第5卷 二次函数与函数的实际应用 2026年四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 二次函数与函数的实际应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一．二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 二．函数的实际应用 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (为常数，) 二次函数模型 (为常数，) 与幂函数相关模型 (为常数，) 对数函数模型 (为常数，) 指数函数模型 (为常数，) 分段函数模型 由两个或两个以上的表达式组成 2．函数的实际应用解题的重要步骤： 第一步：读懂题意，厘清题目中的相关量及其数学含义； 第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)； 第三步：列式(厘清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解； 第四步：验证，把解出的数学结论放回实际问题中去检验得到符合条件的结论． 【真题精讲】 考点01二次函数的应用 1.（2025年对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 考点02二次函数恒成立 1.（2024年对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 考点03指数函数的应用 1.（2024年对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 考点04 一次函数的应用 1. （2023年对口招生）某水文监测站对一河道某处的水深每小时进行一次记录，结果如图所示.，，，为线段的等分点.已知9点时河道水深为160cm，从11点到12点河道水深减少了10%，则在11点时河道水深为（ ） A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm 考点05 对数函数的应用 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非0常数）.如果分泌信息素后，在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为，在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【举一反三】 1．某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品，前四年年产量的增加速度越来越慢，后四年年产量的增加速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．为推广川剧文化，某高职院校学生社团对非遗文化产品——川剧变脸玩偶进行宣传和销售.销售中发现该产品月销售利润（单位：元）与售价（单位：元）满足函数关系.该产品的月销售利润最高可达（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时. A． B． C． D． 5．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 【拓展提升】 一．选择题 1．已知函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2008年5月12日四川省汶川县发生里氏8.0级地震，2023年12月18日甘肃积石山县发生里氏6.2级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为（    ）. A．10 B．100 C．1000 D．10000 4.某投资公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资 量成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）    A．5.6 万元 B．4.8 万元 C．6 万元 D．5 万元 5．函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 二．填空题 6．二次函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 7.函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 8．李明同学的家与学校的距离为2000米，如果他上学步行的速度为y（米/分），从家里到学校的时间为x（分钟），则y关于x之间的函数解析式为 . 9．已知某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少．若要求杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤 次． 三．解答题 10．已知函数的图象与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)若在区间上是增函数，求的最大整数值，并求此时函数的最小值. 11．某人开汽车沿一条直线以的速度从A地到远处的B地．在B地停留后，再以的速度返回A地，把汽车与A地的距离表示为时间（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像． 12．已知二次函数过点，且当时，函数有最小值. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 13.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．    (1)试求的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 二次函数与函数的实际应用 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一．二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 二．函数的实际应用 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (为常数，) 二次函数模型 (为常数，) 与幂函数相关模型 (为常数，) 对数函数模型 (为常数，) 指数函数模型 (为常数，) 分段函数模型 由两个或两个以上的表达式组成 2．函数的实际应用解题的重要步骤： 第一步：读懂题意，厘清题目中的相关量及其数学含义； 第二步：设出未知量(如何设、带不带单位、取值范围是否有限制)，并建立相应的目标函数(最常见函数模型有二次函数与分段函数)； 第三步：列式(厘清“利润”“路程”“面积”等一些基本常识)并求解； 第四步：验证，把解出的数学结论放回实际问题中去检验得到符合条件的结论． 【真题精讲】 考点01二次函数的应用 1.（2025年对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为.故选：A. 考点02二次函数恒成立 1.（2024年对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【详解】（）由题意可设，，则与是方程的两根， 所以，，因为， 所以，整理得，解得或 （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 考点03指数函数的应用 1.（2024年对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 考点04 一次函数的应用 1. （2023年对口招生）某水文监测站对一河道某处的水深每小时进行一次记录，结果如图所示.，，，为线段的等分点.已知9点时河道水深为160cm，从11点到12点河道水深减少了10%，则在11点时河道水深为（ ） A.164cm B.168cm C.180cm D.200cm 【答案】D 【分析】本题根据题意结合图象可以列出方程，考查读图识图的能力. 【详解】设等分点每一层水深为x cm，由题意可得11点时河道水深为，12点时河道水深为，12点时河道水深也可以表示为，所以可得方程， 解得：， 在11点时河道水深为==200cm. ∴选D. 考点05 对数函数的应用 1.（2022年职教师资和高职班对口考试）某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非0常数）.如果分泌信息素后，在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为，在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】由题意构造方程组，消元法解之即得,本题考察了,等对数的运算法则 【详解】∵在1秒时距分泌处3米的地方，信息浓度为， ∴，化简得① ∵在9秒时距分泌处米的地方，信息浓度为∴ 化简得②联立①②得解得 ∴选B . 【举一反三】 1．某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品，前四年年产量的增加速度越来越慢，后四年年产量的增加速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意增速判断选项即可. 【详解】因为前四年图像的几何特征为从左向右曲线的陡度逐渐减小， 后四年陡度变为一个固定的值， 符合此特征的只有B项中的图像. 故选:B. 2．为推广川剧文化，某高职院校学生社团对非遗文化产品——川剧变脸玩偶进行宣传和销售.销售中发现该产品月销售利润（单位：元）与售价（单位：元）满足函数关系.该产品的月销售利润最高可达（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解函数最值. 【详解】因为产品月销售利润与售价的函数关系为， ， 当时，有最大值，最大值为， 所以该产品的月销售利润最高可达元， 故选：C. 3．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，反比例函数的性质，分段函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，对任意实数，都有成立，则在定义域上单调递减. 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果. 【详解】因为前小时消除了的污染物，所以，可得. 设， 可得，解得. 因此，污染物消除至最初的还需要小时. 故选：C. 5．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 【答案】B 【分析】根据题意结合对数函数的性质列出方程求解出销售额与奖励金额的函数关系式，再求解时，的取值即可. 【详解】由题意可得， 即，解得，， 所以， 若时，即，解得. 故选：B 【拓展提升】 一．选择题 1．已知函数与函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的定点和函数图像的性质即可判断. 【详解】由题可知：函数、的图像分别过点、，所以抛物线过轴负半轴，排除、选项； 由、选项知，则的对称轴，所以抛物线对称轴在轴的负半轴，故选项满足. 故选：． 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润为（   ）. A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 【答案】B 【分析】设出甲乙的销售量，代入利润公式求解即可. 【详解】设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为， 设利润为y，则， 即， 对称轴为， ∵，即当时，最大利润为万元. 故选：B. 3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2008年5月12日四川省汶川县发生里氏8.0级地震，2023年12月18日甘肃积石山县发生里氏6.2级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为（    ）. A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】C 【分析】分别求出汶川地震所散发出来的能量和积石山县地震所散发出来的能量即可求解. 【详解】设汶川地震所散发出来的能量为，积石山县地震所散发出来的能量为， 所以，， 所以，，所以. 故选：C. 4.某投资公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资 量成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）    A．5.6 万元 B．4.8 万元 C．6 万元 D．5 万元 【答案】B 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设产品投入万元，则产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值. 【详解】设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元. 由题意设， 由图知，∴，又，∴， 从而，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 设企业利润为万元， 则， 设，则， ， 时，，此时， ∴产品投入16万元，则产品投入4万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元，故选：B 5．函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 【答案】D 【分析】先利用对数的换底公式将函数解析式化简，再用换元法将函数化为二次函数，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，函数在区间单调递增，所以， 令，则，因为，所以， 又由， 可得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数；当时，函数， 所以当时，函数取得最大值. 故选：D 二．填空题 6．二次函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】（ 【分析】根据二次函数的性质和函数单调性的概念即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 且二次函数在区间上不单调， ， 故答案为：. 7.函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数与二次函数的单调性求解. 【详解】①当时，，在上单调递减，满足条件； ②当时，的对称轴为， 在上单调递减，解得. 由①②得，故a的取值范围是. 故答案为：. 8．李明同学的家与学校的距离为2000米，如果他上学步行的速度为y（米/分），从家里到学校的时间为x（分钟），则y关于x之间的函数解析式为 . 【答案】 【分析】根据速度，路程，时间的关系列函数解析式即可. 【详解】根据速度路程÷时间得. 故答案为：. 9．已知某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少．若要求杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤 次． 【答案】4 【分析】根据题意列出不等式，由指数函数的性质求解. 【详解】过滤次杂质减少到原来的，由题意得， ∵随的增大而减小，，且n为正整数， ∴最小取4． 故答案为：4. 三．解答题 10．已知函数的图象与直线相切于点. (1)求实数的值； (2)若在区间上是增函数，求的最大整数值，并求此时函数的最小值. 【答案】(1)， (2)的最大整数值为1，的最小值为 【分析】（1）将点代入直线方程求得，联立直线方程与，得到关于的二次方程，利用判别式，结合点在上得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用二次函数的单调性得到关于的不等式，从而得到的最大整数值，进而利用配方法求得的最小值，由此得解. 【详解】（1）在直线上， ， 与直线相切， ，消去y得：， ， 又在图象上， ，即， 代入得，解得，则， ，， （2）， 的对称轴为， 在区间上是增函数，，解得， 的最大整数值为1， 此时， 当时，取得最小值为. 11．某人开汽车沿一条直线以的速度从A地到远处的B地．在B地停留后，再以的速度返回A地，把汽车与A地的距离表示为时间（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像． 【答案】；函数图像见详解 【分析】根据题意，结合分段函数求解析式，分别求出每一段定义域内的函数解析式，即可求解； 根据一次函数的图像的画法，结合函数定义域的范围，即可作出分段函数的图像． 【详解】因为两地相距， 所以当汽车沿一条直线以的速度从A地到B地时，需要的时间为，此时汽车离开A地的距离为； 到达B地停留，此时汽车离开A地的距离为； 当汽车以的速度从B地返回A地时，需要的时间为，此时汽车离开A地的距离为； 综上所述，，即． 函数图像如图所示： 12．已知二次函数过点，且当时，函数有最小值. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数图象过点，点且对称轴为，求出，即可写出解析式. （2）由可得，再由二次函数的性质求解的范围即可. 【详解】（1）二次函数过点，当时，函数有最小值， ，且， ， 函数的解析式：； （2）当时，恒成立， 即在上恒成立， 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ， ，即实数k的取值范围为. 13.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳．    (1)试求的函数关系式； (2)一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】(1) (2)教师能够合理安排时间讲完题目 【分析】（1）分区间求解，时设二次函数顶点式，代入已知点求参数；时，代入已知点求对数函数的底数，综合可得的函数关系式； （2）分别在两个区间求解时的范围，确定最佳时长区间，分析在该区间内是否存在连续22分钟满足． 【详解】（1）当时，设， 将点代入得，解得， ∴当时，； 当时，将点代入，得， 即，即，解得， 所以； （2）当时，， 可化为， 解得，所以， 当时，，可化为， 解得，所以， 综上，时学生听课效果最佳， 此时， 所以教师能够合理安排时间讲完题目． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $