第7卷 三角函数的图像与性质（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 二、余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01三角函数的值域 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是( 　) A． B． C．0 D．5 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 考点02三角函数的奇偶性、周期性 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是(　　) A． B． C． D． 4．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是( 　) A．3 B．4 C．5 D．6 考点03三角函数图像的性质及其应用 5．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 2．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为D．的值为 4．（25-26高三上·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值是_________． 5．（24-25高三下·江西·职教高考）已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 6．（25-26高三上·山东·一模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)若函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的最小值. 7．（25-26高三上·山东·一模）已知函数． (1)求的最小正周期及最大值； (2)若，且，求的值． 8．（21-22高三·山东·一模）已知函数，该函数的部分图像如图所示. (1)求此函数的最小正周期及的值； (2)将函数的图像向左平移个单位得到的图像对应的函数为，求的最大值及此时的取值集合. 【拓展提升】 一、选择题 1．（24-25高三下·江西·职教高考）函数的最小正周期为（　） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏常州·对口/高职单招）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·云南·职教高考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三·河南·一模）函数的最大值是3，则它的最小值是（ ） A．0 B．1 C． D．与有关 5．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）已知函数相邻两条对称轴间的距离是，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）关于函数的周期性．下列说法中错误的是（    ） A．是以为周期的周期函数 B．是以为周期的周期函数 C．是以为周期的周期函数 D．不是周期函数 二、填空题 8．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_________． 9．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）函数的值域为_________． 10．（18-19高三下·黑龙江·对口/高职单招）已知，则的取值范围是_________． 三、解答题 11．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（，）的部分图象如图所示.    (1)求函数的最小正周期T； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 二、余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01三角函数的值域 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是( 　) A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】令，使用换元法进行求解即可. 【详解】令，当时，， 则， 由二次函数可知，其函数图像开口向上，对称轴为， 所以当，函数单调递减， 所以当时，取最小值， 所以当，即时， 函数的最小值为， 故选：B. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的取值范围，再求解不等式即可求解A的取值范围. 【详解】因为，所以， 则由得，， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点02三角函数的奇偶性、周期性 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式和周期公式化简计算即可. 【详解】， 所以函数的周期， 故选：B. 4．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是( 　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C. 考点03三角函数图像的性质及其应用 5．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 设函数过点，代入中为： ，， 则或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 即， 所以，解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变 可得函数的图像； 再将图像向左平移，得到的图像， 又，即，解得， 所以，则. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由的图象过点求得，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式化简，进而利用正弦函数的性质即可得解. （2）由题意可，可求得，又因为，即可求解的值. 【详解】解：（1）因为的图象过点. 所以，解得， 则， 所以函数的最大值为2. （2）因为，即， 所以或， 解得或， 又因为，所以. 2．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的最大值代入求解即可. 【详解】因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为D．的值为 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像与性质分析即可. 【详解】A选项，通过图像可以看出为非奇非偶函数，A错误； B选项，通过图像可以看出的最小值为，则其最大值为，B错误； C选项，通过图像可知，得，故C正确； D选项，因为，则，故， 将代入，得，即 所以，即， 又，所以，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高三上·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的图象变换规律及三角函数的图象的对称性可求解． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数为， 因为得到的函数图象关于轴对称， 所以，，解得，， 由于， 所以，当时，有最小值. 故答案为： 5．（24-25高三下·江西·职教高考）已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【详解】（1）由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； （2）由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 6．（25-26高三上·山东·一模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)若函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用周期公式求出，进而可求的值； （2）利用函数图像平移规律可得，将当作一个整体，确定其范围后，根据正弦函数的图像和性质可求解. 【详解】（1） . 因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以， 所以； （2）因为函数的图像向右平移个单位长度，可得，且， 所以. 当，则. 根据正弦函数的图像和性质可知， 当，即时，. 7．（25-26高三上·山东·一模）已知函数． (1)求的最小正周期及最大值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)最小正周期是，最大值是. (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，利用正弦型函数的性质即可得解. （2）将代入函数解析式，结合的取值范围即可得解. 【详解】（1）函数 所以最小正周期为，最大值为. （2）因为，所以，即， 所以，解得，， 因为，所以． 8．（21-22高三·山东·一模）已知函数，该函数的部分图像如图所示. (1)求此函数的最小正周期及的值； (2)将函数的图像向左平移个单位得到的图像对应的函数为，求的最大值及此时的取值集合. 【答案】(1)； (2)2， 【分析】（1）根据即可求得正弦函数的周期，由函数图象的点代入解析式即可求出的值； （2）由（1）求得函数的解析式，再由函数的图像向左平移个单位得到函数的解析式，最后利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）函数的最小正周期； 因为图像过点，所以，即， 又因为，所以． （2）由（1）知函数的解析式为， 则图象向左平移个单位得到的解析式为， 故的最大值为2， 此时，，解得，， 因此取最大值时的取值集合为. 【拓展提升】 一、选择题 1．（24-25高三下·江西·职教高考）函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合余弦函数的周期性，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：C. 2．（23-24高三下·江苏常州·对口/高职单招）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质可得，利用作差比较法可得，即可求解. 【详解】因为， 正弦函数在上单调递增，又， 所以，即， 又， 又，所以， 即，所以，即， 综上所述：. 故选：D. 3．（22-23高三·云南·职教高考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式和周期计算公式求解. 【详解】因为， 所以最小正周期. 故选：A 4．（22-23高三·河南·一模）函数的最大值是3，则它的最小值是（ ） A．0 B．1 C． D．与有关 【答案】C 【分析】结合的取值范围，分类讨论，和的情况即可得解. 【详解】设，当时，不满足条件， 当时，，当时，有最大值3，即，解得， 则当时，有最小值， 当时， ，当时，有最大值3，即，则， 则当时，有最小值， 综上的最小值是， 故选：. 5．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）已知函数相邻两条对称轴间的距离是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数两条对称轴之间的距离与周期的关系可得结果. 【详解】解：由已知的三角函数相邻两条对称轴的距离为， 知此三角函数的周期为，故有，即， 因此，故. 故选：B. 6．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意利用余弦函数的性质解不等式，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】时，解得， 若，推不出，例如时，此时，故充分性不成立； 当时，推不出， 例如，此时，可以为负值，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：. 7．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）关于函数的周期性．下列说法中错误的是（    ） A．是以为周期的周期函数 B．是以为周期的周期函数 C．是以为周期的周期函数 D．不是周期函数 【答案】A 【分析】由正弦函数、余弦型函数以及正切型函数的性质，结合周期函数的定义即可判断. 【详解】A.的最小正周期为，不是的整数倍，错误； B.的最小正周期为，是的整数倍，正确； C.的最小正周期为，正确； D.由周期函数的定义，不是周期函数，正确； 故选：A. 二、填空题 8．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 9．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）函数的值域为_________． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的值域范围代入求解即可. 【详解】已知的值域为，所以的值域为. 故答案为：. 10．（18-19高三下·黑龙江·对口/高职单招）已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据余弦的值域列不等式求解即可. 【详解】已知， 则，即， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 11．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（，）的部分图象如图所示.    (1)求函数的最小正周期T； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图像，x从到即为函数的半个周期，从而求出函数的最小正周期. （2）由函数的最小正周期可求出，同时函数图像过点，代入函数表达式可求出φ，从而求出的值. 【详解】（1）观察图象知，函数最小正周期. （2）∵，∴，∴， 又因为函数图像过点，代入函数解析式得， ∴ ，即， 又∵，∴，即， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $