第9卷 平面向量与复数（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 二、复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4.在复数范围内解实系数一元二次方程 【真题精讲】 考点01 平面向量的概念及其判断 1．（2021年山东省春季高考数学真题）下列命题正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相反向量、共线向量的概念可知A、B、C错误，D正确. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误； 单位向量的模相等，它们是否相等与方向有关，故B错误； 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量，故C错误； 若//，且A点公共，则A，B，C三点共线.故D正确. 故选：D． 考点02 单位向量 2．（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： A：， 因为，故为单位向量； B：，，故不是单位向量； C：，故不是单位向量； D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A． 考点03 平面向量的线性运算及坐标运算 3．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】在网格中建立坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立坐标系，如图所示： 由图可知：， 所以， 因此， 故选：A． 4．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：． 考点04 向量平行求参数值 5．（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标运算列式求解值． 【详解】若， 则，解得， 故选：D． 考点05 数量积的运算及其应用 6．（2024年山东省春季高考数学真题），___________. 【答案】9 【分析】利用向量内积的定义即可求解. 【详解】因为， 则. 故答案为：9． 7．（2023年山东省春季高考数学真题） 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是(　　) A. B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则与向量的内积即可求解. 【详解】因为分别是的中点， 所以 故选：C． 考点06 平面向量的模长及其应用 8．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 故选：A． 考点07 复数 9．（2025年山东省春季高考数学真题）已知复数为纯虚数，则实数的值是(　　) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】∵复数为纯虚数， ∴，解得， ∴实数的值是1. 故选：B. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，是的中点，设，，则等于(　　) A. B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可求解. 【详解】由已知，可得. 故选：C． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知向量与向量的方向相反，，则等于(　　) A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】由题知两向量的夹角为，根据向量的内积的定义可求解. 【详解】因为向量与向量的方向相反， 所以它们的夹角为， 所以. 故选：C． 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积运算即可求出实数. 【详解】由已知向量， 则，所以. 故选：A． 4．（25-26·广东·职教高考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算法则计算. 【详解】，， 那么. 故选：B. 5．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意，复数的实部的概念，即可求解. 【详解】因为复数的实部是2. 故选:A. 6．（22-23高二下·四川成都·期中）已知复数，则（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的模的计算，即可求解. 【详解】， ． 故选：B． 7．（24-25高三下·河南·对口/高职单招）若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，先求得复数z的共轭复数，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以. 故选：C. 8．（25-26高三上·山东青岛·一模）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义得出相应点的坐标，列不等式组求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且该点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 9．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算求解即可. 【详解】∵复数，， ∴. 故选：C. 10．（25-26高三上·山东·三模）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由复数的乘法运算求解复数，再由模长公式计算即可. 【详解】复数， ∴. 故选：D. 11．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）在中，若，，则__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理求出，进而得到，再由内积定义即可求解. 【详解】由题意知，在中，，， 则由余弦定理可得， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 12．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知平面向量，，若，则__________. 【答案】4 【分析】根据两向量垂直，内积为0，即可求出m值. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故答案为：. 13．（25-26高三上·山东·三模）已知向量均为单位向量，且，则__________. 【答案】 【分析】利用内积的定义及运算律，可得的值，据此可求解. 【详解】由，可得， 所以. 又因为向量均为单位向量， 所以，解得， 因为，所以. 故答案为：. 14．（25-26高三上·山东济南·一模）已知向量，，若，则_______． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的坐标运算及向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得：， 所以， 所以， 故答案为：. 15．（23-24高三上·山东德州·一模）已知，若，则k值为_____________． 【答案】 【分析】由向量模长的坐标公式求出即可. 【详解】， ，解得. 故答案为：. 【拓展提升】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东·职教高考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算法则计算. 【详解】，， 那么. 故选：B. 2．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据题意，复数的实部的概念，即可求解. 【详解】因为复数的实部是2. 故选:A. 3．（22-23高二下·四川成都·期中）已知复数，则（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的模的计算，即可求解. 【详解】， ． 故选：B． 4．（24-25高三下·河南·对口/高职单招）若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，先求得复数z的共轭复数，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以. 故选：C. 5．（25-26高三上·山东青岛·一模）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义得出相应点的坐标，列不等式组求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且该点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 6．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算求解即可. 【详解】∵复数，， ∴. 故选：C. 7．（25-26高三上·山东·三模）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由复数的乘法运算求解复数，再由模长公式计算即可. 【详解】复数， ∴. 故选：D. 二、填空题 8．（24-25高三下·四川·职教高考）已知平面向量，且，则__________． 【答案】9 【分析】根据向量平行的坐标公式列式求解即可. 【详解】，且， 所以，即. 故答案为：. 9．（23-24高三下·云南·职教高考）已知向量，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知平面向量满足，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据向量数量积运算律，，，令，对平方求的范围，即可求得最大值. 【详解】因为，设 的夹角为，， 则，， 令，， 则， 因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以的最大值是， 故答案为：. 三、解答题 11．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）运用向量垂直的坐标表示列式计算即可得解. （2）运用向量平行的坐标表示求得的值，再结合向量线性运算及模的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以. 整理得，解得或. 故的值为或. （2）因为，，， 则，即，解得或， 当时，，，所以，则； 当时，，， 所以，则； 综上，的值为或. 12．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知向量． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 设向量与的夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． （2）由（1）知，， 因为向量与互相垂直， 所以， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 二、复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4.在复数范围内解实系数一元二次方程 【真题精讲】 考点01 平面向量的概念及其判断 1．（2021年山东省春季高考数学真题）下列命题正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 考点02 单位向量 2．（2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是(　　) A． B． C． D． 考点03 平面向量的线性运算及坐标运算 3．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 4．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 考点04 向量平行求参数值 5．（2023年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是(　　) A． B． C． D． 考点05 数量积的运算及其应用 6．（2024年山东省春季高考数学真题），___________. 7．（2023年山东省春季高考数学真题） 如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则的值是(　　) A. B． C． D． 考点06 平面向量的模长及其应用 8．（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A． B． C． D． 考点07 复数 9．（2025年山东省春季高考数学真题）已知复数为纯虚数，则实数的值是(　　) A．2 B．1 C．0 D． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，在中，是的中点，设，，则等于(　　) A. B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知向量与向量的方向相反，，则等于(　　) A． B．6 C． D．12 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知向量，若，则实数的值是(　　) A． B． C． D． 4．（25-26·广东·职教高考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（22-23高二下·四川成都·期中）已知复数，则（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 7．（24-25高三下·河南·对口/高职单招）若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 8．（25-26高三上·山东青岛·一模）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若复数，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东·三模）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）在中，若，，则__________. 12．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知平面向量，，若，则__________. 13．（25-26高三上·山东·三模）已知向量均为单位向量，且，则__________. 14．（25-26高三上·山东济南·一模）已知向量，，若，则_______． 15．（23-24高三上·山东德州·一模）已知，若，则k值为_____________． 【拓展提升】 一、单选题 1．（25-26·广东·职教高考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·四川·职教高考）复数的实部是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（22-23高二下·四川成都·期中）已知复数，则（   ） A．7 B．5 C．4 D．3 4．（24-25高三下·河南·对口/高职单招）若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 5．（25-26高三上·山东青岛·一模）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若复数，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东·三模）已知复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 8．（24-25高三下·四川·职教高考）已知平面向量，且，则__________． 9．（23-24高三下·云南·职教高考）已知向量，，，则__________． 10．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知平面向量满足，则的最大值是__________. 三、解答题 11．（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 12．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知向量． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $