专题01 基本不等式解最值问题 （八大核心方法）讲义-2026届高三数学三轮复习

复盘固化核心常考点专题 专题01 基本不等式解最值问题 （八大核心方法精讲） 情解读考点精 1、 考点总结与提升 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、典例精讲 思路方法01 利用和（积）为定求最值 该方法是基本不等式求最值的基础应用，核心依托二元基本不等式 “一正二定三等” 的核心原则，当所求表达式中求和的项乘积为定值时，可直接用不等式求最小值；当乘积的项和为定值时，可直接用不等式求最大值，无需对表达式进行复杂变形，直接判断定值条件并验证等号成立条件即可。 例1．已知正数，满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最大值为 【解析】对于A：由， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B：由得，，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为 ， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D：由， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 故选：ABD． 思路方法02分式函数求最值 例2. 求函数的值域. 【解析】设. 于是问题转化为求 的值域，由对勾函数当时取等号，即. 例3. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________. 【解析】设直线与曲线相切于点 由函数的导函数为，则 解得 所以，即 则 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：8 例4已知随机变量，且，则的最小值为________. 【解析】由正态分布的对称性可知：，解得：， 因为，所以，由基本不等式得： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以不等式得最小值为 故答案为： 思路方法03 “1”代换 已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 例5.已知，求的最小值__________ 解析： 例6．已知，若，则（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为 解析：对于A和B中，因为且，可得且， 即，所以，且，，所以A、B正确； 对于C中，由， 当且仅当，且，即，时，取“”号，所以C正确； 对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以D错误． 故选：ABC. 例7．已知，，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A，因为，， 所以，即，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 由A得，， 所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故C错误； 对于D，，， 设，， 则， 所以在上单调递减，即， 所以，故D错误； 故选：ACD． 例8．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 解析：因为正实数，满足，所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是.故选:B. 例9．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 解析：均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：B 思路方法04.和积转化 适用于已知和或积的等式条件，求含积或和的代数式最值的xy±x±y型场景，核心利用基本不等式x+y≥2xy​（x,y>0），将条件中的和与积进行相互转化，把问题转化为一元二次不等式 / 方程求解，实现和与积的互相放缩。适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项. 例10（多选题）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 解析 因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； ， 当且仅当，即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC 例11．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为，所以，由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 例12已知，，则（    ） A． B． C． D． 解析 对于A，因为，所以， 从而，正确. 对于B，因为，所以，解得， 所以，正确. 对于C，令()，，在为增函数， 所以在上单调递增，从而，即，错误. 对于D，因为，所以，正确. 故选：ABD 思路方法05.平方和与积型互化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项. 例13．（多选题） 已知，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 解析 对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误， ，当且仅当，即取等号，故B正确， ，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确， ，当且仅当，即时等号成立，所以D正确 故选：BCD 思路方法06三变元先消元再加均值 适用于已知三个变量的等式条件，求含三个变量的代数式最值的场景，核心思路是利用条件等式进行消元，将三变量问题转化为基本不等式可求解的单变量或双变量问题，消元后再结合和积定值、“1” 代换等方法套用基本不等式。 例14．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：∵，，∴， ，∵， ∴，∴，∴，∴， 故选：C. 思路方法07.先换元再均值 针对表达式结构复杂、变量关联隐蔽的最值问题，通过换元法（如整体换元、三角换元、代换变量为倒数等）将原有变量替换为新变量，简化代数式的结构，让新变量的表达式能明显配凑出和积定值，再套用基本不等式求解，是化繁为简的核心技巧。 例15．已知正实数，满足，则的最小值是_______． 解析：令，，则，． 从而． 所以的最小值是． 例16．已知，，则的最小值________. 解析：令，则， 去分母化简得：，所以，所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 例17．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析 ， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值． 故选：D． 例18．已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 解析∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是． 故选：B． 思路方法08 二次函数型 例19．函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 解析 因为， 所以，则： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故选：B 例20．函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 解析 依题意，， ，所以， 由于都是正数，所以， 所以 ， 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 三、高考练场 1．（多选）已知正数a，b满足，那么下列不等式中，恒成立的有( ) A. B. C. D. 解析：对于A，因为正数a，b满足，所以，所以（当且仅当时取等号），故A正确；对于B，令，设，则由对勾函数的单调性可知函数在上单调递增，所以（当且仅当时取等号），故B正确；对于D，（当且仅当时取等号），故D错误；对于C，因为，所以（当且仅当时取等号），故C错误.故选AB. 2.（多选）已知，，，且，则( ) A. B. C. D. 解析：由，得 (当且仅当，即，时等号成立)，故A错误； 由得 (当且仅当时等号成立)，故B正确； 由，得，则不正确，如取，， 有，故C错误； (当且仅当，即，时等号成立），故D正确.故选BD. 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 解析：因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D. 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析：，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值.故选：C 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数的最小值为.故选：D. 7．（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若，则 解析：A．若，如，，则不成立，故A错误； B．，则，，取，则，故B错误； C．因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 但，所以，，故C正确； D．由重要不等式可得， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：CD. 8.已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________． 解析 由题意 当且仅当即时等号成立， 故答案为： 9.已知，则的最小值为___________. 解析：因为，所以，当且仅当即时等号成立. 10．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 解析：因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号。 又因为恒成立， 所以，即。 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题01 基本不等式解最值问题 （八大核心方法精讲） 情解读考点精 1、 考点总结与提升 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、典例精讲 思路方法01 利用和（积）为定求最值 该方法是基本不等式求最值的基础应用，核心依托二元基本不等式 “一正二定三等” 的核心原则，当所求表达式中求和的项乘积为定值时，可直接用不等式求最小值；当乘积的项和为定值时，可直接用不等式求最大值，无需对表达式进行复杂变形，直接判断定值条件并验证等号成立条件即可。 例1．已知正数，满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最大值为 思路方法02分式函数求最值 例2. 求函数的值域. . 例3. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________. 例4已知随机变量，且，则的最小值为________. 思路方法03 “1”代换 已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 例5.已知，求的最小值__________ 例6．已知，若，则（    ） A． B． C．的最小值为8 D．的最大值为 例7．已知，，且，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 例9．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 思路方法04.和积转化 适用于已知和或积的等式条件，求含积或和的代数式最值的xy±x±y型场景，核心利用基本不等式x+y≥2xy​（x,y>0），将条件中的和与积进行相互转化，把问题转化为一元二次不等式 / 方程求解，实现和与积的互相放缩。适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项. 例10（多选题）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 例11．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例12已知，，则（    ） A． B． C． D． 思路方法05.平方和与积型互化 适用于型，注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项. 例13．（多选题） 已知，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 思路方法06三变元先消元再加均值 适用于已知三个变量的等式条件，求含三个变量的代数式最值的场景，核心思路是利用条件等式进行消元，将三变量问题转化为基本不等式可求解的单变量或双变量问题，消元后再结合和积定值、“1” 代换等方法套用基本不等式。 例14．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路方法07.先换元再均值 针对表达式结构复杂、变量关联隐蔽的最值问题，通过换元法（如整体换元、三角换元、代换变量为倒数等）将原有变量替换为新变量，简化代数式的结构，让新变量的表达式能明显配凑出和积定值，再套用基本不等式求解，是化繁为简的核心技巧。 例15．已知正实数，满足，则的最小值是_______． 例16．已知，，则的最小值________. 例17．已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例18．已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 思路方法08 二次函数型 例19．函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 例20．函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 三、高考练场 1．（多选）已知正数a，b满足，那么下列不等式中，恒成立的有( ) A. B. C. D. 2.（多选）已知，，，且，则( ) A. B. C. D. 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若，则 8.已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________． 9.已知，则的最小值为___________. 10．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $