专题04：正、余弦定理常考14个题型归纳讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题04：正余弦定理常考题型归纳】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 【知识点的认识】 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解． 2、三角形常用面积公式 1．Sa•ha（ha表示边a上的高）； 2．SabsinCacsinBbcsinA． 3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正余弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 1.正弦定理：（为外接圆半径） 2.余弦定理： 3.适用场景： 已知两角及一边（AAS/ASA）→正弦定理 已知两边及其中一边的对角（SSA）→正弦定理（注意解的个数） 已知两边及夹角（SAS）→余弦定理 已知三边（SSS）→余弦定理 解题思路 1.判类型：根据已知条件（角/边）选择正弦或余弦定理 2.代公式：代入对应定理，解出未知边或角 3.验解：利用三角形内角和及大边对大角验证解的合理性 名师点睛 已知“两边及其中一边对角”（SSA）时，需特别注意解的个数，可能有0、1、2个解 优先用内角和定理消元，减少计算量 若求角，优先用余弦定理（避免正弦值在内的双解问题） （24-25高一·全国·课堂例题）已知中，，，，，求，．经典例题1例题 （24-25高一·湖南·课后作业）已知△中，经典例题2例题 (1)若a＝3，，，求c； (2)若a＝8，，，求c； (3)若a＝7，，，求c； (4)若a＝14，，，求∠C． （22-23高一·全国·课堂例题）在中，已知，，，求c和．小试牛刀1 （24-25高一·全国·课堂例题）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数．小试牛刀2 （24-25高一·湖南·课后作业）在中，，，，求a，c的值．小试牛刀3 【题型2：正余弦定理边角互化求角】 【练方法】 知识梳理 1.边化角：，， 2.角化边：，， 3.核心：将混合式（含边和角）统一为全角或全边，再用三角恒等变换或代数变形求解 解题思路 1.统一形式：根据式子结构，选择“边化角”或“角化边” 含的齐次式→边化角 含的齐次式→角化边 2.化简：利用三角恒等变换（和差化积、二倍角）或代数变形，化简为单一角的方程 3.求角：解方程，结合确定角的大小 名师点睛 齐次式是边角互化的关键，非齐次式需先构造齐次式 求角时，优先用余弦定理，避免正弦值双解 注意时，或，结合三角形内角和判断 （25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ）经典例题1例题 A． B．或 C． D．或 （浙江金华第一中学等校2025-2026学年高二下学期开学数学练习试题）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______.经典例题2例题 （2026高一下·全国·专题练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_____________．小试牛刀1 （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则________．小试牛刀2 （25-26高三上·河南商丘·期末）在中，，则__________.小试牛刀3 【题型3：正余弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 1.核心场景：已知两边及其中一边的对角（SSA） 2.判断依据： 若：无解 若：1解（直角三角形） 若：2解 若：1解 解题思路 1.用正弦定理： 2.判范围：根据的值及的大小关系，判断解的个数 3.验内角和：若有解，验证，确保解的合理性 名师点睛 画图辅助判断：以为顶点，为邻边，为角，看的长度能否与另一边相交 若为钝角或直角，时才有解，时无解 解的个数问题常出现在选择题，可直接套用判断依据快速作答 （25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________.经典例题1例题 （2026高三上·贵州贵阳·专题练习）在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________.经典例题2例题 （23-24高一下·福建厦门·月考）在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________.小试牛刀1 （24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．小试牛刀2 （2025高三上·安徽六安·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________．小试牛刀3 【题型4：正余弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法： 角化边：将所有角化为边，用代数变形判断（如→直角三角形） 边化角：将所有边化为角，用三角恒等变换判断（如→等腰或直角三角形） 2.常见形状：等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形 解题思路 1.统一形式：选择“角化边”或“边化角”，将条件统一为全边或全角 2.化简变形： 角化边：用余弦定理展开，整理为边的平方关系 边化角：用正弦定理展开，结合三角恒等变换，得到角的关系 3.判形状：根据化简结果，判断三角形的形状（如→等腰，→直角） 名师点睛 优先用“角化边”，避免三角恒等变换的复杂性 若化简后得到，则或，需分情况讨论 注意“等腰直角三角形”是两种形状的组合，不可遗漏 （25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ）经典例题1例题 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 （24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（   ）经典例题2例题 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 （24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ）小试牛刀1 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 （25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀3 ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5：求周长面积】 【练方法】 知识梳理 1.周长： 2.面积公式： （为外接圆半径） 海伦公式：（） 解题思路 1.求边长：用正余弦定理求出未知边的长度 2.算周长：直接相加三边长度 3.算面积：选择合适的面积公式，代入已知边和角计算 名师点睛 已知两边及夹角时，优先用，计算最简便 若已知三边，优先用海伦公式，避免求角的复杂计算 面积问题常与周长、角的范围结合，注意综合应用 （25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·江苏南通·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（    ）经典例题2例题 A．12 B．9 C．6 D．3 （25-26高三上·河北·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·湖北·月考）在中，角的对边分别为．已知，则的面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【B·能力提升题型】 【题型1：与中线有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.中线长公式：在中，为边上的中线，则 2.向量法：，结合数量积计算 解题思路 1.用中线长公式：直接代入已知边的长度，计算中线长度 2.向量法：将中线表示为两边向量的平均，利用数量积计算长度或夹角 3.正余弦定理：将中线所在的三角形（如或）单独分析，用正余弦定理求解 名师点睛 中线长公式是解题的“神器”，可直接套用，避免复杂的向量或定理计算 若已知中线长度和两边，可反求第三边，注意平方关系的应用 向量法更通用，适用于复杂图形中的中线问题 （四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且．经典例题2例题 (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． （2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.小试牛刀1 (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. （25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，角所对的边分别为，已知，．小试牛刀2 (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． （25-26高三上·山西运城·期末）记的内角，，的对边分别为，，，且满足．小试牛刀3 (1)求； (2)设点为边的中点，，的面积为，求，． 【题型2：与角平分线有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.角平分线定理：在中，为的角平分线，则 2.角平分线长公式： 3.面积法：，结合面积公式计算 解题思路 1.角平分线定理：利用比例关系，将线段比转化为边比 2.角平分线长公式：代入已知边和线段长度，计算角平分线长度 3.面积法：将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，列方程求解 名师点睛 角平分线定理是比例问题的核心，优先用比例关系简化计算 角平分线长公式需结合角平分线定理使用，先求，再求 面积法适用于已知角平分线长度和两边的问题，可反求角的大小 （25-26高三下·安徽·开学考试）在中，内角的对边分别是，且．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． （25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.经典例题2例题 (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. （25-26高三上·江西赣州·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，若.小试牛刀1 (1)求的大小； (2)若，为角的平分线，点在线段上，，求的面积. （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且.小试牛刀2 (1)若，求的长； (2)若，求的面积. （25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知.小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【题型3：与爪型结构有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.爪型结构：三角形内一点，连接，形成“爪”形 2.核心工具： 面积法： 正弦定理：在小三角形中应用正弦定理，建立角与边的关系 余弦定理：在小三角形中应用余弦定理，建立边与角的关系 解题思路 1.拆三角形：将爪型结构拆分为多个小三角形（如） 2.列方程：在每个小三角形中应用正余弦定理，或用面积法列方程 3.解方程组：联立方程，求解未知边或角 名师点睛 爪型结构问题常与“奔驰定理”结合，可快速建立向量与面积的关系 优先用面积法，将复杂的边、角关系转化为面积和的形式 注意小三角形之间的角的关系（如） （2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，求. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，．经典例题2例题 (1)求证：； (2)若，求的值．（注：） （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上，小试牛刀1 (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． （2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. （25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．小试牛刀3 (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【题型4：多个几何图形综合计算】 【练方法】 知识梳理 1.常见组合：三角形与四边形、三角形与圆、多个三角形拼接 2.核心方法： 分解法：将复杂图形分解为多个三角形，逐个求解 公共边/角：利用公共边或公共角，建立不同三角形之间的关系 正余弦定理：在每个三角形中应用正余弦定理，逐步求解 解题思路 1.分解图形：将复杂图形分解为若干个三角形，明确各三角形的已知条件 2.找公共元素：识别公共边、公共角，作为连接各三角形的桥梁 3.分步求解：从已知条件最充分的三角形开始，用正余弦定理求解，逐步推进 4.整合结果：将各三角形的结果整合，得到最终答案 名师点睛 分解法是解决综合图形问题的核心，避免直接处理复杂图形 公共边/角是解题的关键，优先从公共元素入手，建立方程 注意各三角形之间的约束关系（如边长和、角和），避免矛盾解 （山东日照市2026届高三下学期一轮模拟考试数学试题）在中，角的对边分别为，若．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． （25-26高三上·湖北武汉·期末）中，，是内一点，．经典例题2例题 (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． （25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，.小试牛刀1 (1)证明：； (2)若，求的长. （25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，且，求的长． （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的角所对边分别为．小试牛刀3 (1)求； (2)如图，，点是延长线上一点，且，求长. 【C·拓展培优题型】 【题型1：求周长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，，，周长 余弦定理：，结合基本不等式 2.约束条件：， 解题思路 1.角化边：用正弦定理将周长表示为角的函数， 2.边化角：用余弦定理将边的关系转化为角的关系，结合基本不等式求范围 3.求最值：利用三角函数的有界性或基本不等式，求周长的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 优先用“角化边”，将周长转化为三角函数，利用三角函数的有界性求范围 已知一边及对角时，优先用正弦定理，将周长表示为角的函数 注意三角形的锐角/钝角约束，会影响角的范围，进而影响周长的范围 （2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围经典例题2例题 （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围小试牛刀1 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. （2025高三上·河南南阳·专题练习）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，．小试牛刀3 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【题型2：求面积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 面积公式： 余弦定理：，结合基本不等式 正弦定理： 2.约束条件：， 解题思路 1.选公式：根据已知条件，选择合适的面积公式 2.化函数：将面积表示为单变量函数（角或边） 3.求最值：利用三角函数的有界性、基本不等式或函数单调性，求面积的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 已知两边及夹角时，优先用，结合的有界性求范围 已知一边及对角时，优先用正弦定理，将面积表示为角的函数，利用三角函数的有界性求范围 面积的最大值常出现在三角形为等腰或等边三角形时，可优先验证 （25-26高三上·湖南·月考）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．经典例题2例题 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． （25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. （25-26高三上·新疆昌吉·月考）在中，，，分别为内角，，的对边，且，.小试牛刀2 (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. （2025高三上·广东肇庆·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【题型3：与角有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，， 余弦定理：，结合基本不等式 三角恒等变换：和差化积、二倍角公式，将角的关系转化为单一角的函数 2.约束条件：， 解题思路 1.化单一角：利用内角和定理，将角的关系转化为单一角的函数 2.求范围：利用三角函数的有界性或基本不等式，求角的最值与范围 3.验约束：验证角的范围是否符合三角形的几何约束（如锐角/钝角） 名师点睛 优先用余弦定理求角的范围，避免正弦值双解的问题 角的范围常与边的范围关联，注意边的约束对角度的影响 若求的范围，可结合基本不等式，快速得到的下界 （25-26高三上·江苏宿迁·期中）在锐角中，角所对的边分别为.经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)求的取值范围. （2025·江苏淮安·模拟预测）在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为．已知．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． （25-26高三上·河南周口·月考）在中，，则的取值范围为________．小试牛刀2 （2025·辽宁·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)求的取值范围． 【题型4：与比值有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，将边比转化为角比 余弦定理：，结合三角恒等变换 基本不等式：（） 2.约束条件：， 解题思路 1.化角比：用正弦定理将边比转化为角比 2.化函数：将比值表示为单一角的函数 3.求范围：利用三角函数的有界性或基本不等式，求比值的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 边比优先用正弦定理转化为角比，再用三角恒等变换化简 比值的最值常出现在三角形为等腰或等边三角形时，可优先验证 若比值含参数，可结合参数的范围，进一步缩小比值的范围 （25-26高三上·江西·月考）记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 （25-26高二上·湖南长沙·开学考试）在中，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·浙江嘉兴·一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________．小试牛刀1 （25-26高二上·云南·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若D是边的中点，，，求的面积； (3)求的最大值. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若，求的取值范围. 【题型5：几何图形中的线段，面积范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正余弦定理：将线段长度表示为角或边的函数 面积公式：将面积表示为角或边的函数 三角函数的有界性、基本不等式：求函数的最值与范围 2.约束条件：几何图形的边长、角度约束 解题思路 1.建模：将几何图形中的线段、面积表示为角或边的函数 2.求范围：利用三角函数的有界性、基本不等式或函数单调性，求线段、面积的最值与范围 3.验约束：验证结果是否符合几何图形的约束条件 名师点睛 优先用“角化边”，将线段、面积转化为三角函数，利用三角函数的有界性求范围 几何图形的约束条件（如边长和、角和）是解题的关键，不可忽略 若图形为圆内接三角形，可结合外接圆半径，用正弦定理简化计算 （24-25高一下·江苏盐城·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．经典例题1例题 (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． （2025高三·全国·专题练习）如图，半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上运动，，．经典例题2例题 (1)求的面积的最大值； (2)求的取值范围； (3)求四边形的面积的最大值； (4)求证：的长为定值． （24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．小试牛刀1 (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． （2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.小试牛刀2    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. （24-25高一下·浙江宁波·期末）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.小试牛刀3    (1)当时，求四边形的周长； (2)当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 2．（河南九师联盟2026届高三下学期质量检测数学试题）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 5．（25-26高三上·云南·期末）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．9 D．15 二、多选题 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 7．（江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测数学试卷）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．（浙江省新阵地教育联盟2026届高三第二次联考数学试题）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 三、填空题 10．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 12．（安徽铜陵市枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期综合素质检测数学试题）已知分别为三个内角的对边，且，则___________. 13．（浙江省强基联盟2026年3月高三联考数学试题）已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题 14．（湖北襄阳市2026届高三年级3月统一调研测试数学试题）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 15．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知且，试判断该三角形的形状． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 18．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 19．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 20．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题04：正余弦定理常考题型归纳】 总览 题型梳理 【基础知识梳理】 【知识点的认识】 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解． 2、三角形常用面积公式 1．Sa•ha（ha表示边a上的高）； 2．SabsinCacsinBbcsinA． 3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）． 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正余弦定理解三角形】 【练方法】 知识梳理 1.正弦定理：（为外接圆半径） 2.余弦定理： 3.适用场景： 已知两角及一边（AAS/ASA）→正弦定理 已知两边及其中一边的对角（SSA）→正弦定理（注意解的个数） 已知两边及夹角（SAS）→余弦定理 已知三边（SSS）→余弦定理 解题思路 1.判类型：根据已知条件（角/边）选择正弦或余弦定理 2.代公式：代入对应定理，解出未知边或角 3.验解：利用三角形内角和及大边对大角验证解的合理性 名师点睛 已知“两边及其中一边对角”（SSA）时，需特别注意解的个数，可能有0、1、2个解 优先用内角和定理消元，减少计算量 若求角，优先用余弦定理（避免正弦值在内的双解问题） （24-25高一·全国·课堂例题）已知中，，，，，求，．经典例题1例题 【答案】， 【分析】代入正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可得． 由正弦定理得． 又， 于是． 同理可得． （24-25高一·湖南·课后作业）已知△中，经典例题2例题 (1)若a＝3，，，求c； (2)若a＝8，，，求c； (3)若a＝7，，，求c； (4)若a＝14，，，求∠C． 【答案】(1)； (2)； (3) (4)或. 【分析】（1）根据余弦定理，代值计算即可； （2）根据余弦定理，代值计算即可； （3）根据三角形内角和求得，再利用正弦定理即可求得结果； （4）根据正弦定理求得，再根据三角形内角和即可求得. 【详解】（1）根据余弦定理：可得， 整理得，解得 （舍）或. 故 . （2）根据余弦定理：可得， 整理得，解得（舍）或. 故. （3）因为，故可得， 由正弦定理可得，解得. （4）由正弦定理可得，解得，故或， 当时，；当，. 故或. （22-23高一·全国·课堂例题）在中，已知，，，求c和．小试牛刀1 【答案】c＝2， 【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解. 【详解】由余弦定理得 ＝4， 所以． 再由余弦定理可得 ． 因为是三角形的内角，所以． （24-25高一·全国·课堂例题）已知的三边分别为，和，试求最大内角的度数．小试牛刀2 【答案】 【分析】首先确定最大内角，再根据余弦定理求解. 【详解】根据三角形中大边对大角的原理可知，是的最大内角． 由余弦定理得 ． 因为是三角形的内角，所以．因此的最大内角为． （24-25高一·湖南·课后作业）在中，，，，求a，c的值．小试牛刀3 【答案】a=3，c=3 【分析】根据余弦定理可得，根据完全平方公式可得，进而求出，与组成方程组，解之即可. 【详解】由余弦定理，得， 有，得， 由，得， 所以，解得， 所以，解得. 所以. 【题型2：正余弦定理边角互化求角】 【练方法】 知识梳理 1.边化角：，， 2.角化边：，， 3.核心：将混合式（含边和角）统一为全角或全边，再用三角恒等变换或代数变形求解 解题思路 1.统一形式：根据式子结构，选择“边化角”或“角化边” 含的齐次式→边化角 含的齐次式→角化边 2.化简：利用三角恒等变换（和差化积、二倍角）或代数变形，化简为单一角的方程 3.求角：解方程，结合确定角的大小 名师点睛 齐次式是边角互化的关键，非齐次式需先构造齐次式 求角时，优先用余弦定理，避免正弦值双解 注意时，或，结合三角形内角和判断 （25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ）经典例题1例题 A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A （浙江金华第一中学等校2025-2026学年高二下学期开学数学练习试题）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______.经典例题2例题 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再利用辅助角公式可得出，可求出. 【详解】由正弦定理得，因此可知， 代入余弦定理，得， 同除以得，即，其中， 当且仅当，即时，等号成立； 故，即，因此. （2026高一下·全国·专题练习）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_____________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】先应用正弦定理及诱导公式化简得出，最后结合角的范围求解角. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 因为 ， 所以． 因为，所以． 因为，所以， 故答案为： （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则________．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： （25-26高三上·河南商丘·期末）在中，，则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】应用平方差公式、平方和关系、正弦定理、余弦定理，即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 即， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 又，所以. 故答案为： 【题型3：正余弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 知识梳理 1.核心场景：已知两边及其中一边的对角（SSA） 2.判断依据： 若：无解 若：1解（直角三角形） 若：2解 若：1解 解题思路 1.用正弦定理： 2.判范围：根据的值及的大小关系，判断解的个数 3.验内角和：若有解，验证，确保解的合理性 名师点睛 画图辅助判断：以为顶点，为邻边，为角，看的长度能否与另一边相交 若为钝角或直角，时才有解，时无解 解的个数问题常出现在选择题，可直接套用判断依据快速作答 （25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. （2026高三上·贵州贵阳·专题练习）在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________.经典例题2例题 【答案】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式先求出角，然后根据三角形有两解，得出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据正弦定理得：， 因为，所以， 所以有， 即， 所以， 在中，，所以， 由，所以， 又，若有两解， 则，即， 解得：， 所以的取值范围是. （23-24高一下·福建厦门·月考）在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是_________.小试牛刀1 【答案】 【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以， 即，解得，即. 法二：在中，，，如下图所示：    若使得角有两个解，则，即. 故答案为：. （24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，，请写出一个的值是 __ ，使得满足条件的三角形恰有两个．小试牛刀2 【答案】3(答案不唯一) 【分析】要使得满足条件的有两个，需结合三角形解的个数来分析. 【详解】解：要使三角形有两个解，需满足要使三角形有两个解，需满足： 代入，,得， 所以，. 因此，可以取3(也可取2到4之间的任意数） 故答案为：3(答案不唯一) （2025高三上·安徽六安·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，，若存在且唯一确定，则的范围是________．小试牛刀3 【答案】或. 【分析】根据题意，结合正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】由中，，，要使得存在且唯一确定， 当时，如图（1）所示，则满足； 当时，如图（2）所示，则满足. 故答案为：或.    【题型4：正余弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 知识梳理 1.核心方法： 角化边：将所有角化为边，用代数变形判断（如→直角三角形） 边化角：将所有边化为角，用三角恒等变换判断（如→等腰或直角三角形） 2.常见形状：等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形 解题思路 1.统一形式：选择“角化边”或“边化角”，将条件统一为全边或全角 2.化简变形： 角化边：用余弦定理展开，整理为边的平方关系 边化角：用正弦定理展开，结合三角恒等变换，得到角的关系 3.判形状：根据化简结果，判断三角形的形状（如→等腰，→直角） 名师点睛 优先用“角化边”，避免三角恒等变换的复杂性 若化简后得到，则或，需分情况讨论 注意“等腰直角三角形”是两种形状的组合，不可遗漏 （25-26高三上·陕西咸阳·期末）若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ）经典例题1例题 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. （24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（   ）经典例题2例题 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】将代入，化简即可. 【详解】由已知条件得， 代入余弦定理公式化简得，即， ， . 故选：B （24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ）小试牛刀1 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C （25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D （25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀3 ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和差角的余弦公式判断①，根据正弦定理判断②，结合锐角三角形及正弦函数的性质判断③，结合两角和的余弦公式判断④. 【详解】对于①：若，即， 即，则， 所以，所以， 又，所以，所以，则，所以， 则一定是等腰三角形，故①正确； 对于②：在中，由正弦定理及，得，故②正确； 对于③：由是锐角三角形，得，所以， 又在上单调递增， 因此，即，故③正确； 对于④：由，得，在中，， 所以， 则，即，于是， 即，所以，因此是钝角，则为钝角三角形，故④错误. 故选：C 【题型5：求周长面积】 【练方法】 知识梳理 1.周长： 2.面积公式： （为外接圆半径） 海伦公式：（） 解题思路 1.求边长：用正余弦定理求出未知边的长度 2.算周长：直接相加三边长度 3.算面积：选择合适的面积公式，代入已知边和角计算 名师点睛 已知两边及夹角时，优先用，计算最简便 若已知三边，优先用海伦公式，避免求角的复杂计算 面积问题常与周长、角的范围结合，注意综合应用 （25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理得，进而得到，接着可得，再利用余弦定理求出，根据正弦定理求的边，最后利用三角和差和三角形面积公式求解即可． 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理得， , 所以，即， 因为，所以； 由得， 因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，因为，所以， 由正弦定理得，即， ，， 所以三角形的面积为． 故选：A． （2025·江苏南通·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（    ）经典例题2例题 A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】利用余弦定理变形给定等式可得，再利用直角三角形边角关系求出即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得，整理得， 因此，而，则，又， 于是，，而，则， 所以面积. 故选：C （25-26高三上·河北·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理转化求出，再由同角的三角函数关系求出,代入面积公式计算即得. 【详解】由正弦定理可得， 则，即，则为锐角 由可得， 则. 故选：D. （25-26高三上·湖北·月考）在中，角的对边分别为．已知，则的面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，得到，求得，再由余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，， 又因为，可得，所以，即， 因为，则， 由余弦定理得， 所以的面积为． 故选：A. （23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 【B·能力提升题型】 【题型1：与中线有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.中线长公式：在中，为边上的中线，则 2.向量法：，结合数量积计算 解题思路 1.用中线长公式：直接代入已知边的长度，计算中线长度 2.向量法：将中线表示为两边向量的平均，利用数量积计算长度或夹角 3.正余弦定理：将中线所在的三角形（如或）单独分析，用正余弦定理求解 名师点睛 中线长公式是解题的“神器”，可直接套用，避免复杂的向量或定理计算 若已知中线长度和两边，可反求第三边，注意平方关系的应用 向量法更通用，适用于复杂图形中的中线问题 （四川省部分学校2026届高三下学期综合素质模拟预测数学试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且．经典例题2例题 (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行求解即可； （2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有 ， ． （2）由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． （2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.小试牛刀1 (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理列方程求得. （2）利用向量法列方程，化简后求得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. （25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，角所对的边分别为，已知，．小试牛刀2 (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，由角化边，求出三边的数量关系，进而根据余弦定理求出，求出结果. （2）根据三角形中线的向量表示，求出三边的关系，进而求出的值，再根据正弦面积公式，求出结果即可. 【详解】（1）由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. （2） 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. （25-26高三上·山西运城·期末）记的内角，，的对边分别为，，，且满足．小试牛刀3 (1)求； (2)设点为边的中点，，的面积为，求，． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理化简可得，再结合，即可求得，从而可求解； （2）由题可得，两边同时平方后化简可得，再结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即. 因为，所以， 所以，则， 又因为，则， 所以，解得. （2）由题得， 所以， 所以. 又因为，则① 由，得，② 由①②得. 【题型2：与角平分线有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.角平分线定理：在中，为的角平分线，则 2.角平分线长公式： 3.面积法：，结合面积公式计算 解题思路 1.角平分线定理：利用比例关系，将线段比转化为边比 2.角平分线长公式：代入已知边和线段长度，计算角平分线长度 3.面积法：将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，列方程求解 名师点睛 角平分线定理是比例问题的核心，优先用比例关系简化计算 角平分线长公式需结合角平分线定理使用，先求，再求 面积法适用于已知角平分线长度和两边的问题，可反求角的大小 （25-26高三下·安徽·开学考试）在中，内角的对边分别是，且．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用两角和正弦公式化简，再应用诱导公式计算得出余弦值即可求解角； （2）根据余弦定理计算，应用角平分线定理结合面积公式计算求解. 【详解】（1）由得， ， 所以， 即， 因为，所以， 则，所以． （2）中，由余弦定理得， 即①， 因为为的角平分线， 所以， 即②， 联立①②，解得， 所以． （25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.经典例题2例题 (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算 （2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值. 【详解】（1）由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. （2）因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. （25-26高三上·江西赣州·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，若.小试牛刀1 (1)求的大小； (2)若，为角的平分线，点在线段上，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用结合三角形的面积公式可得出，再结合余弦定理可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得 ， 所以， 因为、，故，所以，故. （2）因为为角的角平分线，由， 所以，     因为，解得①.     又，由余弦定理知，从而②.     由①②解得，从而的面积为. （25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知在中，角是的角平分线，且.小试牛刀2 (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【详解】（1）因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）由知，， 由角平分线定理可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时，，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. （25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知.小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 【题型3：与爪型结构有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1.爪型结构：三角形内一点，连接，形成“爪”形 2.核心工具： 面积法： 正弦定理：在小三角形中应用正弦定理，建立角与边的关系 余弦定理：在小三角形中应用余弦定理，建立边与角的关系 解题思路 1.拆三角形：将爪型结构拆分为多个小三角形（如） 2.列方程：在每个小三角形中应用正余弦定理，或用面积法列方程 3.解方程组：联立方程，求解未知边或角 名师点睛 爪型结构问题常与“奔驰定理”结合，可快速建立向量与面积的关系 优先用面积法，将复杂的边、角关系转化为面积和的形式 注意小三角形之间的角的关系（如） （2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．经典例题1例题 (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，．经典例题2例题 (1)求证：； (2)若，求的值．（注：） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，进而得到，即可求证； （2）在中，由正弦定理得到，再结合（1）得到，进而可求解. 【详解】（1）在Rt中，，． ， ，即． ，． （2）在中，根据正弦定理得 又，， ， 由（1）知，． 解得或． ，， （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在中，，点D在线段上，小试牛刀1 (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得. （2）在中分别利用正弦定理，再结合已知求出. 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理，得，所以. （2）在中，，而，， 则，又，因此， 在中，， 所以. （2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及三角恒等变换得到，求出； （2）根据向量数量积为0和（1）可知，设，则，得到，在中，由正弦定理得可得，又，从而可得方程，求出故，为锐角，结合同角三角函数平方关系求出答案. 【详解】（1）因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. （2）因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. （25-26高三上·浙江湖州·期末）在中，是线段上一点，且，，设．小试牛刀3 (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值；     （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值．     （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此. （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以． （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.     方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 【题型4：多个几何图形综合计算】 【练方法】 知识梳理 1.常见组合：三角形与四边形、三角形与圆、多个三角形拼接 2.核心方法： 分解法：将复杂图形分解为多个三角形，逐个求解 公共边/角：利用公共边或公共角，建立不同三角形之间的关系 正余弦定理：在每个三角形中应用正余弦定理，逐步求解 解题思路 1.分解图形：将复杂图形分解为若干个三角形，明确各三角形的已知条件 2.找公共元素：识别公共边、公共角，作为连接各三角形的桥梁 3.分步求解：从已知条件最充分的三角形开始，用正余弦定理求解，逐步推进 4.整合结果：将各三角形的结果整合，得到最终答案 名师点睛 分解法是解决综合图形问题的核心，避免直接处理复杂图形 公共边/角是解题的关键，优先从公共元素入手，建立方程 注意各三角形之间的约束关系（如边长和、角和），避免矛盾解 （山东日照市2026届高三下学期一轮模拟考试数学试题）在中，角的对边分别为，若．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解； （2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，得， 因，则， 代入化简得 ，即， 则， ，解得. （2）令，， 在中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得， ， 设外接圆的半径， 由正弦定理，. （25-26高三上·湖北武汉·期末）中，，是内一点，．经典例题2例题 (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【详解】（1）根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. （2）因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. （25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，.小试牛刀1 (1)证明：； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别在和中使用余弦定理，列出方程组求解出，即可得证. （2）令，用表示出，利用解出，进而可得，在中使用正弦定理再结合求解出，最后在中使用余弦定理求出. 【详解】（1）证明：设，，. 在中，由余弦定理：，即. 在中，由余弦定理：，即. 又，. 又，即，，代入上式展开化简得：，解得. ，即. （2）由（1）知，，. 在上取一点，使， 因为，，，所以， 设，，，,则. ，即，. ，. 即，解得或（舍）. 即，. 在中，由正弦定理得：，得. 又，即，解得或（舍）. 在中，由余弦定理得，解得. （25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理先求，再由三角形的面积公式即可求解； （2）利用正弦定理先求，再由三角恒等变换得，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的角所对边分别为．小试牛刀3 (1)求； (2)如图，，点是延长线上一点，且，求长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）在中，由正弦定理即可求解. 【详解】（1）由，结合正弦定理边化角可得： ，又，, 所以，即，又， 所以. （2）在中，由正弦定理可得： ， 又， 所以. 【C·拓展培优题型】 【题型1：求周长的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，，，周长 余弦定理：，结合基本不等式 2.约束条件：， 解题思路 1.角化边：用正弦定理将周长表示为角的函数， 2.边化角：用余弦定理将边的关系转化为角的关系，结合基本不等式求范围 3.求最值：利用三角函数的有界性或基本不等式，求周长的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 优先用“角化边”，将周长转化为三角函数，利用三角函数的有界性求范围 已知一边及对角时，优先用正弦定理，将周长表示为角的函数 注意三角形的锐角/钝角约束，会影响角的范围，进而影响周长的范围 （2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围经典例题2例题 【答案】 【分析】正弦定理化边为角，利用和差角公式和半角公式，结合三角形为锐角三角形即可求解. 【详解】在锐角中，已知， 则有， 由正弦定理得， 所以周长 ， 因为锐角，有，所以， ，， 由正切函数单调性可知，所以. （2026高三·全国·专题练习）在锐角中，已知，且，求周长的取值范围小试牛刀1 【答案】 【分析】正弦定理化边为角，利用和差公式辅助角公式，结合三角形为锐角三角形即可求解. 【详解】在锐角中，已知，且， 由正弦定理得 ， 周长 ， 因为为锐角三角形， 所以， 所以三角形周长的范围是. （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. （2025高三上·河南南阳·专题练习）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，．小试牛刀3 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化简得出，结合余弦定理可求出的值，再由角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：求出，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出周长的取值范围； 解法二：求出，设，求出的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围，进而可得出周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． 【题型2：求面积的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 面积公式： 余弦定理：，结合基本不等式 正弦定理： 2.约束条件：， 解题思路 1.选公式：根据已知条件，选择合适的面积公式 2.化函数：将面积表示为单变量函数（角或边） 3.求最值：利用三角函数的有界性、基本不等式或函数单调性，求面积的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 已知两边及夹角时，优先用，结合的有界性求范围 已知一边及对角时，优先用正弦定理，将面积表示为角的函数，利用三角函数的有界性求范围 面积的最大值常出现在三角形为等腰或等边三角形时，可优先验证 （25-26高三上·湖南·月考）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换的有关公式结合三角形内角和定理，得到，再根据求角. （2）确定角的值，根据正弦定理表示出边，利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质，求的面积的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 即，又， 所以，又，所以或． （2）因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，， 即， 则 ， 又，解得， 则，， 所以． （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．经典例题2例题 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以， 即． 因为，所以，，又已知，所以． （2）方法一：在中，由余弦定理得， 又因为，，所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得， 所以，， 所以的面积 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 取得最大值， 即面积的最大值为． （25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. （25-26高三上·新疆昌吉·月考）在中，，，分别为内角，，的对边，且，.小试牛刀2 (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. （2025高三上·广东肇庆·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 【题型3：与角有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，， 余弦定理：，结合基本不等式 三角恒等变换：和差化积、二倍角公式，将角的关系转化为单一角的函数 2.约束条件：， 解题思路 1.化单一角：利用内角和定理，将角的关系转化为单一角的函数 2.求范围：利用三角函数的有界性或基本不等式，求角的最值与范围 3.验约束：验证角的范围是否符合三角形的几何约束（如锐角/钝角） 名师点睛 优先用余弦定理求角的范围，避免正弦值双解的问题 角的范围常与边的范围关联，注意边的约束对角度的影响 若求的范围，可结合基本不等式，快速得到的下界 （25-26高三上·江苏宿迁·期中）在锐角中，角所对的边分别为.经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解.（2）利用，将化简为，再利用三角恒等变形化简，利用角的范围求函数的值域. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：，因为在锐角中，，， 所以，由于， 则. （2）因为， 所以， ， 因为在锐角中，，所以 ， ， 的范围是. （2025·江苏淮安·模拟预测）在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为．已知．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理或者三角恒等变换等知识化简已知条件，从而求得. （2）将转化为，根据的取值范围，求得的取值范围. 【详解】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，， 再由余弦定理，得，则， 又因为，所以， 因为，所以． 解法2：因为， 所以， 所以， 所以 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以． （25-26高三上·河南周口·月考）在中，，则的取值范围为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】先由两角差的正弦公式化简等式，再分和两种情况结合余弦函数的单调性得到，进而有，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的取值可得. 【详解】因为，所以， 则有，即． 因为在中，，则． 当时，，所以， 因为在上单调递减，所以，则，所以不成立； 当时，，所以， 而，即，所以不成立； 因此，则， 令，则，则， 因为在中，，则，则， 所以， 令，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以． 故答案为：. （2025·辽宁·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理计算，再结合角的范围求解； （2）应用两角和差正弦公式计算化简，再应用正弦函数值域计算. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，而，故， 因为是锐角三角形，所以，有； （2）利用（1）中结论，结合三角形内角和的条件，有： 因为是锐角三角形，可得，，所以 所以，的取值范围是． 【题型4：与比值有关的最值与范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正弦定理：，将边比转化为角比 余弦定理：，结合三角恒等变换 基本不等式：（） 2.约束条件：， 解题思路 1.化角比：用正弦定理将边比转化为角比 2.化函数：将比值表示为单一角的函数 3.求范围：利用三角函数的有界性或基本不等式，求比值的最值与范围 4.验等号：验证等号成立条件，确保符合三角形的几何约束 名师点睛 边比优先用正弦定理转化为角比，再用三角恒等变换化简 比值的最值常出现在三角形为等腰或等边三角形时，可优先验证 若比值含参数，可结合参数的范围，进一步缩小比值的范围 （25-26高三上·江西·月考）记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先根据题设结合正弦定理，三角恒等变换公式化简得到，进而得到，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得， 根据正弦定理得， 而， 于是，其中， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 故选：B． （25-26高二上·湖南长沙·开学考试）在中，，则的最大值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先由正弦定理化简可得，即得，从而可求解. 【详解】设，，， 则， 故由正弦定理可知， ， 于是， 其中，当且仅当时，等号成立，故B正确. 故选:B. （2025·浙江嘉兴·一模）记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用，结合余弦定理解出、的值，后续法一：利用正弦定理将转化为角C的函数，再结合辅助角公式化简为，进一步考虑的范围即可求解；法二：利用导数求解的单调性，结合角C的范围即可求解；法三：求出后，回代余弦定理等式再将化为含b、c的齐次分式，最后通过换元利用对角函数的单调性即可求解． 【详解】由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. 方法一：由正弦定理得 ，其中，且， 又，所以， 又， 所以，所以的取值范围是． 方法二：，令，因为，而，所以，所以，在上单调递减，所以在单调递减，，，所以的取值范围是． 方法三：由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，所以， 令得， 再令，则，所以 又因为在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是． 故答案为：． （25-26高二上·云南·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若D是边的中点，，，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合同角三角关系运算求解即可； （2）根据中点可得，结合数量积可得，进而可求面积； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，换元结合二次函数求最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理可得， 且，则，可得， 联立方程，解得或（舍去）， 所以. （2）因为是的中点，则， 两边平方可得， 即，解得，， 又因为，所以. （3）由正弦定理可得， 且，， 则 . 令，则， 所以当时，取得最大值. （22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件及余弦定理即可求解； （2）由（1）知.根据，推得.在中，由，，可得，.设，根据正弦函数的性质及同角三角函数的平方关系将问题转化为，，最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）∵，，∴， 在中，由余弦定理得，化简整理得， ∴由余弦定理得， ∵，∴. （2）由（1）知. ∵，∴，∴. 在中，∵，，又， ∴，. ∵，且，∴. 令，因为，所以 则，， ∴，， 令，，∵在上单调递增，∴. 又在上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得在上单调递减，∴， 即的取值范围为. 【题型5：几何图形中的线段，面积范围】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具： 正余弦定理：将线段长度表示为角或边的函数 面积公式：将面积表示为角或边的函数 三角函数的有界性、基本不等式：求函数的最值与范围 2.约束条件：几何图形的边长、角度约束 解题思路 1.建模：将几何图形中的线段、面积表示为角或边的函数 2.求范围：利用三角函数的有界性、基本不等式或函数单调性，求线段、面积的最值与范围 3.验约束：验证结果是否符合几何图形的约束条件 名师点睛 优先用“角化边”，将线段、面积转化为三角函数，利用三角函数的有界性求范围 几何图形的约束条件（如边长和、角和）是解题的关键，不可忽略 若图形为圆内接三角形，可结合外接圆半径，用正弦定理简化计算 （24-25高一下·江苏盐城·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．经典例题1例题 (1)若，求； (2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)验证见解析，1 (3)14 【分析】（1）在中，由余弦定理求得,结合，得是等边三角形，即可求出； （2）在与中，分别用余弦定理表示，即可证明； （3）分别表示出，则，由（2）知：，代入消去角，利用三角函数求最值即可． 【详解】（1）由，．， 在中，由余弦定理得, 所以. 又，所以是等边三角形， 所以； （2）在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得， ∴ 所以为定值； （3）， 则， 由（2）知：，∴ 代入上式得：， 配方得：， ∵ 又, 所以当时，取到最大值14． （2025高三·全国·专题练习）如图，半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上运动，，．经典例题2例题 (1)求的面积的最大值； (2)求的取值范围； (3)求四边形的面积的最大值； (4)求证：的长为定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）设，表达出，得到答案； （2）表达出，结合求出最值，得到答案； （3）利用和差化积公式得到； （4）由余弦定理得到，利用三角恒等变换和和差化积公式得到答案. 【详解】（1）设，则， 其中，同理可得． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最大值为． （2） ， 因为，所以，， 故的取值范围是； （3） ， 当且仅当，即时，等号成立，所求最大值为． （4）由余弦定理得 ， 所以，即的长为定值． （24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．小试牛刀1 (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. （2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.小试牛刀2    (1)求的长. (2)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的长； （2）先求出，然后由为锐角三角形，求出角的范围，再利用正弦定理表示出，从而可表示出面积，化简后结合角的范围可求得结果. 【详解】（1）在中，，，则 ， 由正弦定理得，， 所以， 因为 ， 所以； （2）因为，，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 在中，由正弦定理得， 则 ， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即. （24-25高一下·浙江宁波·期末）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.小试牛刀3    (1)当时，求四边形的周长； (2)当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）依题意由余弦定理求出的长，即可求得正三角形的边长，进一步可求得四边形的周长. （2）设，由余弦定理表示出，再表示出四边形的面积，由三角函数性质即可求解. （3）解法一：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，进一步求得，即可求得的值； 解法二：依题意求得的最大值及取最大值时的条件，再由余弦定理求得的长，即可求得，的大小，由角平分线性质求得，的长，由平分得，利用向量运算得，从而利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 所以四边形的周长为. （2）设，在中，由余弦定理得， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3）解法一：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 下证角平分线性质： 已知中，是的角平分线，交于，求证：. 证明：在中， ，在中，， 因为是的角平分线，所以， 又，所以. 由，A，C，B四点共圆，由相交弦定理，得，或（舍去）. 在中，， 所以. 解法二：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 由A，O，B，C四点共圆知，平分， 所以，故. 于是 . 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 2．（河南九师联盟2026届高三下学期质量检测数学试题）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得 ， 在中，根据余弦定理， ， 所以. 3．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解. 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】设外接圆半径为. 由正弦定理可得，， 所以，，. 所以. 故选：C. 5．（25-26高三上·云南·期末）在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．9 D．15 【答案】A 【分析】由正弦定理进行边角互化，再使用基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 由正弦定理可得， 整理得，则有， 即，，， 当且仅当时，等号成立， 因为周长为， 故周长的最大值为． 二、多选题 6．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 7．（江西省重点中学盟校2026届高三第一次质量检测数学试卷）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 9．（浙江省新阵地教育联盟2026届高三第二次联考数学试题）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．的外接圆半径为1 D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得： ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 三、填空题 10．（25-26高一下·山西临汾·开学考试）在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】借助三角形面积公式可得，再利用余弦定理计算可得，即可得该三角形周长. 【详解】，则， ， 化简得，解得（负值舍去）， 则的周长为. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件，根据余弦定理，可得，所以.根据正弦定理，得． 【详解】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 12．（安徽铜陵市枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期综合素质检测数学试题）已知分别为三个内角的对边，且，则___________. 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，求得角，再由结合，即可求解. 【详解】由正弦定理：， ， ， 所以 ，则， ，， 又， 则， 又， . 13．（浙江省强基联盟2026年3月高三联考数学试题）已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 【答案】 【详解】解法一：， 所以，或， 所以为直角三角形， 当时， ，其中， 所以当，的最大值为； 当时，同理可得的最大值为； 当时，． 综上的最大值为． 解法二：先降次再用和差化积，由题知， 所以．进而， 所以， 即． 化简得，于是为直角三角形． 下同解法一． 四、解答题 14．（湖北襄阳市2026届高三年级3月统一调研测试数学试题）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 15．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知且，试判断该三角形的形状． 【答案】该三角形是以为直角的直角三角形 【分析】由正弦定理角化边分别得到，，联立即可判断. 【详解】由正弦定理可得：． ，① 又，由正弦定理得．② 由①②，得． ∴该三角形是以为直角的直角三角形． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 18．（25-26高一下·全国·课后作业）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理得解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 即． 故，又，所以， 所以，所以． （2）由已知，又，所以， 由已知及余弦定理得， 故，所以， 所以的周长为， 19．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理可求得，即可知； （2）选择条件①由可求得，再利用三角形面积公式计算可得结果； 选择条件②时，由可得，利用正弦定理可得，结合恒等变换以及三角形面积公式计算即可； 选择条件③时，因为，，不存在这样的三角形，不合题意. 【详解】（1）由正弦定理，可得 又因为，因此， 又因为 因此 （2）由（1）中，代入得； 选①时，， 由得， 又因为，因此，故； 而， 因此三角形面积为； 选②时，，因为，因此， 由正弦定理可得； 而， 因此三角形面积为； 不能选③，因为此时，不是三角形. 20．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $