第5卷 二次函数与函数的实际应用 2026年四川省（对口招生）《数学真题同源卷》（学生练习卷）（原卷版+解析版）

编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 二次函数与函数的实际应用 （学生练习卷） 1、 选择题（共15题，每题4分，共60分） 1．已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若一次函数的图像经过二、三、四象限，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知，对任意实数都有成立，在函数值中，最小的一个不可能是（    ） A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，，则函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 6.已知函数，对任意实数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（    ） A． B． C． D．－1 8.函数与图像交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 10.已知函数，且时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（    ） A． B． C． D． 12.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按进行奖励. 记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.如果某业务员获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是（　　）. A．11 B．12 C．13 D．14 13.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 14.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A． B． C． D． 15.函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 2、 填空题（共5题，每题4分，共20分） 16．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率x％，2020年底世界人口数为y亿，则y与x函数关系为 （列式）． 17.当时，函数的值域为 . 18．把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过 次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 19．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为200只，则15年后它们发展到 只. 20.已知函数若存在，使，则的取值范围是 ． 三 、解答题（共6题，共70分） 21．已知函数，若，求函数的最小值. 22.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 23．某市为改善城市交通拥堵情况，启动快速路建设工程.根据交通工程学理论，把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征.为研究车辆流量（辆/时）、速度（千米/时）、密度（辆/千米）的关系，测得某路段当时，车流速度；当时，道路堵塞，车流速度；当时，测得车流速度与车流密度之间的部分数据如下表： 密度（辆/千米） 80 100 120 140 160 180 速度（千米/时） 80 70 60 50 40 30 (1)选择恰当的函数模型，写出关于的函数关系式； (2)求时，车流量和车流密度之间的函数关系式.（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)当该路段的车流速度为多少时，车流量最大，最大值是多少？ 24．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年. (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (3)为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：） 25．已知函数，且的解集为．设． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 26．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》专辑，立足内四川省对口招生数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年四川省对口招生《数学真题同源卷》 第5卷 二次函数与函数的实际应用 （学生练习卷） 1、 选择题（共15题，每题4分，共60分） 1．已知函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像特征即可确定的符号. 【详解】函数开口向下，对称轴在轴负半轴，函数与坐标轴无交点， ，，， ，，， 故选：A． 2．若一次函数的图像经过二、三、四象限，则二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像和性质，结合题意先求出a和b的范围，利用二次函数的图像和性质，即可分析求解． 【详解】因为一次函数的图像经过二、三、四象限， 所以， 所以二次函数的图像开口向下， 对称轴，在轴左边． 故选：C． 3．已知，对任意实数都有成立，在函数值中，最小的一个不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出函数图像的对称轴，再结合二次函数的性质即可选出正确答案. 【详解】由知，抛物线对称轴为． 若，函数图像开口向上，在上单调递减，在上单调递增，则最小； 若，函数图像开口向下，在上单调递增，在上单调递减，则与最小． 故选：B 4.函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故选：D. 5.已知函数，，则函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与二次函数的复合函数的单调性，求出最值即可确定值域. 【详解】已知函数， 令，则时，为增函数， 此时， 所以， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为， 所以函数的值域为. 故选：B. 6.已知函数，对任意实数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得该函数为增函数，结合二次函数与反比例函数的性质求求解即可. 【详解】∵， ∴当时，；当时，， ∴该函数在R上为增函数， 当时，的对称轴为， 且该函数图象开口向下，需满足在区间上单调递增， ∴，解得， 当时，在时，在区间上单调递增， ∴需满足，解得， 则a的取值范围是. 故选：B. 7.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（    ） A． B． C． D．－1 【答案】D 【分析】根据两年后的生产总值相同易得答案. 【详解】设年平均增长率为x，原生产总值为a，则， 解得. 故选：D. 8.函数与图像交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意，易判断点与是两函数图像的交点，再结合指数函数和二次函数的单调性，即可求解. 【详解】    因为函数和， 所以当或时，，所以点与是两函数图像的交点； 因为指数函数在上单调递增，二次函数在上单调递减， 又时，，此时； 当时，，此时； 所以函数和在区间上必存在一个交点； 综上所述，函数与图像交点个数是3个. 故选：C. 9.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】求出水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，即可判断. 【详解】设容器内的水面高度为，对应的注水时间为， 由题意可知，根据一次函数的定义可确定其为一次函数． 故选：B． 10.已知函数，且时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性的定义确定该函数的单调性再由复合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数， ，且时， 关于的不等式恒成立， 即当时，， 所以在上是减函数，又在上为增函数， 所以在上是减函数，且， 又图象开口向上，对称轴为， 所以，解得. 实数的取值范围是. 故选：A. 11.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可. 【详解】从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A； 从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B； 从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D． 故符合题意的函数图象为C. 故选：C 12.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按进行奖励. 记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.如果某业务员获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是（　　）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据题意，分别写出和对应的解析式，由业务员获得3.5万元的奖金可直接计算其销售利润. 【详解】由题意可得，当销售利润时，奖金， 当销售利润时，奖金， 销售利润，奖金的最大值为万元， 如果某业务员获得3.5万元的奖金，可知其销售利润， 所以，得，， 所以如果某业务员获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是14万元. 故选：D. 13.函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原函数可化为，根据二次函数的图象和性质可判断结果. 【详解】 ， 则开口向上，对称轴为， 所以的增区间为. 故选：B. 14.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的应用，结合指数幂的运算求参数即可得解. 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 15.函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A．60， B．60， C．12， D．12， 【答案】D 【分析】先利用对数的换底公式将函数解析式化简，再用换元法将函数化为二次函数，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，函数在区间单调递增，所以， 令，则，因为，所以， 又由， 可得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数取得最小值， 当时，函数；当时，函数， 所以当时，函数取得最大值. 故选：D 2、 填空题（共5题，每题4分，共20分） 16．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率x％，2020年底世界人口数为y亿，则y与x函数关系为 （列式）． 【答案】 【分析】根据题意依次列出一年后，两年后，三年后…的世界人口，找出列出式子所满足的规律，写出2020年底的人口数，得到结果. 【详解】由题意知一年以后人口数是， 两年后的人口数是， 三年后的人口数是， … 2020年底即28年后的人口数是. 故答案为：. 17.当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，由于，则， 则原函数可化为，， 当时，取最小值，当时，取最大值， 故，即. 故答案为： 18．把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过 次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 【答案】4 【分析】根据指数增长模型求解. 【详解】设初始溶液浓度为(，经过次“标准稀释”后溶液浓度为， 因为每次“标准稀释”后溶液浓度变为原来的， 所以经过次“标准稀释”后，溶液浓度， 已知经过次“标准稀释”后溶液浓度达到初始浓度的， 则可得，即，则， 所以通过次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的． 故答案为：4． 19．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为200只，则15年后它们发展到 只. 【答案】800 【分析】根据题意将代入中求出值，再将代入函数解析式中即可得解. 【详解】将代入得， 即，解得， 所以， 当时，， 故答案为：. 20.已知函数若存在，使，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图像，由题意及二次函数的对称性可知，结合指数函数的单调性再分类讨论即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示， 由题意，，且，则， 所以，所以， 当时，，此时； 当时，有，， ， 此时； 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 三 、解答题（共6题，共70分） 21．已知函数，若，求函数的最小值. 【答案】的最小值为 【分析】由函数的单调性分类讨论求出最小值即可. 【详解】函数，对称轴， 当即时，在上为减函数， . 当，即时， . 当，即时，在上为增函数， . 设函数的最小值为， 则有 22.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比x应在什么范围内？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据年利润公式进行分析得到解析式求解即可. （2）根据（1）的解析式列不等式求解即可. 【详解】（1）因为每辆车投入成本增加的比例为x，所以成本为. 因为出厂价相应地提高比例为0.75x，所以出厂价为. 因为预计年销售量增加的比例为0.6x，所以年销售量为. 根据年利润公式，，， 整理得：， （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须， 即，． 解得，所以投入成本增加的比例应在范围内． 23．某市为改善城市交通拥堵情况，启动快速路建设工程.根据交通工程学理论，把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征.为研究车辆流量（辆/时）、速度（千米/时）、密度（辆/千米）的关系，测得某路段当时，车流速度；当时，道路堵塞，车流速度；当时，测得车流速度与车流密度之间的部分数据如下表： 密度（辆/千米） 80 100 120 140 160 180 速度（千米/时） 80 70 60 50 40 30 (1)选择恰当的函数模型，写出关于的函数关系式； (2)求时，车流量和车流密度之间的函数关系式.（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)当该路段的车流速度为多少时，车流量最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)车流速度为60千米/时时，车流量最大为7200辆/时 【分析】（1）根据题意可判断函数为分段函数，根据实际情况列式即可； （2）根据计算公式即可列式； （3）先求出车流量最大时的速度，进而求解. 【详解】（1）当时，设， 则，解得， .，经检验符合题意； 所求函数关系式为 （2）当时， （3）当时，；当时，； 当时，当，即时， ， 当该路段的车流速度为60千米/时时，车流量最大，最大值是7200辆/时. 24．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年. (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ (3)为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)5 (3)26 【分析】（1）依题意建立指数方程，即可解得. （2）依题意建立指数方程，即可解得. （3）依题意建立不等式，根据指数函数的单调性和对数的性质，解不等式即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，则，解得， 所以森林面积的年增长率为. （2）设已经植树造林年，则由题意可知， 又， 所以，得到， 即已经植树造林年. （3）设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年， 则，又， 所以，得到， 所以， 故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年. 25．已知函数，且的解集为．设． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得到对应方程的根与系数关系即可求解. （2）根据题干条件得到复合函数的解析式，再利用换元法求解二次函数最值即可. 【详解】（1）∵的解集为， ∴，2为方程的两根， ∴解得：， ∴. （2）∵， ∴， ∵在上恒成立， 即：在上恒成立， ， 令，则， 令， 当时，0， ∴. 26．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为0 (3)或 【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论； （2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值． （3）分；；三种情况，根据二次函数的性质和列出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为． （2）∵顶点坐标为，∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大，∴当时，． ∵当时，随着的增大而减小，∴当时，． ∴当时，函数的最大值为4，最小值为0． （3）当时，对进行分类讨论． ①当时，即，随着的增大而增大． 当时，； 当时，． ∴． ∴，解得（不合题意，舍去）． ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴． 当时，在时，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． 当时，在时，， ∴． ∴，解得，（不合题意舍去）． ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， ∴，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $