相交线与平行线单元复习（交互动画）七年级数学

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义、命题、定理典型例题 题型1：命题的识别与结构分析 下列句子中，是命题的是() A.对项角相等 B.a,b两条直线平行吗 C.画一个角等于己知角 D.过一点画己知直线的垂线 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意： B、α，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意： C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A. 题型2：真命题与假命题的判断 下列命题为真命题的有() ①内错角相等：②对顶角相等：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④过一点有 且只有一条直线与己知直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题： ②对项角相等是固有性质，故②为真命题： ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题： ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B 1/2 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：简单几何命题的证明（含辅助线) 完成下面的证明. 已知：如图，AC⊥BD,EF⊥BD,∠A=A.求证：EF平分∠BED. 证明：，AC L BD,EF⊥BD, ∴.∠ACB=90°，∠EFB=90°（）· .∴.∠ACB=∠EFBI （) .∠A=∠2.（两直线平行，同位角相等）· ∠3=A.（）. 又，∠A=☑， .EF平分∠BED 【详解】证明：，AC L BD,EF⊥BD, .∠ACB=90°，∠EFB=90°（垂直的定义）· ∴.∠ACB=∠EFB ∴.EF∥AC(同位角相等，两直线平行)· ∴.∠A=∠2.（两直线平行，同位角相等）. ∠3=A.(两直线平行，内错角相等). 又，∠A=I, ∠2=∠3. ∴.EF平分∠BED 故答案为：垂直的定义：EF∥AC;同位角相等，两直线平行：两直线平行，内错角相等：∠2=∠3. 2/2null学科网·上好课 www.zxxk.com 相交线典型例题 题型1：邻补角与对顶角的识别及角度计算 如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,OF平分∠DOE,∠BOD= E D B (1)写出∠BOD的邻补角和对顶角： (2)求∠COF的度数. 【详解】(1)解：∠BOD的邻补角是∠BOC和∠DOA,对顶角是∠AOC: (2)解：：EO⊥AB, ∠EOA=∠EOB=90°， ∠BOD=34°，.∠D0E=90°-34°=56°， :OF平分∠DOE, ∠EOF=∠DOF=2DOE=1 2×56°=280， ∴.∠C0F=180°-∠D0F=180°-28°=152°. 题型2：垂线的定义及性质应用 如图，直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB,∠DOB=34°，则∠COE的度数为 D E A.34° B.54° C.56° D.66 【详解】解：，OE⊥AB于O, ∴.∠AOE=90°， ,∠DOB=34°， ∴.∠AOC=∠BOD=34°. .∠COE=∠AOE-∠AOC=90°-34°=56° 上好每一堂课 34°. () 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：垂线段最短与距离 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD,DE⊥AB,OC=3cm,OD=4cm,CD=5cm. D B (1)若∠AOC=20°，求∠DOE的度数. (2)①点D到OC的距离为 cm. ②直接写出CD和DE的大小关系. 【详解】(1)解：：OC⊥OD, ∴.∠COD=90°， .∠D0E=180°-∠AOC-∠COD=180°-20°-90°=70°： (2)解：①.OC⊥OD,OD=4cm, ∴.点D到OC的距离为4cm. 故答案为：4： ②.OC⊥OD,DE⊥AB, ∴.CD>OD,OD>DE,∴.CD>DE 题型4：三线八角识别 如图，下列结论正确的是() D 6 A A.∠5与∠2是同位角 B.∠1与∠6是内错角 C.∠3与∠4是同旁内角 D.∠6与∠2是同旁内角 【详解】解：A、∠5与∠2不是同位角，该结论错误，故选项不符合题意： B、∠1与∠6不是内错角，该结论错误，故选项不符合题意： C、∠3与∠4不是同旁内角，该结论错误，故选项不符合题意； D、∠6与∠2是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意： 故选：D. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 突破1：多角综合计算（含角平分线） 如图，己知直线AB、CD相交于点O,OF⊥AB,点O为垂足， D (I)若∠BOE=67°，求∠COF的度数： (2)若∠BOE:∠COF=5:4,求∠EOF的度数. 【详解】(1)解：，OE平分∠COB,∠BOE=67°， .∠BOC=2∠BOE=134°， ∴.∠AOC=180°-∠B0C=46°， ,OF⊥AB, .∠AOF=90°， ∴.∠C0F=90°-∠AOC=44°： (2)解：，∠BOE:∠COF=5:4, .设∠BOE=5x,则∠C0F=4x, OE平分∠COB, ∴.∠COE=∠BOE=5x, .∠E0F=5x-4x=x, ∴.∠BOF=5x+x=6x, ,∠BOF=90°， .6x=90°， .x=15°， ∴.∠E0F=15° 上好每一堂课 OE平分∠COB. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：实际应用建模（角度测量、最短路径设计） 某地有一座古塔，为了实地测量这座古塔外墙底部墙角（如图所示的∠ABC)的度数，请你在不进入塔内的 情况下设计两种测量方案，并说明理由。 【思路引导】方案一，将∠ABC的一边BA反向延长→利用邻补角互补：方案二，将∠ABC的两边都 反向延长→利用对顶角相等 【解析】方案一，如图，延长AB到点D,量出∠CBD的度数，则∠ABC=180-∠CBD(邻补角互补) 0 方案二，如图，延长AB到点D,延长CB到点E,量出∠DBE的度数，则∠ABC=∠DBE(对顶角相等) E 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破3：对顶角规律探究 (1)观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： E 图① 图② 图③ ①图①中共有 对对项角： ②图②中共有 对对项角： ③图③中共有 对对顶角： ④探究①~③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， (2)若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角. (3)请你将上述两种情形归纳一下. 【详解】解：(1)①图①中对顶角是∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC,共有2对对顶角， ②图②中对顶角是∠AOC与∠DOB,∠COF与∠DOE,∠BOF与∠AOE,∠AOF与∠BOE,∠BOC与 ∠AOD，,∠DOF与∠COE,共有6对对顶角 ③图③中有4条直线相交于O点，共有12对对顶角. ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有2×(2-1)=2（对）： 3条直线相交于一点，对顶角有2+2×2=6（对）： 4条直线相交于一点，对顶角有6+3×2=12（对）· 以此类推，n条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为2×0+2×(2-1)+.+2×(n-1) =2×(0+1+2+3+.+n-1) (n-1) =2×- 2 =n(-1). 故答案为：①2：②6；③12；④n(n-1). (2)若3条直线两两相交于不同的点，则有1+2=3（个）交点，有6对对项角： 4条直线两两相交于不同的点，有1+2+3=6（个）交点，有12对对顶角： 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 … n条直线两两相交于不同的点，有1+2+3++n-1=?少（个）交点，共有nn-1)对对顶角. 2 故答案为：n(n-1). (3)归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成n(n-1)对对顶角.函学科网·上好课 www .zxxk.com 平行线典型例题 题型1：平行公理的应用 在同一平面内，有12条互不重合的直线，12,13，…42，若4⊥12， 类推，则与2的位置关系是·（填“平行”或“垂直”） 【详解】解：1上，12∥13,1⊥14,1，∥1.… .1211,14⊥16,611s,.1212, 4112,.∥2 故答案为：平行 题型2：平行线的判定方法 如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： 65 43E ①A=∠3：②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B;④∠D+∠BCD=180°. 其中能判断AD∥BC的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D 【详解】解：①：A=∠3， .AD∥BC; ②，∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC, .∠2+∠AGC=180°， AB∥DC: ③∠4=∠B, .AB∥DC: ④，∠D+∠BCD=180°， ∴.AD∥BC, ∴.能判断AD∥BC的条件有①④，共2个 故选：B 1/5 上好每一堂课 12∥1,1⊥1,1∥1，…，依此 4个 而学科网·上好课 www.zxxk.com 题型3：平行线的性质求角 如图，直线AC∥BD,∠ABD=a,点E,F分别在AC,BD上 的平分线与∠AEF的平分线相交于点G.当线段EF向右平移时， 于 (用a的代数式表示) E G 【详解】解：过G作GM∥AC, E C M--------- ∴.∠EGM=∠AEG, :AC∥BD, ∴.GM∥BD, ∴.∠MGB=∠GBF, ,EG,BG平分∠AEF,∠ABF, ÷∠ABG=∠ABr=15°，∠GBn=∠ABP=& a, ∴.∠EG=∠EGM+∠BGM=∠AEG+∠GBF=15°+a, 故答案为：15°+-a. 2 2/5 上好每一堂课 EF与AC所夹的锐角为30°，∠ABD ∠EGB的度数等 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：平行线的判定与性质的综合应用 如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E是CD上一点，连接AE,BE并延长分别交BC,AD的延长线 于点M,N,己知∠BAD=∠BCD. E (I)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由. (2)若∠DAE=30°，∠CBE=20°，∠DEN:∠CEM=8:5,求∠MBN的度数. 【详解】(1)解：AN∥BM.理由如下： AB CD, ∴.∠BAD+∠ADC=180°. :∠BAD=∠BCD, ∴.∠BCD+∠ADC=180°， AN‖BM. (2)解：'AB‖CD,∠DEN:∠CEM=8:5, .∠DEN=∠ABE,∠CEM=∠BAE, ∠ABE:∠BAE=8:5. 设∠DEN=∠ABE=&x°，∠CEM=∠BAE=5x° :ANI‖BM, ·.∠BAD+∠ABC=180°， ∴.∠DAE+∠BAE+∠ABE+∠CBE=18O°， 即30°+5x°+8x°+20°=180°， 解得x=10, ∴.∠DEN=80°，∠CEM=50°， .∠MEN=180°-∠DEN-∠CEM=180°-80°-50°=50°. 3/5 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：“拐点问题”（折线） 如图是一款长臂折叠LED护眼灯的示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行 时，∠DEF=140°，∠BCD=120°，则∠CDE的度数为一· A B ☐N 【详解】解：过点D作DH∥AC,过点E作EG∥MN,则DH∥AC∥N∥EG, AB //I\N H.------------------>D E…G F M N ∴.∠ACD+∠CDH=180°，∠GBEF+∠EFN=180°，∠GEF=∠MFE,∠HDE=∠DEG, :EF⊥MN,∠DEF=140°，∠BCD=120°， ∴.∠CDH=60°，∠GEF=∠EFM=90°，∠DEG=∠DEF-∠GEF=50°， DH∥EG, ∴.∠HDE=∠DEG=50°， ∴.∠CDE=∠CDH+∠HDE=110°， 故答案为：110°. 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破3：平行线的实际应用（拐弯问题、光线反射问题） 为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯.如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至 AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速 度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°.假定两栋楼的墙面是平行的，即PQ∥MN,且 ∠BAM:∠BAN=2:1 P M M 备用图 (1)填空：∠BAN=_°； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达BQ之前，求A灯转动几秒， 两灯的光束互相平行 (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C,在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时 间为多少秒时，∠ACB=90° 【详解】(1)解：：∠BAM:∠BAN=2:1, ∴.∠BAM=2∠BAN, ,∠BAM+∠BAN=180°， ∴.2∠BAN+∠BAN=180°， ∴.∠BAN=60°， (2)解：由(1)知∠PBA=∠BAM=180°-60°=120°， 设A灯转动时间为t秒，由两光束平行，得内错角相等，可知120-(30+t)=120-2t, 解得：t=30, .A灯转动30秒，两灯的光束互相平行： (3)解：转动时间为90秒，理由： ,∠ACB=90°，即两光束垂直， ∴.(120-t)+(2t-120)==180-90, 解得：t=90, ∴.转动时间为90秒时，∠ACB=90°. 5/5函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平移典型例题 题型1：平移的概念及要素识别 中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻 理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是() ☑· 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D, 故选：D. 题型2：平移的性质应用（求线段长度、角度、面积） “方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形 ABCD沿对角线AC方向平移得到正方形EPGH,形成“方胜图如果平移距离为3，且AB=写AC,那么 点A到点G的距离是· B G D H 【详解】解：由平移可得AB= AC=CG=3, 所以AC=9 所以AG=AC+CG=9+3=12, 故答案为：12. 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3：网格中的平移作图（文字描述作图要求) 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对 应点B.根据下列条件，利用格点和三角尺画图： B B (1)补全△AB'C'; (2)请在AC边上找一点D,使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD: (3)找△ABP(要求各顶点在格点上，P不与点C重合)，使其面积等于△ABC的面积.满足这样条件的点 P共_个 【详解】(1)解：如图，△AB'C'即为所求： (2)如图，BD即为所求： (3)如图，满足这样条件的点P共有6个： 故答案为：6. 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：平移的性质与几何图形的综合计算（周长、面积) 如图，将三角形ABC沿射线BA方向平移到三角形AB'C'的位置，连接AC', A B (1)AA与CC'的位置关系为_ (2)试探索：∠A'+∠CAC'和∠AC'C之间的数量关系，并说明理由. (3)设∠ACB'=x,∠ACB=y,试探索∠CAC与x,y之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：由平移的性质可得AA‖CC', 故答案为AA'‖CC'; (2)∠A+∠CAC'+∠ACC=180°，理由如下： 根据平移的性质可知A'C'‖AC,AA'川CC', ∴.∠A'=∠BAC,∠BAC=∠ACC', ∴∠A=∠ACC', ,∠ACC'+∠CAC'+∠ACC=180°， ∴.∠A'+∠CAC'+∠ACC=180°： (3)∠CAC'=x+y,理由如下： 如图，过点A作AD∥BC,交CC于点D, B D B C 根据平移性质可知B'C'∥BC, .B'C'∥AD∥BC, ∴.∠ACB'=∠CAD,∠ACB=∠DAC, ∴.∠CAC'=∠C'AD+∠CAD=∠ACB'+∠ACB=x+y 即∠CAC'=x+y. 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破2：平移的实际应用（面积计算、路径设计） 政府准备在一块长α米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别 如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1m,图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边 线 图1 图2 图3 ()分别设方案一和方案二的草地面积为Sm、S,m,则S=m2(用含a、b的式子表示)， S2（填“>“=”或“<)； (2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1的小路，求草地的面积S:（用含a、b的式子表示) (3)经讨论后决定选用方案三的方案，若a=30m,b=20m,且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么 铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【详解】(1)解：由图1可得小路是长为b,宽为1的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为(a-1)米，宽为b的长方形， a-l 6 6 则S,=b(a-1), 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1就是它的右边线， 则S2=b(a-1)=S, 故答案为：b(a-1),=: (2)由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为(a-1)米，宽为(b-1)米的长方形， 则S,=(b-1)(a-1): 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-1 b-1 b-1 a-1 a-1 (3)当a=30m,b=20m时， S,=(b-1)(a-1)=(30-1)×(20-1)=551(m2), 因为铺草地平均每平方米需要花费50元， 所以铺设这块草地一共需要花费551×50=27550（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费27550元. 突破3：平移的探究与规律应用 在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的周长为12cm,边AB在直线I上，将△ABC沿着直线1任意平移得到 △DEF(A,B,C的对应点分别为D,E,F),连接CF. 图1 图2 备用图 (1)如图1，若平移距离为2cm,则阴影部分的周长为 cm: (2)如图2，若BC⊥BF,求∠BFD的度数： (3)若AB=5 cm:ABC以每秒1cm的速度向右平移.设△ABC移动了t(t>5)秒，则t为何值时，图2中的四 边形BCFD的面积是△ABC的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当∠BFD与∠CBF中一个角是另一个角的3倍时，则∠BFD的度数为 【详解】(1)解：，△ABC沿着直线1平移得到DEF,平移距离为2cm, .CF=AD=2cm,DF=AC, :△ABC的周长为12cm, .'AC+AB+BC =12cm, ∴.阴影部分的周长为CF+DB+DF+BC=(AD+DB)+AC+BC=AC+AB+BC=I2Cm, 故答案为：12： (2)解：，BC⊥BF, 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CBF=90°， ,∠C=70°，△ABC沿着直线I平移得到ADEF, ∴.∠EFD=∠C=70°，BC∥EF, .∠EFB=∠CBF=90°， ∴.∠BFD=∠BFE-∠DFE=90°-70°=20°： （3)解：设△5C的边4B上的高为，则S号Bh=费 2 由平移性质得：四边形BCFD底BD=t-5,CF=t,高为h, 所以，四边形BCFD面积为2t-), 因为四边形BCFD的面积是△ABC的面积的3倍列方程求解即可； 所以，2-)h=3x》 2 解得：t=10, 即10秒后四边形BCFD的面积是△ABC的面积的3倍 (4)解：连接BF,如图，由平移知，∠DFE=∠C=70°，BC∥EF, ∴，∠CBF=∠BFE,当∠BFD与∠CBF中一个角是另一个角的3倍时，∠BFD与∠BFE中一个角是另一个 角的3倍时，设∠BFD=x, 当∠BFD=3∠BFE时，∠B阳= 3, 若∠BFD-∠BFE=∠DFE,则x 3x=70°，解得x=105°，即∠8FD=105°， 若∠BFD+∠BFE=∠DFE,则x+二x=70°，解得x=52.5°， 3 即∠BFD=52.5°， 当∠BFE=3∠BFD=3x时， 若BFD+∠BFE=∠DFE,则x+3x=70°，解得x=17.5°，即∠BFD=17.5°， 若∠BFE-∠BFD=∠DFE,则3x-x=70°，解得x=35°，即∠BFD=35°， .∠BFD的度数为105°或52.5°或17.5°或35 故答案为：105或52.5或17.5或35. 616