2026年河北省对口升学《数学高频考点冲刺卷》（九）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（九） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列4个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程与不等式是否有解，即可判断是否为空集. 【详解】A:，不是空集，故A项错误， B:，不是空集，故B项错误， C:，不是空集，故C项错误， D:得无实数解，故D项正确. 故选:D. 2．若关于的不等式的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根与系数的关系求解即可解得. 【详解】由题，可知一元二次不等式解集为， 令，利用根与系数的关系，， 得解得，，所以. 故选：D 3．若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算以及共轭复数的定义求解即可. 【详解】由题意知，故． 故选：D. 4．已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，结合充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥， 所以“为互斥事件”是“为对立事件”的必要非充分条件． 故选：B． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为，整理得， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6．设角是第二象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】已知角所在象限，即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为角是第二象限角，所以，， 故选：C 7．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数幂的性质和算术平方根底数为非负，即可求解. 【详解】函数有意义， 且， ∴且，即， 故选：C． 8．设，则函数与的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由对数函数和二次函数的图象判断即可. 【详解】因为，则， 所以函数在定义域上单调递减，且过定点； 函数函数图象开口向下，对称轴为，顶点坐标； 故A、B、C选项错误，D选项正确. 故选：D. 9．已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量的共线定理求解. 【详解】解：因为， 所以，， 故，即， 解得，. 故选：A. 10．下面各式．计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则可知， ，，，， 所以ACD错误，B正确. 故选：B. 11．在等差数列中，已知与是方程的根，则（   ） A．7 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据韦达定理以及等差数列的性质求解即可, 【详解】因为与是方程的根， 所以，所以. 故选：C. 12．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用一个平行于水平面的平面去截球,得到的图形是球缺少一个部分，根据三视图的定义俯视图为同心圆,且内圆是截面的射影,即可判断. 【详解】根据俯视图的定义，几何体的俯视图是两个同心圆，且内圆是截面的射影， 所以内圆是虚线则选项错误，选项正确, 选项为为主视图或者左视图,则选项错误. 故选：. 13．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数求出的值，得到函数解析式，再将求出即可. 【详解】将点代入函数得： ，即， 所以. 所以. 故选：B. 14．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列的公比的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及等差中项，分析求解即可. 【详解】因为，所以，解得：，即， 因为成等差数列，所以， 即，解得，所以. 故选：C. 15．平面与平面平行，且，下列四种说法：①与内的所有直线都平行；②与内无数条直线平行；③与内的任意一条直线都不垂直；④与无公共点．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质，对这四种说法逐一进行分析，即可求解. 【详解】①中，若平面与平面平行，且，则与内的所有直线平行或异面，错误， ②中，若平面与平面平行，且，则平面内一定存在无数条直线与平行，正确， ③中，若平面与平面平行，且，则与内的直线可能异面垂直，错误， ④中，若平面与平面平行，且，则与无公共点，正确， 故正确的个数为2个， 故选：B. 16．已知椭圆焦点在x轴上，离心率，长轴长为10，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为， 因为离心率，长轴长为10， 所以，解得， 所以， 则椭圆的标准方程为. 故选：A. 17．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立重复试验的概率公式求值即可. 【详解】已知某飞碟运动员每次射击中靶的概率为， 则连续射击3次，至少击中两次的概率为 ， 故选：C. 18．直线（）平分圆，则（   ） A．15 B．3 C．10 D．5 【答案】A 【分析】根据平分圆的直线必过圆心这一性质求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线平分圆， 所以直线必定过圆心，可得，即， 故选：A. 19．在的二项展开式中，常数项为（   ） A． B．4 C．14 D．6 【答案】A 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意知二项式为， 则展开式的通项公式为， 当时，即，则常数项为. 故选：A. 20．已知函数是偶函数，在上是减函数，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质可得，然后利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数， 等价于，则， 所以， 解得：，即实数的取值范围是. 故选：. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则______. 【答案】2 【分析】由内向外代入求值即可． 【详解】函数，则 故． 故答案为：2． 22．计算：__________. 【答案】 【分析】根据对数和指数的运算性质，以及阶乘的计算，即可求解. 【详解】 故答案为： 23．已知，则__________． 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简计算可得. 【详解】因为，所以， 因此由， ， 所以， 故答案为：． 24．某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】/ 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 25．已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为________. 【答案】/ 【分析】先根据题意求解正三棱锥的高，再求解正三棱锥的底面积，最后求解体积即可. 【详解】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心. 底面三角形的高为：，三角形的重心分中线为的关系. 所以底面三角形重心到顶点的距离为. 所以三棱锥的高为：. 又因为底面三角形的面积为：. 所以该正三棱锥的体积为：. 故答案为：.    三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 27．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . （2）依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 28．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 29．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； (2)若样本中年龄在［0,10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50,60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差； (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40,50），［50,60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40,50）的概率． 【答案】(1)，第85百分位数为 (2)， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积为1即可求得的值，并由频率分布直方图求百分位数的计算方法计算第85百分位数. （2）由总体平均数与总体方差的计算方法，即，即可求解. （3）由题意得，的两组观众频率之比为：，则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人，列出所有选取的可能，即可确定符合题意的概率. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为， 所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为， 则，解得， 所以第85百分位数为． （2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， （3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5， 则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名学生的年龄均在的概率． 30．已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义解出p的值，得到点的坐标； （2）设直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出直线方程，进而得到到直线距离，最终求得的面积 【详解】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2） 设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（九） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列4个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若复数，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 6．设角是第二象限角，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．设，则函数与的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   9．已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下面各式．计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 11．在等差数列中，已知与是方程的根，则（   ） A．7 B． C． D．8 12．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 13．已知函数，若其图象过点，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 14．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列的公比的值是（    ） A． B． C． D． 15．平面与平面平行，且，下列四种说法：①与内的所有直线都平行；②与内无数条直线平行；③与内的任意一条直线都不垂直；④与无公共点．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知椭圆焦点在x轴上，离心率，长轴长为10，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 17．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 18．直线（）平分圆，则（   ） A．15 B．3 C．10 D．5 19．在的二项展开式中，常数项为（   ） A． B．4 C．14 D．6 20．已知函数是偶函数，在上是减函数，若．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则______. 22．计算：__________. 23．已知，则__________． 24．某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 25．已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为________. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 27．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 28．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 29．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； (2)若样本中年龄在［0,10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50,60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差； (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40,50），［50,60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40,50）的概率． 30．已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $