（篇三）第二单元因数和倍数·质数和合数篇【十二大考点】-2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共16页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数•质数和合数篇【十二大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数质数和合数篇 知专题内容 本专题以质数和合数为主，其中包括质数和合数认识、分解与组合，以及综合 应用等内容。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★☆：综合：★★★；多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第三部分内容，考查难度稍大，综合性较强，题 型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 回考点数量 十二大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】质数和合数的意义… .4 只【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用.5 月【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用6 只【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用… 7 原【考点五】质数和合数与生活实际应用… .8 原【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其 .9 只【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 .10 原【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 ..11 只【考点九】分解质因数其一：基本慨念… ...12 只【考点十】分解质因数其二：求因的个数… .13 第2页共16页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 貝【考点十一】分解质因数其三：求因数… .14 只【考点十二】分解质因数其四：实际应用… .15 第3页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】质数和合数的意义 方法点拨 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1.质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.0、1既不是质数，也不是合数。 4.制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数(2,3,5,7)的所有 倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 100以内的质数表 235 7111317 1923 293137 4143 47 53 59 61 一共有25个。 677173 79838997 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★ 吕【典型例题】 第4页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 分一分，填一填。 12104523391027897298 合数 质数 奇数 偶数 0【对应练习1】 在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中，奇数有( )个，偶数有( )个，质数 有( )个，合数有( )个。 肥【对应练习2】 在1~10各数中，质数有( ):合数有( ):既不是质数也不是合数的有( ) 既是2的倍数，又是3的倍数的有( ) 肥【对应练习3】 下面这些数中。 60 19 12 25 9 (1)既是偶数又是质数的是( )。 (2)既是奇数又是合数的一位数是( ) (3)既是3的倍数又是5的倍数的是( ) 原【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 冥方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★ 侣【典型例题】 在括号里填不同的质数。 14=( )+( 26=( )×( 第5页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 12=( )+( )=( )+( )+( )。 肥【对应练习2】 在括号里填上适当的质数，不能重复。 23=( )+( )+( ) 24=( )+( )=( )+( )=( )+( ) 肥【对应练习3】 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是( )和( 只【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 兵方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 0【对应练习1】 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？ 肥【对应练习2】 两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？ 第6页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 两个质数的和是39，求这两个质数的积。 原【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 买方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36 分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 肥【对应练习1】 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个 长方形的面积是多少平方厘米？ 肥【对应练习2】 为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域画了一个长方形场地 作为专用停车场，规划好后发现长和宽都是质数，并且周长是36米，你知道这个指定的长方 形停车场的面积是多少平方米吗？ 第7页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数， 一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 原【考点五】质数和合数与生活实际应用 职方法点拨 只有合数才能写成两个大于1的自然数相乘的形式，质数只能写成1乘它本 身。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？（每组 不少于1人，且不少于1组) 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 0【对应练习1】 下面哪几袋桃子可以平均分到一些盘子里？哪几袋不可以？为什么？（每盘不少于1个，且不少于 1盘) 第一袋第二袋 第三袋 第四袋 数量/个 29 51 91 37 第8页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 小芳要把20本作业本分成两份，并且每份作业本的本数都是质数，两份作业本可能各有多少 本？ 即【对应练习3】 下面是五年级四个班的人数统计表。 五（1)班 五（2)班 五(3)班 五(4)班 41人 36人 37人 42人 各班准备分学习小组（小组人数不能为1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的 学习小组？哪些不能分成各组人数都相同的小组？请说明理由。 原【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其一 冥方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★食★ 侣【典型例题】 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是 偶数，这个数最大是( ) 0【对应练习1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的 一位数，这个数是( )。 肥【对应练习2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数 第9页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 位上的数是最小的偶数，这个数是( 肥【对应练习3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是 偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是( ) 早【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 冥方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍 数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数， 第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 0【对应练习1】 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的 奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？ 肥【对应练习2】 “天宫二号空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字 是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。天宫二号” 是哪一年发射的？ 第10页共16页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共26页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数•质数和合数篇【十二大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 第二单元因数和倍数质数和合数篇 知专题内容 本专题以质数和合数为主，其中包括质数和合数认识、分解与组合，以及综合 应用等内容。 ⊙评价体系 基础：★；迁移：★☆：综合：★★★；多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 白讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第三部分内容，考查难度稍大，综合性较强，题 型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 回考点数量 十二大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】质数和合数的意义… .4 只【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用.7 月【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用8 只【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用… 9 原【考点五】质数和合数与生活实际应用… .12 原【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其 .13 只【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 .14 原【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 ..15 只【考点九】分解质因数其一：基本慨念… …18 只【考点十】分解质因数其二：求因的个数… ....21 第2页共26页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 貝【考点十一】分解质因数其三：求因数… ….23 只【考点十二】分解质因数其四：实际应用… .24 第3页共26页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】质数和合数的意义 方法点拨 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1.质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.0、1既不是质数，也不是合数。 4.制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数(2,3,5,7)的所有 倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 100以内的质数表 235 7111317 1923 293137 4143 47 53 59 61 一共有25个。 677173 79838997 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★ 吕【典型例题】 第4页共26页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 分一分，填一填。 12104523391027897298 合数 质数 奇数 偶数 【答案】见详解 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数：除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合 数：1既不是质数，也不是合数。 不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1,3,5,7或9：能被2整除的数叫做偶数， 偶数个位上的数是0,2,4,6或8。据此解答。 【详解】1既不是质数，也不是合数：1是奇数。 2的因数只有1和它本身，则2是质数：2是偶数。 10的因数有1、2、5、10，则10是合数：10也是偶数。 45的因数有1、3、5、9、15、45，则45是合数；45也是奇数。 23的因数只有1和它本身，则23是质数：23是奇数。 39的因数有1、3、13、39，则39是合数：39是奇数。 102的因数有1、2、3、6、17、34、51、102，则102是合数：102是偶数。 78的因数有1、2、3、6、13、26、39、78，则78是合数；78也是偶数。 97的因数只有1和它本身，则97是质数：97也是奇数。 298的因数有1、2、149、298，则298是合数：298也是偶数。 则合数有：10、45、39、102、78、298： 质数有：2、23、97： 奇数有：1、45、23、39、97： 偶数有：2、10、102、78、298。 肥【对应练习1】 在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中，奇数有( )个，偶数有( )个，质数 有( )个，合数有( )个。 【答案】 6 2 2 【分析】2的倍数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。偶数的个位是0、2、4、6、8，奇数的 第5页共26页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 个位是1、3、5、7、9。因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身，还有别的因数的数是 合数。根据这四个概念先将数分类，再统计个数即可。 【详解】在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中， 奇数：1、3、7、13、25、97 偶数：2、8 质数：2、3、7、13、97 合数：8、25 所以，这些数中奇数有6个，偶数有2个，质数有5个，合数有2个。 即【对应练习2】 在1~10各数中，质数有( ):合数有( ):既不是质数也不是合数的有( 既是2的倍数，又是3的倍数的有( ) 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 6 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数， 还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。在1~ 10的自然数中找出所有的质数：2,3,5,7，找出所有的合数4,6,8,9,10：既是2的 倍数，又是3的倍数说明是6的倍数，据此可知1~10只有6符合。 【详解】在1~10各数中，质数有2、3、5、7：合数有4、6、8、9、10：既不是质数也不是 合数的有1：既是2的倍数，又是3的倍数的有6。 肥【对应练习3】 下面这些数中。 60 2 9 ()既是偶数又是质数的是( )。 (2)既是奇数又是合数的一位数是( (3)既是3的倍数又是5的倍数的是( 【答案】(1)2 (2)9 (3)60 第6页共26页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)偶数是能够被2所整除的整数。质数是在大于1的自然数中，除了1和它本身 以外不再有其他因数的自然数。在给出的数中，2既是偶数又是质数。 (2)奇数指不能被2整除的整数。合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他 数(0除外)整除的数。一位数中既是奇数又是合数的是9。 (3)一个数是5的倍数，其个位是0或5。一个数是3的倍数，其各个数位上的数字之和是3 的倍数。在这些数中，60个位是0，满足5的倍数特征，6+0=6是3的倍数，所以60既是3 的倍数又是5的倍数；25的个位上虽然是5，但是2+5=7,7不是3的倍数。 【详解】(1)2是唯一的偶质数。 (2)9不能被2整除，是奇数，且9的因数有1、3、9，所以9是合数。 (3)60的个位是0，符合5的倍数特征，且数字和6是3的倍数，所以60既是3的倍数又是 5的倍数。 只【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 兵方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 填空、选择 蜀动态评价 ★★ 侣【典型例题】 在括号里填不同的质数。 14=( )+( 26=( )×( 【答案】 今 11 2 13 【分析】14以内的质数有2、3、5、7、11、13，判断哪两个质数相加是14即可：求26由哪 两个质数相乘，26是2的倍数，26÷2三13，则26由2和13这两个质数相乘得到。 【详解】由分析可知： 14=11+3 26=2×13 0【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 12=( )+( )=( )+( )+( 第7页共26页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 7 2 3 7 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，据此分析12是由 哪两个质数的和组成的；再分析12是由哪三个质数的和组成。 【详解】12以内的质数有：2,3,5,7,11，则12=5+7=2+3+7。 0【对应练习2】 在括号里填上适当的质数，不能重复。 23=( )+( )+( ) 24=( )+( )=( )+( )=( )+( 【答案】 3 13 11 13 17 7 19 5 【分析】 一个数除了1和它本身，没有其它因数，这样的数是质数，据此即可填空。 【详解】由分析可知：23=3+7+13 24=11+13=17+7=19+5 肥【对应练习3】 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是( )和( 【答案】 711 【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此18以内的质数， 找出这两个数的和是18，两个数的积是77，即可解答。 【详解】18以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17。 7+11=18:7×11=77 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是7和11。 原【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 职方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 填空、选择 過动态评价 ★★★ 吕【典型例题】 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是 第8页共26页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 偶数，偶数中只有2是质数。 99=2+97 97×2=194 答：这两个质数的乘积是194。 0【对应练习1】 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？ 解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得： 202=2×101 所以这两个质数的和是：2+101=103 答：这两个质数的和是103。 0【对应练习2】 两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？ 解析： 7+13=20 7×13=91 答：这两个质数分别是7和13。 0【对应练习3】 两个质数的和是39，求这两个质数的积。 解析： 2+37=74 2×37=74 答：略。 只【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 冥方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 目考察形式 应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 第9页共26页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36 分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 【答案】77或65平方分米 【分析】长方形周长÷2=长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数 叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积=长×宽，求 出面积即可。 【详解】36÷2=18（分米） 18=11+7=13+5 11×7=77(平方分米) 13×5=65(平方分米) 答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。 职【对应练习1】 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个 长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长=（长+宽）×2，长+宽=周长÷2：50-2=25厘米：把 25分成两个整厘米数，且是质数，25=2+23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面 积公式：面积=长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】50÷2=25（厘米） 25=2+23 即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。 2×23=46(平方厘米) 答：这个长方形的面积是46平方厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键： 肥【对应练习2】 为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域画了一个长方形场地 作为专用停车场，规划好后发现长和宽都是质数，并且周长是36米，你知道这个指定的长方 形停车场的面积是多少平方米吗？ 【答案】65平方米或77平方米 第10页共26页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·质数和合数篇【十二大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·质数和合数篇 专题内容 本专题以质数和合数为主，其中包括质数和合数认识、分解与组合，以及综合应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第三部分内容，考查难度稍大，综合性较强，题型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二大考点 【考点一】质数和合数的意义 4 【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 5 【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 6 【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 7 【考点五】质数和合数与生活实际应用 8 【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其一 9 【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 10 【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 11 【考点九】分解质因数其一：基本概念 12 【考点十】分解质因数其二：求因数的个数 13 【考点十一】分解质因数其三：求因数 14 【考点十二】分解质因数其四：实际应用 15 【考点一】质数和合数的意义 方法点拨 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 0、1既不是质数，也不是合数。 4. 制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数（2，3，5，7）的所有倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 分一分，填一填。 【对应练习1】 在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中，奇数有( )个，偶数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【对应练习2】 在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【对应练习3】 下面这些数中。 (1)既是偶数又是质数的是( )。 (2)既是奇数又是合数的一位数是( )。 (3)既是3的倍数又是5的倍数的是( )。 【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 在括号里填不同的质数。 14＝( )＋( )              26＝( )×( ) 【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )＋( )＋( )。 【对应练习2】 在括号里填上适当的质数，不能重复。 23＝( )＋( )＋( )。 24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。 【对应练习3】 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是( )和( )。 【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 【对应练习1】 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？ 【对应练习2】 两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？ 【对应练习3】 两个质数的和是39，求这两个质数的积。 【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 【对应练习1】 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域画了一个长方形场地作为专用停车场，规划好后发现长和宽都是质数，并且周长是36米，你知道这个指定的长方形停车场的面积是多少平方米吗？ 【对应练习3】 用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 【考点五】质数和合数与生活实际应用 方法点拨 只有合数才能写成两个大于1的自然数相乘的形式，质数只能写成1乘它本身。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？（每组 不少于1人，且不少于1组） 【对应练习1】 下面哪几袋桃子可以平均分到一些盘子里?哪几袋不可以?为什么?(每盘不少于1个，且不少于1盘) 【对应练习2】 小芳要把20本作业本分成两份，并且每份作业本的本数都是质数，两份作业本可能各有多少本？ 【对应练习3】 下面是五年级四个班的人数统计表。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 41人 36人 37人 42人 各班准备分学习小组（小组人数不能为1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的学习小组？哪些不能分成各组人数都相同的小组？请说明理由。 【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其一 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 【对应练习1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 【对应练习2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 【对应练习3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是( )。 【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 【对应练习1】 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？ 【对应练习2】 “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？ 【对应练习3】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【对应练习4】 小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【对应练习1】 一个质数（两位数）的个位上的数字与十位上的数字交换位置后，变成7的倍数，这样的质数有( )。 【对应练习2】 费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【对应练习3】 有两个三位数，它们都是2和3的倍数，而且每个数中的三个数字都是10以内不同的质数，这两个三位数分别是( )和( )。 【考点九】分解质因数其一：基本概念 方法点拨 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 （1）分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 把下列各数分解质因数。 111        375 【对应练习1】 把下面各数分解质因数。 45         28          104 【对应练习2】 把下面的各数分解质因数。 36                     57                             105 【对应练习3】 用短除法将下列各数分解质因数。 56   64   84   96 【考点十】分解质因数其二：求因数的个数 方法点拨 如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有( )个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【对应练习1】 已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有( )个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【对应练习2】 已知A=3×7×10，则A一共有( )个因数。 A．6 B．12 C．16 D．20 【对应练习3】 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有( )种可能。 A．2 B．3 C．4 D．6 【考点十一】分解质因数其三：求因数 方法点拨 解决该类题型首先要分解质因数，再根据连续自然数的特点求出这些数。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 【对应练习1】 三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是( )、( )、( )。 【对应练习2】 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？ 【对应练习3】 6个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。 【考点十二】分解质因数其四：实际应用 方法点拨 解决该类题型要注意题目中的限制条件，再根据分解质因数进行因数分解。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？ 【对应练习1】 五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？ 【对应练习2】 把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完． （1）有几种装法？（列出算式） （2）如果有67个球呢？ 【对应练习3】 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 【典型例题2】问题二 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 【对应练习1】 有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 【对应练习2】 把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 【对应练习3】 学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间,问有哪几种分法? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年五年级数学下册典型例题系列「2026春」 第二单元因数和倍数·质数和合数篇【十二大考点】 专题名称 第二单元因数和倍数·质数和合数篇 专题内容 本专题以质数和合数为主，其中包括质数和合数认识、分解与组合，以及综合应用等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为因数和倍数单元的第三部分内容，考查难度稍大，综合性较强，题型多以填空、选择、应用等题型为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二大考点 【考点一】质数和合数的意义 4 【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 7 【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 8 【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 9 【考点五】质数和合数与生活实际应用 12 【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其一 13 【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 14 【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 15 【考点九】分解质因数其一：基本概念 18 【考点十】分解质因数其二：求因数的个数 21 【考点十一】分解质因数其三：求因数 23 【考点十二】分解质因数其四：实际应用 24 【考点一】质数和合数的意义 方法点拨 根据一个数的因数的个数定义质数与合数。 1. 质数（素数）。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 0、1既不是质数，也不是合数。 4. 制作100以内的质数表。 方法一：根据质数的意义逐一验证找出100以内的质数。 方法二：筛法。先筛掉1，再依次筛掉10以内的质数（2，3，5，7）的所有倍数（它们本身除外），余下的数都是质数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 分一分，填一填。 【答案】见详解 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。 不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。据此解答。 【详解】1既不是质数，也不是合数；1是奇数。 2的因数只有1和它本身，则2是质数；2是偶数。 10的因数有1、2、5、10，则10是合数；10也是偶数。 45的因数有1、3、5、9、15、45，则45是合数；45也是奇数。 23的因数只有1和它本身，则23是质数；23是奇数。 39的因数有1、3、13、39，则39是合数；39是奇数。 102的因数有1、2、3、6、17、34、51、102，则102是合数；102是偶数。 78的因数有1、2、3、6、13、26、39、78，则78是合数；78也是偶数。 97的因数只有1和它本身，则97是质数；97也是奇数。 298的因数有1、2、149、298，则298是合数；298也是偶数。 则合数有：10、45、39、102、78、298； 质数有：2、23、97； 奇数有：1、45、23、39、97； 偶数有：2、10、102、78、298。 【对应练习1】 在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中，奇数有( )个，偶数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 6 2 5 2 【分析】2的倍数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。偶数的个位是0、2、4、6、8，奇数的个位是1、3、5、7、9。因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身，还有别的因数的数是合数。根据这四个概念先将数分类，再统计个数即可。 【详解】在1、2、3、7、8、13、25、97这些数中， 奇数：1、3、7、13、25、97 偶数：2、8 质数：2、3、7、13、97 合数：8、25 所以，这些数中奇数有6个，偶数有2个，质数有5个，合数有2个。 【对应练习2】 在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 6 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。在1～10的自然数中找出所有的质数：2，3，5，7，找出所有的合数：4，6，8，9，10；既是2的倍数，又是3的倍数说明是6的倍数，据此可知1～10只有6符合。 【详解】在1～10各数中，质数有2、3、5、7；合数有4、6、8、9、10；既不是质数也不是合数的有1；既是2的倍数，又是3的倍数的有6。 【对应练习3】 下面这些数中。 (1)既是偶数又是质数的是( )。 (2)既是奇数又是合数的一位数是( )。 (3)既是3的倍数又是5的倍数的是( )。 【答案】(1)2 (2)9 (3)60 【分析】（1）偶数是能够被2所整除的整数。质数是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。在给出的数中，2既是偶数又是质数。 （2）奇数指不能被2整除的整数。合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。一位数中既是奇数又是合数的是9。 （3）一个数是5的倍数，其个位是0或5。一个数是3的倍数，其各个数位上的数字之和是3的倍数。在这些数中，60个位是0，满足5的倍数特征，6＋0＝6是3的倍数，所以60既是3的倍数又是5的倍数；25的个位上虽然是5，但是，7不是3的倍数。 【详解】（1）2是唯一的偶质数。 （2）9不能被2整除，是奇数，且9的因数有1、3、9，所以9是合数。 （3）60的个位是0，符合5的倍数特征，且数字和6是3的倍数，所以60既是3的倍数又是5的倍数。 【考点二】质数的分解与组合其一：简单应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 在括号里填不同的质数。 14＝( )＋( )              26＝( )×( ) 【答案】 3 11 2 13 【分析】14以内的质数有2、3、5、7、11、13，判断哪两个质数相加是14即可；求26由哪两个质数相乘，26是2的倍数，26÷2＝13，则26由2和13这两个质数相乘得到。 【详解】由分析可知： 14＝11＋3 26＝2×13 【对应练习1】 在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )＋( )＋( )。 【答案】 5 7 2 3 7 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，据此分析12是由哪两个质数的和组成的；再分析12是由哪三个质数的和组成。 【详解】12以内的质数有：2，3，5，7，11，则12＝5＋7＝2＋3＋7。 【对应练习2】 在括号里填上适当的质数，不能重复。 23＝( )＋( )＋( )。 24＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )。 【答案】 3 7 13 11 13 17 7 19 5 【分析】一个数除了1和它本身，没有其它因数，这样的数是质数，据此即可填空。 【详解】由分析可知：23＝3＋7＋13 24＝11＋13＝17＋7＝19＋5 【对应练习3】 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是( )和( )。 【答案】 7 11 【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此18以内的质数，找出这两个数的和是18，两个数的积是77，即可解答。 【详解】18以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17。 7＋11＝18；7×11＝77 两个质数的和是18，积是77，这两个质数是7和11。 【考点三】质数的分解与组合其二：进阶应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？ 解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。 99=2+97 97×2=194 答：这两个质数的乘积是 194。 【对应练习1】 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？ 解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得： 所以这两个质数的和是： 答：这两个质数的和是103。 【对应练习2】 两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？ 解析： 7+13=20 7×13=91 答：这两个质数分别是7和13。 【对应练习3】 两个质数的和是39，求这两个质数的积。 解析： 2+37=74 2×37=74 答：略。 【考点四】质数的分解与组合其三：复杂应用 方法点拨 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 【答案】77或65平方分米 【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。 【对应练习1】 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；50÷2＝25厘米；把25分成两个整厘米数，且是质数，25＝2＋23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】50÷2＝25（厘米） 25＝2＋23 即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。 2×23＝46（平方厘米） 答：这个长方形的面积是46平方厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。 【对应练习2】 为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域画了一个长方形场地作为专用停车场，规划好后发现长和宽都是质数，并且周长是36米，你知道这个指定的长方形停车场的面积是多少平方米吗？ 【答案】65平方米或77平方米 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，将周长除以2，求出长和宽的和。又因为长和宽都是质数，找出符合题意的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出停车场的面积。 【详解】36÷2＝18（米） 5＋13＝18（米） 7＋11＝18（米） 5×13＝65（平方米） 7×11＝77（平方米） 答：这个长方形停车场的面积可能是65平方米或77平方米。 【点睛】本题考查了长方形的周长和面积、质数的概念，熟记公式，掌握质数的概念是解题的关键。 【对应练习3】 用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 【答案】99平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。 【详解】40÷2＝20（厘米） 长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 2×18＝36（平方厘米） 5×15＝75（平方厘米） 9×11＝99（平方厘米） 36＜75＜99 答：它的面积最大是99平方厘米。 【点睛】此题主要考查质数和合数的定义以及长方形的周长、面积的计算方法。 【考点五】质数和合数与生活实际应用 方法点拨 只有合数才能写成两个大于1的自然数相乘的形式，质数只能写成1乘它本身。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？（每组 不少于1人，且不少于1组） 解析： 39=3×13 40=2×20=4×10=5×8 答：一班、三班的学生可以分成人数相同的几个小组，二班、四班不可以。因为一班、三班的人数是合数，二班、四班的人数是质数。 【对应练习1】 下面哪几袋桃子可以平均分到一些盘子里?哪几袋不可以?为什么?(每盘不少于1个，且不少于1盘) 解析：略 【对应练习2】 小芳要把20本作业本分成两份，并且每份作业本的本数都是质数，两份作业本可能各有多少本？ 【答案】3本和17本或者7本和13本 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，找出相加等于20的两个数即可。 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19 其中有3＋17＝20，或者7＋13＝20 即，两份作业本可能有两种情况：3本和17本或者7本和13本。 答：两份作业本可能是3本和17本，或者7本和13本。 【对应练习3】 下面是五年级四个班的人数统计表。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 41人 36人 37人 42人 各班准备分学习小组（小组人数不能为1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的学习小组？哪些不能分成各组人数都相同的小组？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】要想分成人数相同的小组，则这个班的人数必须是合数，因为合数至少有3个因数，然后根据合数和质数的定义进行判断即可。 【详解】因为36和42都是合数，所以五（2）班和五（4）班能分成各组人数都相同的学习小组； 41和37都是质数，所以五（1）班和五（3）班不能分成各组人数都相同的小组。 答：五（2）班和五（4）班能分成各组人数都相同的学习小组，因为36和42都是合数，五（1）班和五（3）班不能分成各组人数都相同的小组，因为41和37都是质数。 【考点六】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其一 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 解析：9218 【对应练习1】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 解析：249 【对应练习2】 一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。 解析：400100202 【对应练习3】 猜数字：一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是( )。 解析：920042 【考点七】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其二 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 解析：249119 【对应练习1】 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？ 解析：5212019 【对应练习2】 “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？ 解析：2016年 【对应练习3】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 解析：9127456 【对应练习4】 小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 解析：4091 【考点八】因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数综合应用其三 方法点拨 熟练掌握因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数的特征是解决问题的关键。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【分析】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【详解】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 【对应练习1】 一个质数（两位数）的个位上的数字与十位上的数字交换位置后，变成7的倍数，这样的质数有( )。 【答案】19、41、53、89 【分析】先找出所有两位数中是7的倍数的数，再交换个位上的数字与十位上的数字，找出质数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】两位数中是7的倍数有：14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98； 交换个位上的数字与十位上的数字后是质数的有：19、41、53、89。 所以，这样的质数有19、41、53、89。 【点睛】本题考查质数的意义及应用。 【对应练习2】 费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 5 1 2 【分析】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a²＋b²”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）20以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。其中质数有3、5、7、11、13、17、19。即是奇数又是质数的是：3、5、7、11、13、17、19，分别计算它们÷4的余数： 3÷4＝0⋯⋯3 5÷4＝1⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成“a²＋b²”的形式。 7÷4＝1⋯⋯3 11÷4＝2⋯⋯3 13÷4＝3⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成 “a²＋b²”的形式。 17÷4＝4⋯⋯1，余数为1，符合要求。可以写成“a²＋b²”的形式。 19÷4＝4⋯⋯3 5可以写成12＋22的形式。 13可以写成22＋32的形式。 17可以写成42＋12的形式。 但题目要求只写一个，所以选择5。 【详解】（1）31不符合费马平方和定理的要求。 （2）20以内符合要求的奇质数是5，它可以写成12＋22的形式。（答案不唯一） 【点睛】此题重点考查对奇质数概念的理解以及运用费马平方和定理进行分析判断的能力，同时要熟练掌握除法运算求余数。 【对应练习3】 有两个三位数，它们都是2和3的倍数，而且每个数中的三个数字都是10以内不同的质数，这两个三位数分别是( )和( )。 【答案】 732 372 【分析】能被2整除的数的个位上的数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的各个数位上的数字的和能被3整除。 【详解】10以内的质数有4个，分别是2、3、5、7，如果组成的三位数是3的倍数，用到的数字有2、7、3，它们一共能组成6个不重复的三位数。 这6个三位数为237、273、327、372、732、723，根据2的倍数的特征可得：这个数为偶数，则为732、372。 【点睛】注意先确定符合3的倍数的特征的数，为2、3、7三个数组成的三位数，一共有6个，要不然如果先确定2、3、5、7一共能组成多少个三位数的话，会一下子确定下来24个数，不仅量大，也难做到不重不漏。 【考点九】分解质因数其一：基本概念 方法点拨 1. 分解质因数。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意。 （1）分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 把下列各数分解质因数。 111        375 【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般从简单的质数试着分解。 【详解】111＝3×37 375＝3×5×5×5 【对应练习1】 把下面各数分解质因数。 45         28          104 【答案】45＝3×3×5 28＝2×2×7 104＝2×2×2×13 【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。 【详解】45的质因数有3，5所以45＝3×3×5 28的质因数有2，7所以28＝2×2×7 104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13 【对应练习2】 把下面的各数分解质因数。 36                     57                             105 【答案】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 36＝2×2×3×3； 57＝3×19； 105＝3×5×7 【对应练习3】 用短除法将下列各数分解质因数。 56  64  84  96 【答案】56＝2×2×2×7； 64＝2×2×2×2×2×2； 84＝2×2×3×7； 96＝2×2×2×2×2×3 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】 56＝2×2×2×7； 64＝2×2×2×2×2×2； 84＝2×2×3×7； 96＝2×2×2×2×2×3。 【点睛】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式。 【考点十】分解质因数其二：求因数的个数 方法点拨 如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有( )个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据A＝2×2×3×3，求出A的值，再根据求一个数因数的方法，写出A所有的因数，最后数出因数的个数即可。 【详解】A＝2×2×3×3＝36 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数。 故答案为：D 【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有( )个。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数，由此即可得出答案． 因为甲数=2×3×5 所以甲数的全部因数的个数是：（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）．故选C． 【对应练习2】 已知A=3×7×10，则A一共有( )个因数。 A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】试题分析：A的因数包括1和它的质因数，以及质因数相乘的积；据此找出即可． 解：A=3×7×10=2×3×5×7， 则A的因数有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、 2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16个； 故选C． 点评：此题也可以运用规律解答：把给定的数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求因数的个数． 【对应练习3】 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有( )种可能。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出45的因数，再找出45的因数里面有几个是3的倍数。 【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9 45的因数有1、45、3、15、5、9，其中45、3、15、9是3的倍数； 所以一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有4种可能。 故答案为：C 【点睛】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。 【考点十一】分解质因数其三：求因数 方法点拨 解决该类题型首先要分解质因数，再根据连续自然数的特点求出这些数。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 解析：210分解质因数：210=2×3×5×7 可知这三个数是5、6和7。 【对应练习1】 三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是( )、( )、( )。 解析： 1716=2×2×3×11×13=11×(2×2×3)×13 由此可以看出这三个数是11，12，13。 答：三个连续自然数是11，12，13。 【对应练习2】 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？ 解析： 360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6 答：这四个连续的自然数分别是3，4，5，6。 【对应练习3】 6个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。 解析： 60480=2×2×2×2×2×2×3×3×5×7=4×5×6×7×8×9 答：这六个自然数是4，5，6，7，8，9。 【考点十二】分解质因数其四：实际应用 方法点拨 解决该类题型要注意题目中的限制条件，再根据分解质因数进行因数分解。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？ 解析： 48=2×2×2×2×3 不一次拿出可以分为以下4组： 48=2×24=3×16=4×12=6×8 答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。 【对应练习1】 五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？ 解析： 40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2 答：有6种分法，每组最多20人。 【对应练习2】 把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完． （1）有几种装法？（列出算式） （2）如果有67个球呢？ 解析：（1）6种；（2）67=1×67，2种装法。 【对应练习3】 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 解析： 先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 【典型例题2】问题二 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 【对应练习1】 有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 解析：因为60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；又因为每组不少于6人，也不能多于15人，只有6，10，12，15，共4种分法：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组。 【对应练习2】 把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 解析：先把462分解质因数，再用质因数相乘使积在10到25之间。 462=2×3×7×11 根据题目要求，应在2，3，7和11中选用若干个数，使它们的乘积在10到25之间，于是得三种答案： （1）2×7=14，,每组11人，分为33组； （2）3×7=21，每组21人，分为22组； （3）2×11=22，每组22人，分为21组。 【对应练习3】 学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间,问有哪几种分法? 解析： 1430=2×5×11×13 ①2×5×11=110（人），即每队110人，分13队； ②2×5×13=130（人），即每队130人，分11队； ③11×13=143（人），即每队143人，分10队。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $