精品解析：湖南衡阳市成章实验中学2025-2026学年七年级下学期阶段学情自测数学试题

衡阳市成章实验中学2026年上期入学检测试题 七年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 单项式的系数和次数分别是（　　） A. ﹣2，3 B. ﹣2，2 C. ﹣，3 D. ﹣，2 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图，这是一种“月壤砖”的示意图，从正面观察它，看到的图形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点分别表示数．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，为线段上两点，，，若是线段的中点，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么余角的大小为__________． 12. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与汉字“改”所在面相对的面上的汉字是_________．     13. 如果单项式与是同类项，那么的值是__________． 14. 已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． 15. 如图，一艘轮船行驶在处，小岛在处的北偏西，点在正西方向上，已知平分，则的度数是__________． 16. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19、20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题10分，第24题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1） （2） 18. 按要求解下列方程组： （1）（代入法） （2）（加减法） 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 根据以下素材，尝试解决问题： 素材1 2025年湘超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店在第一周比赛前，购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元． 素材2 由于比赛热度持续升温，该商店计划第三周比赛前购进130件“加油”帽和90件“助威”服． 问题解决 问题1 （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； 问题2 （2）求该商店第三周需花费多少元购买“加油”帽和“助威”服？ 22. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 23. 【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 24. 新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市成章实验中学2026年上期入学检测试题 七年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，需依据有理数大小比较法则：负数小于0和正数，两个负数比较时绝对值大的反而小来判断． 【详解】解：∵，且， ∴， 又∵， ∴四个数中最小的数是． 故选：C． 2. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，表示即可． 【详解】解：1908万； 故选：D． 3. 单项式的系数和次数分别是（　　） A. ﹣2，3 B. ﹣2，2 C. ﹣，3 D. ﹣，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式系数和次数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，单项式的系数为，次数是3； 故选：C． 【点睛】本题考查单项式，解题的关键是注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，次数是所有字母的指数之和． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是掌握合并同类项法则． 分别根据合并同类项法则，对四个式子作出计算，再作出判断． 【详解】解：，故A错误； 中没有同类项，不能合并，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 5. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图，这是一种“月壤砖”的示意图，从正面观察它，看到的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从正面观察，看到的图形为． 6. 如图，数轴上的点分别表示数．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定数的正负性与绝对值大小关系：由数轴可得，且．接下来根据有理数的加减乘除运算法则，逐一分析每个选项的正误即可． 【详解】解：由数轴可知，，且． 选项A：∵， ∴，故A选项正确； 选项B：∵，，， ∴，故B选项正确； 选项C：∵，，且， ∴，故C选项正确； 选项D：∵，， ∴，故D选项错误． 综上，结论错误的是D选项． 7. 如图，，为线段上两点，，，若是线段的中点，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的和差及中点的性质，关键是通过线段的和差求出的长度，再利用中点性质得到的长度，进而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴； ∵D是线段的中点， ∴； ∴； 故选：B． 8. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 9. 若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由两式相减可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 得： ， ， ， 解得：， 故选：B． 10. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，那么余角的大小为__________． 【答案】 ##40度 【解析】 【分析】根据余角的定义，两个角的和为，因此用减去已知角的度数即可得到余角的大小． 【详解】解：∵， ∴的余角度数为． 12. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与汉字“改”所在面相对的面上的汉字是_________．     【答案】运 【解析】 【分析】此题考查正方体相对两个面上的文字，解题关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“改”所在面相对的面上的汉字是“运”， 故答案为：运． 13. 如果单项式与是同类项，那么的值是__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据同类项的定义求出、的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：单项式与是同类项． ，． 解得． 将，代入代数式得， ． 14. 已知是关于x的方程的解，则代数式的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了方程的解、求代数式的值，将代入方程中，得到，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，一艘轮船行驶在处，小岛在处的北偏西，点在正西方向上，已知平分，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】先利用正北与正西方向的垂直关系，结合北偏西的条件求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图，根据题意，， ∵． ∴． ∵平分， ∴． 16. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】过点G作，则有，由题意易得，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点G作，则有， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19、20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题10分，第24题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 按要求解下列方程组： （1）（代入法） （2）（加减法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 将代入得， 解得， 将代入，得， ； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得 ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算．先去括号，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解： ， 将，代入可得： 原式． 20. 如图，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到，求出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 21. 根据以下素材，尝试解决问题： 素材1 2025年湘超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店在第一周比赛前，购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元． 素材2 由于比赛热度持续升温，该商店计划第三周比赛前购进130件“加油”帽和90件“助威”服． 问题解决 问题1 （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； 问题2 （2）求该商店第三周需花费多少元购买“加油”帽和“助威”服？ 【答案】（1）“加油”帽单价为30元，“助威”服单价为40元；（2）该商店第三周需花费7500元购买“加油”帽和“助威”服 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解答本题的关键． （1）设“加油”帽单价为元，“助威”服单价为元，根据购进50件“加油”帽和60件“助威”服，共花费3900元；第二周比赛前，该商店又购进100件“加油”帽和50件“助威”服，共花费5000元，即可得出关于的二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）设“加油”帽单价为元，“助威”服单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：“加油”帽单价为30元，“助威”服单价为40元； （2）元， 答：该商店第三周需花费7500元购买“加油”帽和“助威”服． 22. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 23. 【数学概念】 、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“密距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“密距离”． 【概念理解】 如图1，点表示数，点表示数3． （1）若点表示数，则点到线段的“密距离”为___________； （2）若点在点、之间，点表示的数是，点到线段的“密距离”是3，则___________； 【概念应用】 （3）如图2，在数轴上，点表示的数是-6，点表示的数是-3，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为秒，当点到线段的“密距离”为1时，求的值． 【答案】（1）2；（2）或0（3）t=1、2、7、9 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键． （1）先求出、的长，由“密距离”的定义，可得答案； （2）点到线段的“密距离”为3时，分和两种情况列出方程，解方程即可得答案； （3）按照和，分类讨论计算即可． 【详解】解：（1）点表示的数是，点表示的数是3，若点表示的数是， ，， 点到线段的“密距离”为2， 故答案为：2； （2）根据两点间的距离可得，，， ∵点到线段的“密距离”为3， ∴当时，解得，此时，符合题意； 当时，解得，此时，符合题意； 故的值为或0； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ，， 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，解得：或，此时或，符合题意； 当时，无解， 综上，的值为或或7或9． 24. 新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【解析】 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $