第9卷 平面向量与复数（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是( 　) A． B． C． D． 3．（   ） A． B．0 C． D． 4．设复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则其共轭复数（   ） A． B． C． D． 6．若为纯虚数，则实数的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 7．若复数满足，则（ ） A．1 B．5 C．7 D．25 8．设复数则（    ） A． B． C． D． 9．复数范围内的解是（    ） A． B． C． D． 10．已知平面向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．若，，，则（    ） A． B． C． D． 12．在平行四边形中，，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．下列各组向量中，可以作为基底向量的是（     ） A． B． C． D． 14．设是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 16．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 19．设向量，，则（    ） A．20 B．0 C． D． 20．设向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 22．向量，若，则实数________. 23．四边形满足，且，则四边形是___________（填四边形的形状）. 24．若复数是纯虚数，则实数的值为_____________． 25．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 三、解答题 26．已知向量，． (1)求的值； (2)若与共线，求实数的值． 27．已知，与的夹角为，．求： (1)当为何值时，与垂直？ (2)当为何值时，与共线？ 28．已知向量，求 (1)； (2) 29．已知复数满足，且复数为纯虚数. (1)求； (2)若的实部小于零，且是关于的方程的根，求的值. 30．已知复数． (1)当复数是纯虚数时，求实数的值； (2)若复数对应的点在直线上，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】在网格中建立坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立坐标系，如图所示： 由图可知：， 所以， 因此， 故选：A． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是( 　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标运算列式求解值． 【详解】若， 则，解得， 故选：D． 3．（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 4．设复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数在复平面的坐标写出复数，再根据复数的运算求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以. 故选：D. 5．若复数满足，则其共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等式求出复数，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】因为，所以， 所以所求共轭复数为， 故选：B. 6．若为纯虚数，则实数的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可求解. 【详解】由题意得，为纯虚数. 则，且，解得. 故选：C. 7．若复数满足，则（ ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】利用复数模的概念即可求解. 【详解】因为复数满足，故， 故选：B. 8．设复数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法及减法运算法则可求解. 【详解】由题可得 . 故选：C 9．复数范围内的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程在复数范围内的求根公式求解即可. 【详解】根据一元二次方程在复数范围内的求根公式， 将，，代入可得：. 故选：A. 10．已知平面向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】已知向量，可得：， 已知，可得：， 故选：C. 11．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式求解. 【详解】已知，，， 所以， 因为，所以， 故选：C. 12．在平行四边形中，，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标表示及平面向量的相等列出方程组即可得解. 【详解】平行四边形中，，，， 设， 则， 则，解得， 所以， 故选：. 13．下列各组向量中，可以作为基底向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的定义分析求解即可. 【详解】对于选项A：，所以共线，不能作为基底； 对于选项B：，所以共线，不能作为基底； 对于选项C：，所以共线，不能作为基底； 对于选项D：，所以不共线，可以作为基底， 故选：D. 14．设是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量内积公式以及充分、必要条件求解即可. 【详解】由数量积定义知（为夹角）， 解得，所以，所以； 反之，当时，则的夹角或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．在中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算即可得解. 【详解】因为， ，所以， 所以， 又因为，所以， 故. 故选：. 16．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算求解即可； 【详解】，，则； 故选：B 17．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示来求解. 【详解】因为向量，， 可得. 故选：B. 18．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】已知平面向量，， 则. 故选：C. 19．设向量，，则（    ） A．20 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法和内积的坐标运算公式进行求解. 【详解】， . 故选：A 20．设向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线坐标表示求出答案. 【详解】因为,, 所以得. 故选:B. 二、填空题 21．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：． 22．向量，若，则实数________. 【答案】/ 【分析】根据向量线性运算的坐标表示结合向量垂直的条件列方程求解即可. 【详解】已知向量， 则， 由，得， 解得， 故答案为：. 23．四边形满足，且，则四边形是___________（填四边形的形状）. 【答案】矩形 【分析】根据相等向量的概念和矩形的判定定理即可解答. 【详解】且， 所以四边形是平行四边形， 又知，该平行四边形对角线相等， 故四边形是矩形. 故答案为：矩形. 24．若复数是纯虚数，则实数的值为_____________． 【答案】4 【分析】利用复数的运算法则化简，再根据纯虚数的特征列式易得答案. 【详解】因为， 由复数是纯虚数，所以，解得. 故答案为：4. 25．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 【答案】5 【分析】根据题意求得方程的另一虚根，结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意得，方程的另外一个虚根为. 所以，解得. 故答案为：5. 三、解答题 26．已知向量，． (1)求的值； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. （2）根据向量线性运算的坐标表示，结合向量共线即可求解. 【详解】（1）因为向量，，则， 所以； （2）因为向量，，则， ， 因为与共线，所以， 解得． 27．已知，与的夹角为，．求： (1)当为何值时，与垂直？ (2)当为何值时，与共线？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算、向量垂直以及向量内积求解即可. （2）根据向量线性运算以及向量共线定理、向量内积求解即可. 【详解】（1）因为与垂直，所以. 即， 解得. （2）因为与共线，所以存在实数，使得. 即，整理得， 所以，解得. 因此. 28．已知向量，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. （2）根据向量线性运算的坐标表示和向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为向量， 所以， 所以. 29．已知复数满足，且复数为纯虚数. (1)求； (2)若的实部小于零，且是关于的方程的根，求的值. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）根据题意结合复数的模长公式得出，利用纯虚数的定义得出即可得解. （）根据实数系一元二次方程的虚根互为共轭复数，得出另一个根为，结合韦达定理求出的值即可得解. 【详解】（1）设， 因为，则， 复数为纯虚数，则， 所以且， 由得，代入中得， 解得或， 当时，；当时，， 所以复数或. （2）的实部小于零，所以， 是关于的方程的根，则另一个根为， 由韦达定理可知，，解得； ，解得， 所以. 30．已知复数． (1)当复数是纯虚数时，求实数的值； (2)若复数对应的点在直线上，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数是纯虚数，则，即可求得m的值. （2）由复数z对应的点在直线上，则，即可求得m的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得， 所以当时，复数纯虚数． （2）由题意复数z对应的点在直线上， 则有，解得， 所以当时，复数对应的点在上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $