20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步训练 2025—2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数据中，能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是  (    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.若一个三角形三边满足，则这个三角形是(    ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 以上结论都不对 4.在中，，，，则下列结论正确的是(    ) A. 是直角三角形，且 B. 是直角三角形，且 C. 是直角三角形，且 D. 不是直角三角形 5.已知的三边分别是，，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 6.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数学九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里、里、里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，里米，则该沙田的面积为(    ) A. 平方千米 B. 平方千米 C. 平方千米 D. 平方千米 7.如图，每个小正方形的边长为，，，分别是小正方形的顶点，则的度数为    ． A. B. C. D. 8.在如图的网格中，每个小正方形的边长为，、、三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则          是直角． 10.如图，木工师傅要做一个长方形即四个角都是直角桌面，做好后量得，，，则这个桌面          选填“合格”或“不合格”． 11.某校要对如图所示的一块地进行绿化，已知，，，，，则这块地的面积为          ． 12.一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为不计捆缚部分，则电线杆与地面          填“垂直”或“不垂直”． 13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，均在格点上，且点在线段上．的度数为          ． 14.边长为，，的内有一点到三边的距离相等．则这个距离为          ． 15.如图，，，边上的中线，则的面积为          ． 16.某超市购物车的侧面简化示意图如图所示，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离是          。 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知：在中，，，边上的中线求证：． 18.本小题分 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 分别求出线段、的长度； 在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． 如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； 如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 20.本小题分 如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点，求的度数． 21.本小题分 如图，等腰三角形的底边，是腰上一点，且，． 求证：是直角三角形 求的长． 22.本小题分 小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现，，，，根据设计要求需保证请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 知道三条边的长度，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形是直角三角形；如果不相等，则三角形不是直角三角形． 【解答】 解：：，不能构成直角三角形，故本选项错误； ：，不能构成直角三角形，故本选项错误； ：，不能构成直角三角形，故本选项错误； ：，能构成直角三角形，故本选项正确． 2.【答案】  【解析】解：解：、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故选D． 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单． 化简等式，可得，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形． 【解答】 解：，即， ，这个三角形是直角三角形． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理，根据题意判断出的形状是解答此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】 解：中，，，， ， 是直角三角形，且． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三边长判断出为直角三角形，然后可求出三角形面积．因为的三边分别是，，，根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形，根据三角形面积公式可求出面积． 【解答】 解：， 是直角三角形， 的面积． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：， 三条边长分别为里，里，里，构成了直角三角形， 这块沙田面积为：平方米平方千米． 故选：． 直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．根据勾股定理即可得到，，的长度，再根据勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【解答】 解：根据勾股定理可以得到：，， ． ． 是等腰直角三角形． ． 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，解题关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理证得是直角三角形首先根据勾股定理求出的三边的平方，然后根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，最后根据三角形的面积公式即可求出的长． 【解答】 解：如图， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ． 9.【答案】  10.【答案】合格  11.【答案】  12.【答案】不垂直  13.【答案】  14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点是三角形的面积和勾股定理，首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接，，，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长． 【解答】 解：， 是直角三角形， 根据题意画图，如图所示：连接  ，  ，   ， 点到三边的距离相等， 设， ，， 则， ． 故答案为． 15.【答案】  16.【答案】  17.【答案】证明：，点为的中点， ． 在中，，，， ，即， 为直角三角形， ， ． 在和中，， ≌， ．  【解析】由中点的定义可求出的长，在中，利用勾股定理的逆定理可得出为直角三角形，由邻补角互补可得出，结合，即可证出≌，再利用全等三角形的性质可证出． 本题考查了勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质，利用勾股定理的逆定理，找出是解题的关键． 18.【答案】解：；； 如图，， ，， ， 以、、三条线段可以组成直角三角形．  【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键． 利用勾股定理求出、的长即可； 根据勾股定理的逆定理，即可作出判断． 19.【答案】解：是等腰三角形．理由如下： 是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形； 是直角三角形．理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形．  【解析】根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形； 根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 20.【答案】解：如图，连接， 根据勾股定理可以得到：，， ， 即， 是等腰直角三角形． ．   【解析】本题考查了勾股定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 21.【答案】【小题】 证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【小题】 解：． 22.【答案】符合设计要求．理由： ，，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ，． 故该尾翼符合设计要求．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $