专题14菱形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题14菱形同步讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】..................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】................................5 【题型03 利用菱形的性质求面积】..................................7 【题型04 利用菱形的性质证明】...................................10 【题型05 证明四边形是菱形】.....................................12 【题型06 添条件使四边形是菱形】.................................16 【题型07 由菱形的性质与判定求角度】.............................19 【题型08 由菱形的性质与判定求线段长】...........................22 【题型09 由菱形的性质与判定求面积】.............................26 【题型10 中点四边形】...........................................30 【 解答题5题】..................................................33 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形。 知识点02:菱形的性质 1.边 对边平行 四条边都相等 2.角 对角相等，邻角互补（同平行四边形） 3.对角线 互相平分 互相垂直 每条对角线平分一组内角 4.对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 已知四边形 ABCD 是菱形，对角线交于点 O 1.边的性质 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA, AB∥CD, AD∥BC. 2.角的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠DAB+∠ABC=180∘,∠ABC+∠BCD=180∘. 3.对角线的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD,∠CAB=∠CAD, ∠ACB=∠ACD,∠DBA=∠DBC, ∠ADB=∠CDB. 4.对称性 中心对称：对称中心为对角线的交点 O。 轴对称：有 2 条对称轴，分别是对角线 AC 所在直线和 BD 所在直线。 知识点03:菱形的判定 1.定义法在平行四边形中，一组邻边相等 → 菱形 2.边判定四条边相等的四边形是菱形 3.对角线判定在平行四边形中，对角线互相垂直 → 菱形 几何语言 1.定义判定 在平行四边形 ABCD 中，∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形. 2.边判定 在四边形 ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 3.对角线判定 在平行四边形 ABCD 中，∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形. 知识点04:菱形的面积公式 底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 对角线乘积的一半（菱形专属）：S=×d1×d2（d1、d2为两条对角线长） 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，连接，则______度． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质—菱形的四条边都相等即可直接得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，掌握菱形的性质是解题的关键．首先求出，然后求出，得到即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为52， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． . 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合已知得出是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（    ） A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定．证明是等边三角形求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：C． 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是__________． 【答案】120 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为10和24， ∴该菱形的面积是， 故答案为：120． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形， 、， 在中，由勾股定理得， ， ， 菱形的面积为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】菱形是____________的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边_________，对角线_________，并且每条对角线_________． 【答案】 有一组邻边相等 都相等 互相垂直 平分一组对角 【分析】根据菱形的定义与性质逐一作答即可. 【详解】解：菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边都相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 故答案为：有一组邻边相等，都相等，互相垂直，平分一组对角. 【点睛】本题考查的是菱形的定义与菱形的性质，掌握菱形的定义与性质是解题的关键. 【跟踪专练1】下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可求出的长；连接交于点，证出，利用勾股定求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴； 连接交于点，如图所示： ∵折叠， ∴，，， ∴垂直平分， 在中，， ∴， ∴； 故答案为;；． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据已知条件判断出是等边三角形，再根据是等边三角形得出相等的线段和角，从而证明，最后根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中，， ， ． 故选：C． 【题型5.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在中，．将沿方向平移得到，则当________时，四边形是菱形，依据是________________． 【答案】 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当四边形是菱形时，， ∴， 上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故答案为：①；② 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【跟踪专练1】在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．三角形 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，折叠的性质，矩形的性质．通过折叠的过程可以得出该四边形的四边相等，继而进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，展开后的图形为四边形，四边形的四边都与相等， 即四边形的四边相等， 故剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是菱形， 故选B． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，，，，G是的中点，的延长线与的延长线交于点F，连接．当__________时，四边形是矩形，当__________时，四边形是菱形． 【答案】 3.5 2 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，先证明四边形是平行四边形，第一空求出，推出，根据矩形的判定推出即可；第二空求出是等边三角形，推出，根据菱形的判定推出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 当时，平行四边形是矩形， 理由是：过A作于M， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； 当时，四边形是菱形， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：3.5；2． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形中位线定理和菱形的判定．由题意知，，，是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有，根据四边相等的四边形是菱形判定作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴, ∵D，E，F分别为三边，，的中点， ∴, , , ∵，，是的中位线， ∴,,, ∴， ∴四边形、四边形、四边形是菱形， 即图中有3个菱形． 故选B． 【题型6.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； B、由有一组邻边相等的平行四边形为菱形，能判定平行四边形是菱形，不符合题意； C、∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为________．（只写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定及菱形的判定是解题的关键． 由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、过作于，于，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积， 又∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； C、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，故选项不符合题意； D、∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形，故选项符合题意； 故选：D． 【题型7.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 【跟踪专练1】如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【答案】/100度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 【跟踪专练3】在下列方案中，能够得到是的平分线的是（   ） 方案I： 取，以，为顶点作平行四边形，连接． 方案II： 取，以为顶点作矩形，连接，交于点，连接． A．方案I可行，方案II不可行 B．方案I、II都可行 C．方案I不可行，方案II可行 D．方案I、II都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 【题型8.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为________． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，连接，由题意得出四边形是菱形，由菱形的性质可得，证明出是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形， ∴，四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即两点间的距离为2， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是_____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．①根据题意可证明四边形为平行四边形，继而可判断出此项正确；②根据①的结论，再结合，为边的中点得出可判断出四边形是菱形；③根据，得到，结合为中点，，即可而得到；④要使，则，而因为得不出，即不能得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，故①正确． ②由①知四边形为平行四边形， ，为边的中点， ， 四边形是菱形，故②正确． ④，，， 四边形为矩形， ， 要使，则， 不能证明，即不一定成立，故④不正确． ③由④知， ， 为中点， ∴， ∴，故③正确； 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明是菱形，由勾股定理和菱形的性质求出，根据菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设，相交于点O，如图， ∵将沿对角线翻折，如果点B与点D重合， ∴垂直平分线段， ∴是菱形， ∴， 在中，， ∵菱形的面积， ∴， ∴． 故选：B． 【题型9.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【答案】. 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，由题意可证明四边形是菱形，则，，由勾股定理可得，据此根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴四边形是菱形， 如图所示，连接交于O，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的判定与性质及勾股定理，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案 【详解】解：过点作于点，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵在中，，即 ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 故选： 【跟踪专练2】如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 【跟踪专练3】如图，在中，且的周长为20，对角线，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．先证明四边形是菱形，利用菱形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，交于O， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵的周长为20，对角线， ∴菱形的周长是20， ∴，， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：B． 【题型10.中点四边形】 【典例】已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查特殊四边形的性质和判定，根据题意可知，；，，即可判定四边形是平行四边形，结合垂直即可判定为矩形． 【详解】解：如图， 四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， 则，；，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，， ∴边形是矩形． 故选A． 【跟踪专练1】顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 【答案】矩形 【分析】本题考查中点四边形，掌握三角形的中位线定理，菱形的性质，矩形的判定，是解题的关键．结合顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，即可作答． 【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的， 则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直， ∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形； 故答案为：矩形 【跟踪专练2】如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段  ， ， ， 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形 是平行四边形； ②只有有限个中点四边形 是菱形； ③存在无数个中点四边形 是矩形； ④存在两个中点四边形 是正方形． 所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断． 【详解】当与不平行时，中点四边形 是平行四边形，故存在无数个中点四边形 是平行四边形，故①正确； 当与相等且平行时，中点四边形 是菱形，故存在无数个中点四边形 是菱形，故②错误； 当与互相垂直（B、D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形 是矩形，故③正确； 如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形 是正方形，故存在两个中点四边形 是正方形，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【解答题】 1．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 2．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据“邻边相等的平行四边形是菱形”结合线段垂直平分线的性质即可证明是菱形． 【详解】证明：为对角线上的中点，， 垂直平分， ， ∵四边形是平行四边形， 是菱形． 3．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 5．已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 【答案】(1)见详解 (2)24 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，菱形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）先证明四边形为平行四边形，再证明﹒即可得到平行四边形为菱形； （2）根据菱形性质求出，得到，根据勾股定理求出，即可求出﹒ 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为中点， ∴﹒ ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵菱形的周长为20， ∴， ∴， 在中，， ∴﹒ 故答案为：24． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14菱形同步讲义 【题型01 利用菱形的性质求角度】..................................3 【题型02 利用菱形的性质求线段长】................................3 【题型03 利用菱形的性质求面积】..................................4 【题型04 利用菱形的性质证明】....................................5 【题型05 证明四边形是菱形】......................................5 【题型06 添条件使四边形是菱形】..................................6 【题型07 由菱形的性质与判定求角度】..............................7 【题型08 由菱形的性质与判定求线段长】............................8 【题型09 由菱形的性质与判定求面积】..............................9 【题型10 中点四边形】...........................................10 【 解答题5题】..................................................11 ★知识梳理★ 知识点01:菱形的定义 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形。 知识点02:菱形的性质 1.边 对边平行 四条边都相等 2.角 对角相等，邻角互补（同平行四边形） 3.对角线 互相平分 互相垂直 每条对角线平分一组内角 4.对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 已知四边形 ABCD 是菱形，对角线交于点 O 1.边的性质 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA, AB∥CD, AD∥BC. 2.角的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠DAB+∠ABC=180∘,∠ABC+∠BCD=180∘. 3.对角线的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD,∠CAB=∠CAD, ∠ACB=∠ACD,∠DBA=∠DBC, ∠ADB=∠CDB. 4.对称性 中心对称：对称中心为对角线的交点 O。 轴对称：有 2 条对称轴，分别是对角线 AC 所在直线和 BD 所在直线。 知识点03:菱形的判定 1.定义法在平行四边形中，一组邻边相等 → 菱形 2.边判定四条边相等的四边形是菱形 3.对角线判定在平行四边形中，对角线互相垂直 → 菱形 几何语言 1.定义判定 在平行四边形 ABCD 中，∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形. 2.边判定 在四边形 ABCD 中，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形. 3.对角线判定 在平行四边形 ABCD 中，∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形. 知识点04:菱形的面积公式 底 × 高（同平行四边形）：S=a×h（a为边长，h为该边上的高）。 对角线乘积的一半（菱形专属）：S=×d1×d2（d1、d2为两条对角线长） 【题型1.利用菱形的性质求角度】 【典例】如图，在菱形中，，连接，则______度． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2.利用菱形的性质求线段长】 【典例】如图，菱形的边长，则菱形的周长为___． 【跟踪专练1】如图，菱形的周长为，连接，过点C作，交的延长线于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． . 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（    ） A．36 B．30 C．24 D．18 【题型3.利用菱形的性质求面积】 【典例】菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是__________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】菱形是____________的平行四边形，因此它具有平行四边形的一切性质，此外菱形还具有的性质是：四条边_________，对角线_________，并且每条对角线_________． 【跟踪专练1】下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，是对角线上的一动点，连接，以为边向右作等边，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D．无法计算 【题型5.证明四边形是菱形】 【典例】如图，在中，．将沿方向平移得到，则当________时，四边形是菱形，依据是________________． 【跟踪专练1】在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．三角形 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，，，，G是的中点，的延长线与的延长线交于点F，连接．当__________时，四边形是矩形，当__________时，四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型6.添条件使四边形是菱形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是：______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，已知平行四边形，添加一个条件，不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为________．（只写出一个即可） 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型7.由菱形的性质与判定求角度】 【典例】把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 【跟踪专练1】如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【跟踪专练3】在下列方案中，能够得到是的平分线的是（   ） 方案I： 取，以，为顶点作平行四边形，连接． 方案II： 取，以为顶点作矩形，连接，交于点，连接． A．方案I可行，方案II不可行 B．方案I、II都可行 C．方案I不可行，方案II可行 D．方案I、II都不可行 【题型8.由菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则A，C两点间的距离为________． 【跟踪专练1】如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是_____________． 【跟踪专练3】如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【题型9.由菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【跟踪专练1】如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在中，且的周长为20，对角线，则的面积为（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【题型10.中点四边形】 【典例】已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 【跟踪专练1】顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 【跟踪专练2】如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【跟踪专练3】如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段  ， ， ， 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论： ①存在无数个中点四边形 是平行四边形； ②只有有限个中点四边形 是菱形； ③存在无数个中点四边形 是矩形； ④存在两个中点四边形 是正方形． 所有正确结论的序号是____________． 【解答题】 1．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为点．求证：是菱形． 3．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 4．如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，且，求的长． 5．已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $