑”五种行当依次排列下去，要求第31枚棋子对应的行当是什么，就要看31枚棋子中有几组“生、旦、净、末、丑”，即用31除以5解答，若有余数，余数是几，就是一组中的第几个行当。 【详解】31÷5＝6（组）……1（个） 余数是1，就是一组中的第1个行当，所以第31枚棋子对应的行当是生。 故答案为：A 3．◇○○△◇○○△◇○○△……按照这样的规律排下去，第23个图形是（    ）。 A．◇ B．○ C．△ 【答案】B 【分析】根据题意，这组图形按◇○○△的顺序排列，就是4个图形为一个周期，确定周期后，用总数量23除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果有余数时，余数是几，结果就是下一个周期中的第几个图形，据此解答。 【详解】23÷4＝5（个）……3（个） 这组图形排了5个周期，余下3个图形，所以第23个图形是○。 故答案为：B 4．按照下面物品的摆放规律，下一个物品是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】物品按是顺序循环摆放，的后面应该是。 【详解】按照下面物品的摆放规律，下一个物品是。 故答案为：A 5．喜迎三八妇女节，和谐公园门口按照“1蓝2黄3红”的规律挂了一排彩色气球，第73个气球是（    ）色。 A．蓝 B．黄 C．红 【答案】A 【分析】我们先计算出一个完整周期内气球的数量，再用总气球数除以周期数，根据余数来判断第73个气球的颜色。 【详解】73÷（1＋2＋3） ＝73÷6 ＝12（组）……1个 所以，第73个气球是蓝色。 故答案为：A 6．〇□〇□〇□……□〇，按这样的规律，一共摆了48个口，那么〇的个数一共是（    ）。 A．49个 B．48个 C．47个 【答案】A 【分析】根据题意，〇□〇□〇□……□〇，是按照“1个〇1个□”为一个循环进行排列的，〇□〇□〇□……□〇，按这样的规律，一共摆了48个□，因为最后一个图形是〇，那么〇的个数比□多1个，据此解答即可。 【详解】48＋1＝49（个） 〇□〇□〇□……□〇，按这样的规律，一共摆了48个口，那么〇的个数一共是49个。 故答案为：A 二、填空题 7．丽丽穿一串黑白相间的珠子（如下图），若这串珠子中有黑珠60颗，那么白珠有( )颗。 【答案】29 【分析】观察图形可知，珠子按照2颗黑珠、1颗白珠的顺序循环排列，已知有黑珠60颗，每组有2颗黑珠，则一共有60÷2＝30（组），即黑珠子有30组，观察发现最后两个黑珠后面没有白珠，所以白珠的组数要比黑珠的组数少1，即共有（30-1）组白珠，再乘1，即可求出白珠的个数。据此解答即可。 【详解】60÷2＝30（组） 30-1＝29（组） 29×1＝29（颗） 丽丽穿一串黑白相间的珠子，若这串珠子中有黑珠60颗，那么白珠有29颗。 8．六一儿童节到了，学校在教学楼上挂了一串彩灯，彩灯按红色、黄色、蓝色、绿色的顺序排列。第37盏彩灯应该是( )色。 【答案】红 【分析】根据题意可知，彩灯按红色、黄色、蓝色、绿色为一组不断重复排列，周期为4，用彩灯的位置数除以周期，余数是几，这个彩灯就是一组中第几个彩灯，没有余数，就是一组中的最后一个彩灯。 【详解】37÷4＝9（组）……1（盏） 第37盏彩灯是第10组的第1盏，每组中的第1盏是红色，所以第37盏彩灯应该是红色。 9．按照“红蓝蓝蓝红蓝蓝蓝……”的顺序在运动场的一侧插彩旗，一共插了142面彩旗，最后一面是( )色彩旗。 【答案】蓝 【分析】先找出彩旗排列的周期，然后通过除法运算确定所求彩旗在周期中的位置，进而得出其颜色。彩旗按照“红蓝蓝蓝红蓝蓝蓝……”的顺序排列，所以一个周期有4面彩旗。计算第142面彩旗在周期中的位置，用142除以周期数4；如果有余数，那么余数是多少就是往后一个周期的第几个颜色的旗帜，据此可得出第142面彩旗的颜色。 【详解】142÷4＝35（组）……2（面） 2是余数，表示第142面彩旗是下一个周期的第2面。根据排列顺序，一个周期中第2面彩旗是蓝色，所以第142面彩旗是蓝色。 综上可知，第142面彩旗是蓝颜色的彩旗。 10．……按这样的规律排列下去，第32个圆片是_____色。 【答案】黑 【分析】根据题意，观察图片可知，圆片是按照“4白4黑”8个为一组不断循环摆放的，用32除以8，求出商是4，没有余数，第32个圆片是黑色，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 32÷8＝4 ……按这样的规律排列下去，第32个圆片是黑色。 11．一列图形按○△△□○△△口……的顺序排列，则第20个图形是( )。 【答案】口 【分析】观察图形序列，发现是按“○△△口”的顺序重复排列，即每4个图形为一个周期。要求第20个图形，只需计算20除以4的余数，余数对应周期中的位置，余数为0时对应最后一个图形。 【详解】序列的周期为4（即○、△、△、口）。 计算：20 ÷ 4 ＝ 5，余数为0。 余数为0时，对应周期中的第4个图形，即口。 因此，第20个图形是口。 12．小宇按规律用珠子穿成一串手链，但是掉了5颗珠子。每种形状的珠子分别掉了几颗呢？ 掉了( )颗；掉了( )颗；掉了( )颗。 【答案】 1 2 2 【分析】观察珠子排列，发现其规律是按照的顺序循环排列的，掉了5颗缺少的部分应是1颗，2颗，2颗。 【详解】根据分析得：掉了1颗，掉了2颗，掉了2颗。 三、解答题 13．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50只彩灯，第50只彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少只？ 【答案】黄色；9只 【分析】根据题意，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，则每组有6只彩灯，用50÷6求出的商即为组数，如果正好能整除，则第50只彩灯是每组的最后一只灯的颜色，如果有余数，则余数是几就是每组的第几只彩灯的颜色；一共有多少组则有多少只红色的彩灯，如果有余数，则用组数加1可以求出红色彩灯的只数。 【详解】50÷6＝8（组）……2（只） 每组的第二只是黄色的彩灯。 8＋1＝9（只） 答：第50只彩灯是黄色，红色的彩灯一共有9只。 14．一串珠子，按下图排列，那么第33颗是什么珠子？第48颗是什么珠子？ 【答案】； 【分析】 观察图形发现，这串珠子每6颗为一组，按“”的规律排列。所以用珠子数除以6，算出组数和余数。余几颗珠子就是“”里的第几颗珠子。 【详解】33÷6＝5（组）……3（颗） 48÷6＝8（组），表明48颗珠子正好排完八个周期，即“”。 答：第33颗珠子是“”；第48颗珠子是“”。 15．学校艺术节挂气球，气球按“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的规律排列，第32个气球是什么颜色？ 【答案】第32个气球是紫色。 【分析】由题意可得，气球按照“红、紫、紫、黄、蓝、蓝”的顺序，六个为一组进行有规律地排列，要知道第32个是什么颜色，可以用除法算出一共有多少组还多几个气球，多出来的几个重新的一组开始数，找到对应的颜色即可。 【详解】（组）……2（个） 按照排序，第2个是紫色，所以第32个气球是紫色。 答：第32个气球是紫色。 16．2023年父亲节（6月18日）是星期日，7月8日是星期几？（6月有30天，7月有31天） 【答案】星期六 【分析】先求出6月18日到7月8日的天数，再除以7，根据余数即可求解。 【详解】30－18＝12（天） （12＋8）÷7 ＝20÷7 ＝2（星期）……6（天） 所以7月8日是星期六。 答：7月8日是星期六。 【点睛】解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答。 17．元旦要到了，同学们准备用36只灯笼布置教室。如果按“2红1黄”的规律排列，应该准备多少只红灯笼和多少只黄灯笼？ 【答案】24只；12只 【分析】根据题意，一个循环的顺序为“2红1黄”，共有：2＋1＝3（只），3只为一组，一共有36÷3＝12（组），12组中红灯笼共有12×2＝24（只），用灯笼总数量减去红灯笼的数量，即可求出黄灯笼的数量，据此解答即可。 【详解】2＋1＝3（只） 36÷3＝12（组） 12×2＝24（只） 36－24＝12（只） 答：应该准备24只红灯笼和12只黄灯笼。 18．星期天，小东和小丽从一楼出发比赛爬楼梯，小东跑到四楼时，小丽恰好跑到三楼。照这样的速度，小东跑到十六楼时，小丽跑到几楼？ 【答案】11楼 【分析】小东跑到四楼时，小丽恰好跑到三楼，那么小东跑了4－1＝3（层），小丽跑了3－1＝2（层）；当小东跑道十六楼时，小东跑了16－1＝15（层），15÷3＝5，也就是小东跑了5个3层，那么小丽也跑了5个2层，再加上1，就是小丽此时跑到的楼数。 【详解】4－1＝3（层） 3－1＝2（层） 16－1＝15（层） 15÷3×2 ＝5×2 ＝10（层） 10＋1＝11（楼） 答：小东跑到十六楼时，小丽跑到11楼。 【点睛】解答本题的关键是明确楼层间隔数＝楼数－1。 19．有26名学生排成一排，如图按2名男生、1名女生，且5名站着、1名坐着的规律进行排列。第26名学生是男生还是女生？是站着的还是坐着的？ 【答案】男生；是站着的 【分析】判断是男生还是女生时，根据条件，3人为一组，先用26除以3，算出商和余数；看余数是几，余数是1或2，第26名学生是男生，没有余数，第26名学生是女生。 判断是站着的还是坐着的时，根据条件，6人为一组，先用26除以6，算出商和余数；看余数是几，余数是1、2、3、4或5，第26名学生是站着的，没有余数，第26名学生是坐着的。 【详解】2＋1＝3（名） 26÷3＝8（组）……2（名） 5＋1＝6（名） 26÷6＝4（组）……2（名） 答：第26名学生是男生，是站着的。 【点睛】此题主要考查的是100以内有余数除法的应用，要熟练掌握方法。 20．超市棒棒糖专柜按下面的规律摆放了30根棒棒糖。最后一根是什么口味？ 【答案】草莓味 【分析】观察题图可知，专柜按苹果味、草莓味、菠萝味、桃子味的顺序摆棒棒糖，也就是每4根棒棒糖为一组，循环排列，摆了30根。要求最后一根是什么口味，即第30根是什么口味，就看30里面有几个4，用除法计算，（组）………2（根）。余数是2，说明第30根是第8组的第2根，是草莓味。 【详解】（组）……2（根） 口答：最后一根是草莓味。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $