第8卷 正、余弦定理（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 考点02 正弦定理 2．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 考点03 正、余弦定理的综合应用 3．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求； （2）若，求. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 2．（21-22高三·山东·职教高考）在中，已知，，，则_________. 3．（25-26高三上·山东·一模）已知锐角的面积为，，，则角_________. 4．（25-26高三上·山东潍坊·一模）内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________. 5．（14-15高三·重庆·职教高考）在中，，若的面积为，则_________. 6．（25-26高三上·山东·二模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 7．（25-26高三上·山东济南·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求b． 8．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于，求的最小值. 9．（2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知，点在上，，以点A为圆心，半径为的圆与相交于点B，C，且. （1）求的大小； （2）若D为的中点，求线段的长.（精确到） 10．（20-21高三·浙江·职教高考）在中，已知 (1)求； (2)设为等腰三角形，且，求. 【拓展提升】 一、单选题 1．（22-23高三·云南·职教高考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知的内角所对的边为，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）在中，分别为的对边，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．（22-23高三下·甘肃·职教高考）△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 7．（23-24高三下·重庆·职教高考）在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东·一模）在中，若，则边的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 9．（21-22高三下·天津·职教高考）在中，若，，，则________． 10．（22-23高三下·天津·职教高考）在中，角的对边分别为，已知，则角_______． 三、解答题 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）在中，分别为内角所对的边，若，求的面积． 12．（23-24高三下·浙江·职教高考）在中，已知. (1)求的长； (2)若为延长线上一点，且的面积为，求的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】因为在中，， 所以 ， 所以， 故答案为：. 考点02 正弦定理 2．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 【答案】（1） （2）图象见解析 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据五点作图法即可求解. 【详解】解：（1）在中，， 则. 因为， 所以或. 因为， 所以． （2）由（1）可知，． 列表如下： 0 0 3 0 0 描点作图，得函数在上的图像如图所示： .. 考点03 正、余弦定理的综合应用 3．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】解：(1)由正弦定理可知：， 即，解得 (2)因为，，所以， 因为，所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 2．（21-22高三·山东·职教高考）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 3．（25-26高三上·山东·一模）已知锐角的面积为，，，则角______． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式求解即可. 【详解】∵锐角的面积为，，， ∴，则， ∵是锐角三角形，则． 故答案为：. 4．（25-26高三上·山东潍坊·一模）内角，，的对边分别为，，，若，，，则_____. 【答案】 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】已知，，， 由正弦定理得，即， 得. 故答案为：. 5．（14-15高三·重庆·职教高考）在中，，若的面积为，则______． 【答案】 【分析】根据题意，结合三角形的面积公式，先求出的长度，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，，的面积为， 所以， 所以, 所以， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高三上·山东·二模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可得解； （2）由正、余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 则， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 可得， 即，解得或（舍去）. 由三角形的面积公式可得， 因此，的面积为. 7．（25-26高三上·山东济南·一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求b． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理及余弦定理求出的值即可得解. （）根据题意结合正弦定理及三角形面积公式求出的值，代入余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以. （2）因为， 由正弦定理得，即， 又因为， 解得，则， 由余弦定理得， 所以. 8．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【详解】解：（1）因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； （2）由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 9．（2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知，点在上，，以点A为圆心，半径为的圆与相交于点B，C，且. （1）求的大小； （2）若D为的中点，求线段的长.（精确到） 【答案】（1） （2） 【分析】(1)过点A作垂直于于，由已知可求，在中可求解； (2)在中利用余弦定理可求解. 【详解】解：（1） (如上图)过点A作垂直于于， 因为，且， 故 又， ； （2）由(1)知， , 为的中点,, 由余弦定理可知, 解得. 10．（20-21高三·浙江·职教高考）在中，已知 (1)求； (2)设为等腰三角形，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理直接求解的值即可. （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理求解边长即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 又因为， 故. （2）因为为等腰三角形，又因为， 所以，， ， 则，， 由余弦定理：， 所以. 【拓展提升】 一、单选题 1．（22-23高三·云南·职教高考）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】在中，. 由正弦定理，得：. 解得：. 故选：C. 2．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得出的比值，再由余弦定理求值即可. 【详解】在中， 已知， 由正弦定理可得， 设， 则， 因为，所以， 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】设三角形三边分别为2、3、4，则最大. 所以. 故选：B. 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知的内角所对的边为，若，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由余弦定理可得c的值. 【详解】由可得：， 代入已知数值：， 即得，. 故选：C. 5．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）在中，分别为的对边，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B. 【详解】由正弦定理可得，所以，解得， 因为，所以或， 当时，， 当时，. 故选：B. 6．（22-23高三下·甘肃·职教高考）△ABC中，三个内角之比为，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由三内角之比设出三角，再由三个内角之和为求出角即可求解. 【详解】因为，不妨设，，， 由三角形三个内角之和为可得：， 解得，则，. 故选：C. 7．（23-24高三下·重庆·职教高考）在中，内角所对应的边分别为，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理，结合同角三角函数函数的关系即可求解. 【详解】根据余弦定理得，， ， 显然，所以. 故选：D. 8．（25-26高三上·山东·一模）在中，若，则边的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】在中，若， 由余弦定理可知，， 即，解得. 故选：. 二、填空题 9．（21-22高三下·天津·职教高考）在中，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以，即， 所以. 故答案为：. 10．（22-23高三下·天津·职教高考）在中，角的对边分别为，已知，则角_______． 【答案】 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】在中，， ， ∵，∴. 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）在中，分别为内角所对的边，若，求的面积． 【答案】 【分析】利用余弦定理结合题干条件可推出，然后由三角形的面积公式求解； 【详解】在中，由及，得． 又，所以，即， 所以． 12．（23-24高三下·浙江·职教高考）在中，已知. (1)求的长； (2)若为延长线上一点，且的面积为，求的长. 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）由题意根据余弦定理求出的长即可； （2）根据三角恒等变换求出，再由三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，已知 由余弦定理得 （2） ， ，且为锐角， ，又， ， 由倍角公式得， 所以， 因为，所以， 所以， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $