单元培优讲义：三角形、平行四边形和梯形（知识点精讲+重难点例题+举一反三提升练习）-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

2025-2026 学年四年级下册数学苏教版单元培优讲义 《三角形、 平行四边形和梯形》 【知识点精讲+重难点例题+举一反三提升练习】 编者的话 同学们好！在之前的图形学习中，我们已经认识了线段、角以及长方形、正方形等基本图形。从本讲开始，我们将进入一个更丰富的平面图形世界——《三角形、平行四边形和梯形》。这三种图形在我们的生活中无处不在，比如屋顶的钢架是三角形，伸缩门是由平行四边形组成的，水渠的横截面常常是梯形。本讲义将带领大家系统地认识这些图形的特征、性质和分类。我们将重点探究三角形的稳定性、平行四边形的易变性以及它们的高和底的画法。希望大家在学习过程中，多动手操作，多观察比较，理解图形之间的联系与区别，为后续学习图形的面积计算打下坚实的基础。 知识点精讲 一、三角形 (1) 三角形的概念及表示方法 ① 三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的图形叫做三角形。 ② 三角形的特征： 有3条边、3个角、3个顶点 三角形具有稳定性 ③ 三角形的表示方法： 用三个大写字母表示，如△ABC 读作"三角形ABC" (2) 三角形的高及画法 ① 高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 ② 高的画法： 确定底边和对应的顶点 用三角板的直角边与底边重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：每个三角形都有3条高。 (3) 三角形的稳定性及应用 ① 稳定性特征：三角形具有稳定性，不易变形。 ② 实际应用： 建筑中的三角形支架 桥梁结构 自行车架 照相机三脚架 (4) 三角形三边关系 ① 三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ② 判断方法： 较短两边之和＞最长边 两边之差＜第三边＜两边之和 (5) 三角形的内角和 ① 内角和定理：三角形的内角和等于180°。 ② 验证方法： 量角器测量三个内角 剪拼法：将三个角剪下拼成平角 折叠法：将三个角折向同侧 (6) 三角形的分类 ① 按角分类： 锐角三角形：三个角都是锐角（＜90°） 直角三角形：有一个角是直角（=90°） 钝角三角形：有一个角是钝角（＞90°） ② 按边分类： 不等边三角形：三条边都不相等 等腰三角形：有两条边相等 等边三角形：三条边都相等 (7) 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ① 等腰三角形特征： 两条腰相等 两个底角相等 是轴对称图形，有一条对称轴 ② 等边三角形特征： 三条边都相等 三个角都相等，每个角都是60° 是轴对称图形，有3条对称轴 等边三角形是特殊的等腰三角形 二、平行四边形 (1) 平行四边形的概念及特点 ① 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ② 基本特征： 有4条边、4个角 两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等 邻角互补（和为180°） 对角线互相平分 (2) 平行四边形的不稳定性及应用 ① 不稳定性特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性。 ② 实际应用： 伸缩门 升降架 活动衣架 可调节支架 (3) 平行四边形的高及画法 ① 高的定义：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 ② 高的画法： 确定底边 用三角板的直角边与底边重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：平行四边形有无数条高，但只有两组不同的高。 三、梯形 (1) 梯形的概念及特点 ① 梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 ② 基本特征： 有4条边、4个角 只有一组对边平行（平行的两边叫做底） 不平行的两边叫做腰 两底之间的距离叫做高 (2) 梯形的高及画法 ① 高的定义：从梯形上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 ② 高的画法： 确定上底和下底 用三角板的直角边与下底重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 (3) 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 ① 直角梯形： 定义：有一个角是直角的梯形 特征：有两个角是直角，且互相相邻 高：垂直于底边的腰就是梯形的高 ② 等腰梯形： 定义：两腰相等的梯形 特征： 两腰相等 同一底上的两个角相等 是轴对称图形，有一条对称轴 对角线相等 四、图形的画法总结 (1) 三角形的画法 ① 一般三角形： 确定三个顶点位置 依次连接三个顶点 检查是否满足三角形特征 ② 特殊三角形： 等腰三角形：先画底边，再确定两腰相等 等边三角形：三条边长度相等 (2) 平行四边形的画法 ① 方法一（利用平行线）： 画一条线段作为底边 在底边两端点分别作平行线 在平行线上截取相等长度 连接对应点 ② 方法二（利用对边相等）： 画一组对边 画另一组对边，长度相等且平行 (3) 梯形的画法 ① 一般梯形： 画两条平行线作为上下底 连接上下底的端点作为两腰 ② 特殊梯形： 直角梯形：确保有一个角是直角 等腰梯形：确保两腰长度相等 五、图形特征对比 图形 边的特征 角的特征 对称性 稳定性 三角形 3条边，任意两边之和大于第三边 内角和180° 等腰：1条对称轴等边：3条对称轴 稳定 平行四边形 两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等 中心对称 不稳定 梯形 只有一组对边平行 无特殊要求 等腰梯形有1条对称轴 不稳定 六、学习要点总结 (1) 核心概念掌握 准确理解各种图形的定义和特征 掌握图形的表示方法和专业术语 理解图形之间的联系和区别 (2) 空间观念培养 通过观察、操作建立图形表象 发展几何直观和空间想象能力 培养用数学语言描述图形特征的能力 (3) 实际应用能力 能在生活中识别各种图形 理解图形特征在实际中的应用 培养解决实际问题的几何思维 重难点例题 【典型例题1】 有两根长度分别是 3 厘米和 7 厘米的小棒，如果再找一根小棒和它们围成一个三角形，那么这根小棒最长是　 　厘米；如果是围成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长是　 　厘米。(填整厘米数) 【答案】9；17 【解析】【解答】解：3＋7-1=9（厘米）； 7×2＋3=17（厘米）。 故答案为：9；17。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形第三条边最长=任意两边的和-1，三角形第三条边最短=任意两边的差＋1（三角形各条边的长度取整数）。 这个等腰三角形的周长=腰长×2＋底边长。 【跟踪练习1】 曲米有两根小棒，一根长20厘米，另一根长15厘米，他想再找一根小棒摆成一个三角形，他找的这根小棒最长是　 　厘米，最短是　 　厘米。(小棒长为整厘米数) 【典型例题2】 分别以给出的线段为图形的一部分，补全图①中的平行四边形和图②中的梯形。 【答案】解： 【解析】【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；据此画图。 【跟踪练习2】 在下面的方格图中分别画高为4厘米的一个平行四边形和一个梯形。（每个小方格的边长为1厘米） 【典型例题3】 如图是一个平行四边形沿对角线向上折叠后的图形，已知∠1=65°，∠2=115°，求∠5的度数。 【答案】解：∠4=∠1=65° ∠3=180°-∠2=180°-115°=65° ∠5 = 180°-∠3-∠4 = 180°-65°-65° =115°-65° =50° 答：∠5 的度数为50°。 【解析】【分析】∠5 的度数=三角形的内角和-∠3-∠4，其中，∠4=∠1=65°，∠3=平角-∠2，平角=180°。 【跟踪练习3】 如图所示，∠ ，求∠5 的度数。 举一反三提升练习 一、选择题 1．下面说法错误的是（    ）。 A．平行四边形的四条边确定了，它的形状就确定了。 B．长方形是特殊的平行四边形。 C．平行四边形和梯形都有无数条高。 D．长方形相邻的两条边互相垂直。 2．如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果点C沿着BC所在直线慢慢向左移动，与点B重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→三角形 B．梯形→三角形→平行四边形→梯形 C．梯形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 3．下面选项，图形之间的关系错误的是（    ）。 A． B． C． D． 4．聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 5．把一个平行四边形沿任意一条高剪开后拼成一个长方形，已知平行四边形的周长是40厘米，则长方形的周长（    ）。 A．小于40厘米 B．等于40厘米 C．大于40厘米 D．以上都有可能 二、填空题 6．分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 7．下面的木条框架用两手握住它相对的两个角轻轻一拉，它会变成( )。 8．将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是( )形，判断依据是( )。 9．现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 10．如下图，这个直角梯形的上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。这个梯形中的锐角是( )°。 三、判断题 11．钝角三角形中两个锐角的和大于90°；正三角形也叫等边三角形，它的三个内角都是60°。( ) 12．用3根5厘米的小棒只能围成一个三角形，4根5厘米的小棒可围成无数个形状不同的平行四边形。( ) 13．钝角三角形一定不是轴对称图形。( ) 14．把一个长方形框架拉成一个平行四边形，周长变小，面积不变。( ) 15．所有平行四边形都能分成两个完全相同的梯形。( ) 四、作图题 16．画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 17．按要求在下面的方格中画三角形。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 五、解答题 18．小华用一张长12分米、宽8分米的长方形彩纸，做成腰长3分米的等腰直角三角形彩旗，最多可以做多少面？（不允许拼接） 19．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 20．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年四年级下册数学苏教版单元培优讲义 《三角形、 平行四边形和梯形》 【知识点精讲+重难点例题+举一反三提升练习】 编者的话 同学们好！在之前的图形学习中，我们已经认识了线段、角以及长方形、正方形等基本图形。从本讲开始，我们将进入一个更丰富的平面图形世界——《三角形、平行四边形和梯形》。这三种图形在我们的生活中无处不在，比如屋顶的钢架是三角形，伸缩门是由平行四边形组成的，水渠的横截面常常是梯形。本讲义将带领大家系统地认识这些图形的特征、性质和分类。我们将重点探究三角形的稳定性、平行四边形的易变性以及它们的高和底的画法。希望大家在学习过程中，多动手操作，多观察比较，理解图形之间的联系与区别，为后续学习图形的面积计算打下坚实的基础。 知识点精讲 一、三角形 (1) 三角形的概念及表示方法 ① 三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的图形叫做三角形。 ② 三角形的特征： 有3条边、3个角、3个顶点 三角形具有稳定性 ③ 三角形的表示方法： 用三个大写字母表示，如△ABC 读作"三角形ABC" (2) 三角形的高及画法 ① 高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 ② 高的画法： 确定底边和对应的顶点 用三角板的直角边与底边重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：每个三角形都有3条高。 (3) 三角形的稳定性及应用 ① 稳定性特征：三角形具有稳定性，不易变形。 ② 实际应用： 建筑中的三角形支架 桥梁结构 自行车架 照相机三脚架 (4) 三角形三边关系 ① 三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ② 判断方法： 较短两边之和＞最长边 两边之差＜第三边＜两边之和 (5) 三角形的内角和 ① 内角和定理：三角形的内角和等于180°。 ② 验证方法： 量角器测量三个内角 剪拼法：将三个角剪下拼成平角 折叠法：将三个角折向同侧 (6) 三角形的分类 ① 按角分类： 锐角三角形：三个角都是锐角（＜90°） 直角三角形：有一个角是直角（=90°） 钝角三角形：有一个角是钝角（＞90°） ② 按边分类： 不等边三角形：三条边都不相等 等腰三角形：有两条边相等 等边三角形：三条边都相等 (7) 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ① 等腰三角形特征： 两条腰相等 两个底角相等 是轴对称图形，有一条对称轴 ② 等边三角形特征： 三条边都相等 三个角都相等，每个角都是60° 是轴对称图形，有3条对称轴 等边三角形是特殊的等腰三角形 二、平行四边形 (1) 平行四边形的概念及特点 ① 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ② 基本特征： 有4条边、4个角 两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等 邻角互补（和为180°） 对角线互相平分 (2) 平行四边形的不稳定性及应用 ① 不稳定性特征：平行四边形容易变形，具有不稳定性。 ② 实际应用： 伸缩门 升降架 活动衣架 可调节支架 (3) 平行四边形的高及画法 ① 高的定义：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 ② 高的画法： 确定底边 用三角板的直角边与底边重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：平行四边形有无数条高，但只有两组不同的高。 三、梯形 (1) 梯形的概念及特点 ① 梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 ② 基本特征： 有4条边、4个角 只有一组对边平行（平行的两边叫做底） 不平行的两边叫做腰 两底之间的距离叫做高 (2) 梯形的高及画法 ① 高的定义：从梯形上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 ② 高的画法： 确定上底和下底 用三角板的直角边与下底重合 沿着三角板的另一条直角边画垂线 标出直角符号和高 ③ 高的数量：梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 (3) 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 ① 直角梯形： 定义：有一个角是直角的梯形 特征：有两个角是直角，且互相相邻 高：垂直于底边的腰就是梯形的高 ② 等腰梯形： 定义：两腰相等的梯形 特征： 两腰相等 同一底上的两个角相等 是轴对称图形，有一条对称轴 对角线相等 四、图形的画法总结 (1) 三角形的画法 ① 一般三角形： 确定三个顶点位置 依次连接三个顶点 检查是否满足三角形特征 ② 特殊三角形： 等腰三角形：先画底边，再确定两腰相等 等边三角形：三条边长度相等 (2) 平行四边形的画法 ① 方法一（利用平行线）： 画一条线段作为底边 在底边两端点分别作平行线 在平行线上截取相等长度 连接对应点 ② 方法二（利用对边相等）： 画一组对边 画另一组对边，长度相等且平行 (3) 梯形的画法 ① 一般梯形： 画两条平行线作为上下底 连接上下底的端点作为两腰 ② 特殊梯形： 直角梯形：确保有一个角是直角 等腰梯形：确保两腰长度相等 五、图形特征对比 图形 边的特征 角的特征 对称性 稳定性 三角形 3条边，任意两边之和大于第三边 内角和180° 等腰：1条对称轴等边：3条对称轴 稳定 平行四边形 两组对边分别平行且相等 两组对角分别相等 中心对称 不稳定 梯形 只有一组对边平行 无特殊要求 等腰梯形有1条对称轴 不稳定 六、学习要点总结 (1) 核心概念掌握 准确理解各种图形的定义和特征 掌握图形的表示方法和专业术语 理解图形之间的联系和区别 (2) 空间观念培养 通过观察、操作建立图形表象 发展几何直观和空间想象能力 培养用数学语言描述图形特征的能力 (3) 实际应用能力 能在生活中识别各种图形 理解图形特征在实际中的应用 培养解决实际问题的几何思维 重难点例题 【典型例题1】 有两根长度分别是 3 厘米和 7 厘米的小棒，如果再找一根小棒和它们围成一个三角形，那么这根小棒最长是　 　厘米；如果是围成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长是　 　厘米。(填整厘米数) 【答案】9；17 【解析】【解答】解：3＋7-1=9（厘米）； 7×2＋3=17（厘米）。 故答案为：9；17。 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形第三条边最长=任意两边的和-1，三角形第三条边最短=任意两边的差＋1（三角形各条边的长度取整数）。 这个等腰三角形的周长=腰长×2＋底边长。 【跟踪练习1】 曲米有两根小棒，一根长20厘米，另一根长15厘米，他想再找一根小棒摆成一个三角形，他找的这根小棒最长是　 　厘米，最短是　 　厘米。(小棒长为整厘米数) 【答案】34；6 【解析】【解答】解：20-15＜第三边＜20+15， 这根小棒最长是34厘米，最短是6厘米。 故答案为：34；6。 【分析】 此题主要考查了三角形的三边关系，在三角形中，第三边需满足：两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边；结合题目中“最长”和“最短”的要求，需分别计算第三边的最大值和最小值，且长度为整数。 【典型例题2】 分别以给出的线段为图形的一部分，补全图①中的平行四边形和图②中的梯形。 【答案】解： 【解析】【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；据此画图。 【跟踪练习2】 在下面的方格图中分别画高为4厘米的一个平行四边形和一个梯形。（每个小方格的边长为1厘米） 【答案】解： 【解析】【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；从平行四边形底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高。从梯形底边上的一点向对边顶点作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是梯形的高。则两底之间的距离是4格，据此画图。 【典型例题3】 如图是一个平行四边形沿对角线向上折叠后的图形，已知∠1=65°，∠2=115°，求∠5的度数。 【答案】解：∠4=∠1=65° ∠3=180°-∠2=180°-115°=65° ∠5 = 180°-∠3-∠4 = 180°-65°-65° =115°-65° =50° 答：∠5 的度数为50°。 【解析】【分析】∠5 的度数=三角形的内角和-∠3-∠4，其中，∠4=∠1=65°，∠3=平角-∠2，平角=180°。 【跟踪练习3】 如图所示，∠ ，求∠5 的度数。 【答案】解： 答：∠5 的度数是130°。 【解析】【分析】这是个等腰三角形，两个底角度数相等。用三角形内角和减去80°再除以2即可求出大三角形一个底角的度数，∠2、∠4的度数和刚好是大三角形一个底角的度数，因此用三角形内角和减去∠2、∠4的度数和即可求出∠5度数。 举一反三提升练习 一、选择题 1．下面说法错误的是（    ）。 A．平行四边形的四条边确定了，它的形状就确定了。 B．长方形是特殊的平行四边形。 C．平行四边形和梯形都有无数条高。 D．长方形相邻的两条边互相垂直。 【答案】A 【分析】平行四边形具有不稳定性，其高是两组对边之间的垂线段；长方形的对边平行且相等，相邻的两条边互相垂直；梯形的高是两底之间的垂线段，逐一分析选项判断正误，即可解答。 【详解】A．平行四边形具有不稳定性，四条边确定后，它的形状仍可以改变（比如拉伸变形），因此该说法错误。 B．长方形满足平行四边形对边平行且相等的特征，同时四个角都是直角，所以长方形是特殊的平行四边形，该说法正确。 C．平行四边形的高是两组对边之间的垂线段，梯形的高是两底之间的垂线段，两者都有无数条高，该说法正确。 D．长方形的四个角都是直角，所以相邻的两条边互相垂直，该说法正确。 故答案为：A 2．如下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果点C沿着BC所在直线慢慢向左移动，与点B重合后停止移动，这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→三角形 B．梯形→三角形→平行四边形→梯形 C．梯形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 【答案】D 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。据此分析解题即可。 【详解】根据题意，在四边形ABCD中，如果点C沿着BC所在直线慢慢向左移动，一开始线段AB和线段DC不相等，图形是梯形。当线段AB和线段DC相等并且一个倾斜方向时，同时AD和BC相等时，图形是平行四边形。点C再继续移动，线段AB和线段DC不相等，图形是梯形。当点C与点B重合后，图形是三角形。所以这个图形的变化过程是梯形→平行四边形→梯形→三角形。 故答案为：D 3．下面选项，图形之间的关系错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A中垂直是相交的特殊情况，关系正确；选项B中平行四边形和梯形是并列的两类四边形，关系正确；选项C中梯形与平行四边形互斥，不存在包含关系，图中关系错误；选项D中正方形属于长方形、长方形属于平行四边形，关系正确。据此解答。 【详解】A．垂直是相交的特殊情况（夹角为90°），包含关系正确。 B．平行四边形和梯形是两类独立的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行），二者无包含关系，图中并列关系正确。 C．梯形和平行四边形是互斥的两类四边形，不存在包含关系，图中把梯形画入平行四边形内，关系错误。 D．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，包含关系正确。 故答案为：C 4．聪聪有两根小棒，他想把其中的一根沿着整厘米刻度线剪一刀，哪种剪法可以围成一个三角形（    ）。（长度：厘米） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对每个选项中三根小棒的长度进行分析判断，看是否能围成三角形。 【详解】A．将8厘米的小棒剪成1厘米和7厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、7厘米、5厘米。两边之和：1＋5＝6（厘米），6厘米＜7厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，A选项错误。 B．将8厘米的小棒剪成6厘米和2厘米两段，此时三根小棒长度分别为6厘米、2厘米、5厘米。2＋5＞6，2＋6＞5，6＋5＞2，所以能围成三角形，B选项正确。 C．将5厘米的小棒剪成2厘米和3厘米两段，此时三根小棒长度分别为8厘米、2厘米、3厘米。两边之和：2＋3＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，C选项错误。 D．将5厘米的小棒剪成1厘米和4厘米两段，此时三根小棒长度分别为1厘米、4厘米、8厘米。两边之和：1＋4＝5（厘米），5厘米＜8厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，所以不能围成三角形，D选项错误。 故答案为：B 5．把一个平行四边形沿任意一条高剪开后拼成一个长方形，已知平行四边形的周长是40厘米，则长方形的周长（    ）。 A．小于40厘米 B．等于40厘米 C．大于40厘米 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】如下图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，且长方形的宽小于平行四边形的斜边。 平行四边形的周长由两条底边和两条斜边组成，长方形的周长由两条长边和两条宽边组成，据此得出长方形的周长小于平行四边形的周长。 【详解】如图： 长方形的周长＝（长＋宽）×2，平行四边形的周长＝（底边＋斜边）×2 长方形的长＝平行四边形的底，长方形的宽＝平行四边形的高，因为平行四边形的高小于斜边，所以长方形的宽＜平行四边形的斜边；由此得出长方形的周长＜平行四边形的周长。 平行四边形的周长是40厘米，则长方形的周长小于40厘米。 故答案为：A 二、填空题 6．分一分。（填序号） (1)锐角三角形有：( )。 (2)钝角三角形有：( )。 (3)直角三角形有：( )。 【答案】(1)①②④ (2)③⑦⑨ (3)⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据三角形的分类：锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°）的三角形；直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形。 据此解答。 【详解】（1）根据分析可知： 锐角三角形有：①②④ （2）根据分析可知： 钝角三角形有：③⑦⑨ （3）根据分析可知： 直角三角形有：⑤⑥⑧⑩ 7．下面的木条框架用两手握住它相对的两个角轻轻一拉，它会变成( )。 【答案】平行四边形 【分析】木条框架用两手握住它相对的两个角轻轻一拉，改变了四个角的度数，对边平行关系没变，所以变成了平行四边形。 【详解】根据分析可知： 下面的木条框架用两手握住它相对的两个角轻轻一拉，它会变成平行四边形。 8．将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是( )形，判断依据是( )。 【答案】 梯 这个四边形只有一组对边平行，符合梯形的特征 【分析】根据梯形只有一组对边互相平行，长方形四个角为直角且对边相等、平行，长方形和一个三角形交叉摆放，重叠部分的四边形上下两条边是长方形的对边，互相平行，由此判断出重叠部分的四边形是梯形。 【详解】将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是梯形，判断依据是这个四边形只有一组对边平行，符合梯形的特征。 9．现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 【答案】 4 5 7 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，即可解答。 【详解】要使周长最长，首先选5厘米、7厘米、12厘米的三根小棒，但是不满足任意两边之和大于第三边，因此不能选12厘米；即应选择4厘米、5厘米、7厘米这三根小棒。 故要使它的周长最长，应选择4厘米、5厘米和7厘米长的小棒。 10．如下图，这个直角梯形的上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。这个梯形中的锐角是( )°。 【答案】45 【分析】直角梯形有两个直角，过上底的一个顶点作下底的垂线，可将直角梯形分成一个矩形和一个直角三角形。已知上底为5分米，下底为10分米，高为5分米，下底与上底的差就是直角三角形的一条直角边，另一条直角边为梯形的高，根据等腰直角三角形的性质可求出锐角的度数。 【详解】在直角梯形中，有两个角是直角（90°）。已知上底为5分米，下底为10分米，高为5分米。过上底的一个端点作高，可将梯形分成一个矩形和一个直角三角形，其中直角三角形的一条直角边为高（5分米），另一条直角边为下底与上底的差（分米）。 在这个直角三角形中，两条直角边相等，所以它是等腰直角三角形，其锐角为45°，即梯形中的锐角为45°。 三、判断题 11．钝角三角形中两个锐角的和大于90°；正三角形也叫等边三角形，它的三个内角都是60°。( ) 【答案】× 【分析】三角形的内角和为180°，钝角三角形中有一个钝角，钝角大于90°，因此其余两个锐角的和等于180°减去钝角，所以两个锐角的和小于90°。等边三角形的特点，等边三角形又叫正三角形，三个内角都是60°。 【详解】根据分析得出： 钝角三角形中两个锐角的和大于90°，此说法是错误的； 正三角形也叫等边三角形，它的三个内角都是60°，此说法是正确的。 故答案为：× 12．用3根5厘米的小棒只能围成一个三角形，4根5厘米的小棒可围成无数个形状不同的平行四边形。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两条边之和大于第三边，因此，用3根长度均为5厘米的小棒能围成三角形。另外，再根据三角形的稳定性，当三边长度固定时，三角形的形状和大小唯一确定。根据平行四边形的不稳定性，当四边长度固定且相等时，可以围成无数个形状不同的平行四边形。 【详解】根据分析，用3根5厘米的小棒围成三角形时，三边长度相等，只能围成一个形状唯一的等边三角形。用4根5厘米的小棒围成平行四边形时，所有边长度相等，可围成无数个形状不同的平行四边形。 故答案为：√ 13．钝角三角形一定不是轴对称图形。( ) 【答案】× 【分析】某个图形沿一条直线对折后，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。当一个钝角三角形为等腰三角形（如顶角为钝角，两底角相等）时，它有一条对称轴（从钝角顶点到底边中点的垂线），则它属于轴对称图形，据此解答。 【详解】当一个钝角三角形同时也是等腰三角形时，设三个角分别为120°、30°、30°，沿从120°顶点到底边中点的直线对折，两边能够完全重合，它是轴对称图形。当一个钝角三角形，但不是等腰三角形时，设三个角分别为110°、40°、30°，无论沿着哪条线对折，两边都不能重合，则它不是轴对称图形。所以钝角三角形不一定是轴对称图形，原题说法错误。 故答案为：× 14．把一个长方形框架拉成一个平行四边形，周长变小，面积不变。( ) 【答案】 × 【分析】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，四条边的长度没有改变，因此周长不变。长方形的面积等于长乘宽，平行四边形的面积等于底乘高。拉成平行四边形后，底与长方形的长相等，但高小于长方形的宽，因此面积变小。 【详解】由分析可知，周长不变，面积变小。 故答案为：× 15．所有平行四边形都能分成两个完全相同的梯形。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，有两组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。依据平行四边形、梯形的意义及特征，两个梯形的形状和大小完全相同，它们可以通过平移、旋转完全重合。所有平行四边形都能被分成两个完全相同的梯形，题目说法正确。 【详解】根据分析可知： 所有平行四边形都能分成两个完全相同的梯形。原题说法正确。 故答案为：√ 四、作图题 16．画一画（小方格的边长表示1厘米）。 （1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形。 （2）在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）绘制上底为4厘米、下底为6厘米的梯形：在方格纸上先确定梯形的上下两条水平线。在上边线上量取4格（表示4厘米），在下边线上量取6格（表示6厘米）。连接上下边线两侧的端点，即可得到一个梯形。 （2）绘制“高比对应的底少2厘米”的平行四边形：先在方格纸上画出一条水平线作为底边，设定长度为B格。因为高比底少2厘米，所以高＝B－2（格）。在底边上方竖直向上量出（B－2）格，再画一条与底边等长（B格）且平行的线段作为顶边。将顶边与底边的左右端点用斜线相连，即可得到一个平行四边形。 【详解】（1）在方格图中画一个上底为4厘米，下底为6厘米的梯形如下： （2）5－2＝3（厘米） 在方格图中画一个高比对应的底少2厘米的平行四边形（底是5厘米，高是3厘米）如下： （画法不唯一） 17．按要求在下面的方格中画三角形。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）既是等腰三角形，又是锐角三角形，三角形中有两条边长度相等，三个内角都是锐角； （2）既是等腰三角形，又是直角三角形，三角形中有两条边长度相等，有一个内角是直角，直角是等腰三角形的顶角； （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形，三角形中有两条边长度相等，有一个内角是钝角，钝角是等腰三角形的顶角，据此画图。 【详解】根据分析画图如下： 五、解答题 18．小华用一张长12分米、宽8分米的长方形彩纸，做成腰长3分米的等腰直角三角形彩旗，最多可以做多少面？（不允许拼接） 【答案】16面 【分析】两个直角边为3分米的等腰直角三角形彩旗可拼成一个边长3分米的正方形；先看长方形彩纸的长和宽分别能容纳多少个3分米的边长，据此算出能做多少个边长3分米的正方形，再乘2，就能得到等腰直角三角形彩旗的数量。 【详解】12÷3＝4（个） 8÷3＝2（个）……2（分米） 2×4×2＝16（面） 答：最多可以做16面。 19．小区里有一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度是140厘米和60厘米，现在要在广告牌的四周钉一圈铝条，至少需要多少厘米的铝条？如果每米铝条的成本是65元，这块广告牌围一圈铝条需要多少钱？（不考虑接合处损耗） 【答案】 400厘米；260元 【分析】根据题意，平行四边形的相邻两边的长度分别为140厘米和60厘米，根据平行四边形的周长等于相邻两边的长度之和乘2，即可求得平行四边形的广告牌的长度，即为铝条长度。先将铝条长度转换为米，再用铝条长度乘每米铝条的成本65元，即可得出总成本。 【详解】（140＋60）×2 ＝200×2 ＝400（厘米） 1米＝100厘米，所以400厘米＝4米； 4×65＝260（元） 答：至少需要400厘米的铝条，这块广告牌围一圈铝条需要260元。 20．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【点睛】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $