6.3.3 空间角的计算（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.3 空间角的计算 第六章 空间向量及其运算 苏教版普通高中教科书 数学选择性必修第二册 学 习 目 标 1 2 3 掌握利用空间向量（方向向量、法向量）求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的方法；能准确区分空间角与向量夹角的关系，熟练进行向量坐标运算求解空间角，提升运算求解能力。 通过类比平面向量夹角的计算，探究空间角与向量夹角的转化关系，经历“几何角→向量角→代数计算→几何结论”的解题过程，培养类比推理、转化与化归的数学思想；体会空间向量将立体几何的空间角问题转化为代数运算的优越性。 感受空间向量作为工具刻画空间几何度量关系的作用，体会代数与几何的数形结合思想；在探究和解题过程中，培养空间想象能力和逻辑推理能力，增强对空间向量应用的理解和数学学习兴趣。 一、复习回顾，情境导入 问题1：直线的方向向量和平面的法向量分别是什么？如何利用它们判定空间线面平行与垂直？ 问题2：向量的数量积公式是什么？如何求两个非零向量的夹角？ 问题3：从几何角度说说异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义和取值范围分别是什么？ 一、复习回顾，情境导入 几何方法求空间角需要作角、证角、算角，对空间想象能力和作图能力要求较高，而我们已经能用向量刻画空间直线和平面的“方向”，那么能否利用向量夹角来计算空间角呢？ 今天我们就来学习《空间角的计算》，用空间向量的方法解决这一立体几何难点问题。 二、新知探究，公式推导 1. 异面直线所成角的向量求解 用空间向量求异面直线所成角. 二、新知探究，公式推导 1. 异面直线所成角的向量求解 二、新知探究，公式推导 2. 直线与平面所成角的向量求解 类比异面直线所成角的向量求法，讨论如何用空间向量求直线与平面所成角. 二、新知探究，公式推导 2. 直线与平面所成角的向量求解 二、新知探究，公式推导 3. 二面角的向量求解 二、新知探究，公式推导 3. 二面角的向量求解 二、新知探究，公式推导 线线角和线面角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解． 4.公式梳理 三、典例剖析，掌握方法 D1 B1 D B C C1 y E1 F1 H G A1 x A z 三、典例剖析，掌握方法 方法一：(几何法) 三、典例剖析，掌握方法 方法二：(向量法——基底) 三、典例剖析，掌握方法 方法二：(向量法——基底) 三、典例剖析，掌握方法 方法三：(向量法——坐标) 三、典例剖析，掌握方法 方法三：(向量法——坐标) 三、典例剖析，掌握方法 2.运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标； (3)写出相关向量的坐标； (4)结合公式进行论证，计算； (5)转化为几何结论。 1.异面直线所成角的余弦值： 三、典例剖析，掌握方法 A1 D1 B1 A D B C C1 y E1 F x z 三、典例剖析，掌握方法 1.直线与平面所成角的正弦值： 2、运用空间向量坐标运算求直线与平面所成角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标； (3)写出直线的方向向量的坐标； (5)结合公式进行论证，计算； (6)转化为几何结论。 (4)求出平面的法向量的坐标； 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 三、典例剖析，掌握方法 空间角 找角 不找角 在三角形角中求 用向量求 用向量求 综合法 向量法 运用空间向量坐标运算求两个平面所成角(二面角)的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标； (3)分别求出两个平面的法向量的坐标； (4)结合公式进行论证，计算； (5)转化为几何结论。 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 2. 已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直, 且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120, 求: (1) 直线AD与平面BCD所成角的大小;(2) 直线AD与直线BC所成角的大小; (3) 二面角A-BD-C的余弦值. A B C D 解: ∵平面ABC⊥平面DBC, ∴ 作AO⊥BC, 垂足为O, 则 AO⊥平面DBC. O 连结DO, 由△ABO≌△DBO 得 AO=DO, 则∠ADO为 (1) AD与平面BCD所成的角. ∴∠ADO=45, 即直线AD与平面BCD所成的角是45. 由△ABO≌△DBO 得 ∠DOB=90, (2) ∴BC⊥平面AOD, 得 BC⊥AD, ∴直线AD与直线BC所成的角为90. 四、课堂练习，当堂检测 2. 已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直, 且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120, 求: (1) 直线AD与平面BCD所成角的大小;(2) 直线AD与直线BC所成角的大小; (3) 二面角A-BD-C的余弦值. A B C D 解: ∵平面ABC⊥平面DBC, ∴ 作AO⊥BC, 垂足为O, 则 AO⊥平面DBC. O x y (3) 分别以OD, OC, OA为 x轴, 设 AB=BC=BD= 则 A(0, 0, 3), D(3, 0, 0), y轴, z轴建立空间直角坐标系, 平面BDC的法向量平行于OA, 设为 u=(0, 0, 1). 设平面ABD的法向量为 v=(x, y, z), z 四、课堂练习，当堂检测 2. 已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直, 且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120, 求: (1) 直线AD与平面BCD所成角的大小;(2) 直线AD与直线BC所成角的大小; (3) 二面角A-BD-C的余弦值. A B C D O x y z 由 得 由 得 取 x=1, z=1, 即得 则 因为二面角A-BD-C的大小与两平面法向量的夹角互补, 所以二面角A-BD-C的余弦值为 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 五、小结反思，提炼升华 五、小结反思，提炼升华 1、空间向量法求异面直线所成角的定义 空间两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角 或其补角，即 五、小结反思，提炼升华 2.空间向量法求直线与平面所成角的定义 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线 与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面 的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹 角的补角互余，即 五、小结反思，提炼升华 3、空间向量法求两个平面所成角(即二面角)的定义 两个平面的法向量的夹角与两个平面所成角(即二面角) 相等或互补，即 或 五、小结反思，提炼升华 1.知识层面：掌握三种空间角的向量求解公式，明确空间角与向量夹角的转化关系，熟练求解直线方向向量和平面法向量； 2.方法层面：掌握空间角求解的核心流程：建系→求向量→代公式→判角，学会纯向量运算和坐标向量运算两种方法，坐标法是规则几何体的首选方法； 3.思想层面：体会转化与化归（空间角→向量角）、数形结合（几何图形→代数运算→几何结论）、类比（平面向量夹角→空间向量夹角）的数学思想，感受空间向量的工具性。 六、作业布置，课后提升 1.基础题：教材课后练习第1、2、3题，巩固三种空间角的基本求解方法； 2.提升题：教材课后练习第4、5、6题，强化平面法向量的求解和二面角的符号判断，综合运用空间向量知识解决问题； 3.拓展题：思考“如何用几何方法和向量方法分别求解空间角，两种方法各有什么优缺点？”，培养对比分析能力。 感谢聆听! 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝ 两平面的夹角 类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. ［0°，180°］ ［法一］：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角 ， ［法二］：（向量法）设 ，则 且 ， ［法三］：（坐标法）设正方体棱长为 ，以 为正交基底，建立如图所 示空间坐标系 ， ， ， EMBED Equation.3 例7．在正方体 中 ， 分别在 ， 上，且 ， ，求 与 所成的角的大小． 在正方体 中 ， 分别在 ， 上， 且 ， ，求 与 所成的角的大小． 在正方体 中 ， 分别在 ， 上， 且 ， ，求 与 所成的角的大小． 在正方体 中 ， 分别在 ， 上， 且 ， ，求 与 所成的角的大小． 在正方体 中 ， 分别在 ， 上， 且 ， ，求 与 所成的角的大小． 在正方体 中 ， 分别在 ， 上， 且 ， ，求 与 所成的角的大小． 解：设正方体棱长为 ，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系 ， 为 平面的法向量， ， ， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 例8．在正方体 中， 分别是 的中点，点 在 上,且 EMBED Equation.3 ，试求直线 与平面 所成角的大小． 解：如图，取 为原点， 、 分别为 、 轴建立空间直角坐标系，则有 ， ， 得 、 、 ∴ ， ． （１） EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ． （２）设 与 所成角为 ， ， ， #K]∴ ，即为所求． 练习2．在三棱锥 中， ， ， ， [来（１）求证： ； （２）求 与 所成角的余弦值[来源:学§科§网Z§X§X§K 例9．在正方体 中，求二面角 的大小． 【解析】 取BD的中点E，连接A1E，C1E，A1C1，则A1E⊥BD，C1E⊥BD， 所以∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角． 设正方体的棱长为1， 则A1C1＝eq \r(2)，A1E＝C1E＝eq \f(\r(6),2)， 所以cos∠A1EC1＝eq \f(\f(6,4)＋\f(6,4)－2,2×\f(\r(6),2)×\f(\r(6),2))＝eq \f(1,3)， 故二面角A1－BD－C1的余弦值为eq \f(1,3). 例9．在正方体 中，求二面角 的大小． 【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 D－xyz. 设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0，1,1)，D(0,0,0)， 则eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(1,0,1)，eq \o(DB,\s\up16(→))＝(1,1,0)，eq \o(DC1,\s\up16(→))＝(0,1,1)． 设平面A1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则n1·eq \o(DA1,\s\up16(→))＝x1＋z1＝0，n1·eq \o(DB,\s\up16(→))＝x1＋y1＝0， 令x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)． 设平面C1BD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 方法二： 例9．在正方体 中，求二面角 的大小． 则n2·eq \o(DB,\s\up16(→))＝x2＋y2＝0，n2·eq \o(DC1,\s\up16(→))＝y2＋z2＝0， 令y2＝1，则n2＝(－1,1，－1)， 所以cos〈n1，n2〉＝eq \f(－1－1＋1,\r(3)×\r(3))＝－eq \f(1,3)， 所以根据图形可知，二面角A1－BD－C1的余弦值为eq \f(1,3). 1．已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，求： （１） 与 所成角的大小；（２） 与平面 所成角的大小； （３）二面角 的大小．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 解：（１） （２） 是平面 的法向量 （３） 是平面 的法向量， 是平面 ． 直线与平面所成角的正弦值： 设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，设直线l与平面α所成的角为θ，则有cos(90°－θ)＝|cos〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a|·|n|)，即sin θ＝eq \f(|a·n|,|a|·|n|). 异面直线所成角的余弦值： 设l1与l2为异面直线，a1与a2分别为l1，l2的方向向量，设l1，l2所成的角为θ，则有cos θ＝|cos〈a1，a2〉|＝eq \f(|a1·a2|,|a1|·|a2|). $