课后限时练20 直线与圆锥曲线（学生用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课后限时练(二十) 1．A　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 因为线段PQ的中点为M(4，1)， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 所以， 即＝(y1＋y2)(y1－y2)， 所以＝1， 所以直线l的斜率为1， 所以直线l的方程为y－1＝x－4， 化简为y＝x－3，经检验符合题意． 故选A．] 2．ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， ☉A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离是1，等于圆的半径， 故准线l与☉A相切，A选项正确； B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥y轴，则P的纵坐标yP＝4， 由＝4xP，得xP＝4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|＝，B选项正确； C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)， 当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2， 不满足kPAkAB＝－1； 当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6， 不满足kPAkAB＝－1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)， 于是|PA|＝|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF的中点坐标为，AF中垂线的斜率为－， 于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确． 法二：设点直接求解 设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|， 根据两点间的距离公式，得 ＋1，整理得t2－16t＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确． 故选ABD．] 3．C　[设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD的面积S＝××，又点B在椭圆上，所以＝1，所以S＝2，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为．故选C．] 4．4　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为点P(2，1)是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 因为A，B为抛物线y2＝8x上的点， 所以＝8x1，＝8x2， 两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， 所以＝4，则直线AB的斜率为4．] 5．解：(1)由题意设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝1且， 解得a＝2，b＝， 故双曲线C的标准方程为＝1． (2)根据题意可知直线l的方程为y＝x＋2， 联立消去y得x2＋16x＋28＝0， 解得x1＝－2，x2＝－14，从而y1＝0，y2＝－12，可令M(－2，0)，N(－14，－12)， 所以△OMN的面积为·|OM|·|yN|＝×2×12＝12． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课后限时练(二十)　直线与圆锥曲线 1．(2025·包头二模)直线l与双曲线－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－3 B．y＝－x－3 C．y＝x＋5 D．y＝－x＋5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过点B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．(2025·石家庄模拟)过点P(2，1)作直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．(2025·南宁模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，点P(4，－3)在双曲线C上，其一条渐近线方程为x＋2y＝0． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点Q(0，2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求△OMN的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $