专题02 平行四边形的判定性质重难点题型专训（4个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题02 平行四边形性质和判定重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 (等腰)梯形的定义 题型二 数图形中平行四边形的个数 题型三 求平行线间的距离 题型四 利用平行线间距离解决问题 题型五 四边形的不稳定性 题型六 证明四边形是平行四边形 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 全等三角形拼平行四边形问题 题型十一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十二 利用平行四边形性质和判定证明 题型十三 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海松江·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质包括对角线互相平分，但对角线不一定相等或垂直，据此进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直， ∴选项C正确； 故选：C 2．（24-25八年级下·广东河源·期末）在中，，则的度数为_________． 【答案】/32度 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 知识点二：平行四边形的判定 判定 符号语言（同上图） 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】对于A，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时，，且， ∴四边形是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成____个平行四边形． 【答案】3 【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2＝6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形． 【详解】解：因为将三角形的三边分别重合一次，可拼得3个四边形，通过旋转后可得3个，所以共有6个．其中有3个是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，图形的拼接，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 知识点三：平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 2．（2025·北京·模拟预测）如图所示，，直线与直线之间的距离是线段______的长度 【答案】 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【详解】解：由题可得，，， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度， 故答案为：． 知识点四：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）若四边形ABCD中，ADBC，CDAB，且∠C＝80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】A 【分析】首先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据性质求解． 【详解】解：∵ADBC，CDAB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠C=80°， ∴∠A=80°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 (等腰)梯形的定义】 【例1】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 2．（24-25八年级下·上海长宁·假期作业）青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 【答案】10 【分析】本题考查梯形和平行四边形的面积．可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等．只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底．根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米．利用面积除以高即可得到答案． 【详解】由题意可知，平行四边形的高为，面积为， ∴平行四边形中底边的长是， 故答案为：10 3．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 【经典例题二 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【例2】 （25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 1．（25-26八年级下·上海长宁·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【经典例题三 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】作于H，证是等腰直角三角形，计算即是直线与间的距离． 【详解】解：如下图，作于H，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求平行线间的距离，结合等腰直角三角形知识点，作垂直构造等腰直角三角形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是____．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质和平行线之间距离的定义对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形， ，故A项正确； ，，， ， ∴四边形是平行四边形， ，故B项正确； 是线段， ∴A，B两点间的距离就是线段AB的长度，故C项正确； 于点E， 与两平行线间的距离就是线段CE的长度，故D项错误， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两平行线之间的距离是解题的关键． 2．（24-25八年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 与之间的距离为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海静安·月考）如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，平行线的性质． 过A作的垂线，过A作的垂线即为和之间的距离． 【详解】如图，即为所求， ∵， ∴即为和之间的距离． 【经典例题四 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，直线，则可以表示这两条直线之间距离的线段是（     ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离的定义判断即可． 【详解】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度， 观察图形可得为直线之间的垂线段， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线间的距离，熟练掌握定义，并结合图形准确判断是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______． 【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴阴影部分面积为3． 故答案为：3． 1．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）如图，已知，那么下列式子中不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据得出和之间的距离处处相等，进而根据同底等高的两个三角形面积相等，判断A和B，然后根据，判断C；最后根据和是否为等底等高，判断D． 【详解】解：∵， ∴和之间的距离处处相等， ∵和是同底等高， ∴，故A正确； 同理，故B正确； ∴， ∴，故C正确； ∵和既不是等底也不是等高， ∴和不一定相等，故D不正确； 故选：D． 【点睛】此处考查平分线的性质，掌握两平行线间的距离处处相等是解决关键． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是_________． 【答案】40 【分析】由，可得出．根据，即可知与的高相等，从而可得出，即可求出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴与的高相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积，解题时注意：等高的两个三角形的面积比等于它们的底边长的比． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，是的中点．    (1)求证：； (2)连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）根据同底等高的三角形面积相等可得结论． 【详解】（1）证明：是的中点，．    四边形是平行四边形． （2）与面积相等的有． 理由：四边形是平行四边形， 与的面积相等． 又， 与的面积相等，与的面积相等． 与面积相等的有四个． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、等高模型、两平行线之间的距离等知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【经典例题五 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【例2】（2026八年级下·上海长宁·专题练习）图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【答案】四边形具有不稳定性 【分析】本题考查了四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 【详解】由图示知，四边形变形了，其中所蕴含的数学原理四边形具有不稳定性． 故答案为：四边形具有不稳定性． 1．（2025·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有_______． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性，根据四边形具有不稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，四边形具有不稳定性； 故答案为：不稳定性 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【经典例题六 证明四边形是平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，再判断四边形是平行四边形的依据． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得:， 四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是根据尺规作图得到两组对边分别相等，进而判定出四边形为平行四边形． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等即可判断Ⅰ可行，证明得出，同Ⅰ的方法即可判断四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：方案Ⅰ，根据作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 方案Ⅱ，∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ 在中， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 故选：C． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【答案】甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定解决问题即可． 【详解】甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形. 由甲图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 由乙图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 我喜欢甲的作法．作图理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解；证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【经典例题七 判断能否构成平行四边形】 【例1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 【答案】③ 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据所给条件逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故A不符合题意； B．， ，， ， ， 可根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形，判定四边形为平行四边形， 故B不符合题意； C．一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形，故C符合题意； D．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期中）先阅读下列材料，再解答问题． 已知：如图，点D是的边AB上一点． 求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形． 小明的做法如下： ①分别以点C，点D为圆心，BD和BC的长为半径画弧，两弧交于直线BC上方一点F； ②连接CF和DF． ∴四边形DBCF即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务． (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵，______， ∴四边形DBCF为平行四边形．（______）（填写推理依据） 【答案】(1)见解析 (2)DF，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据要求作出图形即可 （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】（1）如图，四边形DBCF即为所求； （2）证明：∵BD=CF，BC=DF， ∴四边形DBCF为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：DF，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题八 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·月考）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当_____时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 当点在的左侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（    ） A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析即可． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，CE=BE，AD=BD， ∴DE∥AC， A、当∠FDB＝∠F时，可得CF∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形ADFC是平行四边形，故符合题意； B、当AC=AD时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意； C、当∠FDB＝∠BCF时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意； D、当AD=CF时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可． 【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD ∵DE=BF ∴OD-DE=OB-BF 即OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形   故答案为：DE=BF（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法． 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 2．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【经典例题十 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【经典例题十一 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 2．（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明，因为，则，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据四边形是平行四边形，则，即，因为平分，所以，结合，运用勾股定理算出，根据面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ． ， ． ． ，即． ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ， 在中，． ∴． 【经典例题十二 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确， 丙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A． 2．（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④． 【分析】本题考查了用尺规作与已知角相等的角，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据用尺规作与已知角相等的角的方法作图即可． （2）先由平行四边形的性质可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，，由此可得，再根据一组对边平行且相等即可证明． 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q， 再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M， 将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变， 再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N， 连接交线段于点F，连接，，如图． （2）证明：在平行四边形中，，， ． 在和中，， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 【经典例题十三 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 2．（24-25八年级下·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 故选：C． 【例2】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 【答案】 【分析】连接交于点，作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，，，则，而，可证明，由，求得，再由勾股定理求得和，证明后，可得，因为于点，所以的最大值为． 【详解】解：连接交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于点， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出合适的辅助线． 1．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 【答案】 【分析】将顺时针旋转，作等边，根据手拉手模型可知，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点T使得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形时平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中， ∴， 解得， ∴ 即的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论找到的最小值与最大值是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的长； (2)隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【分析】（1）过A作于H，求出 求出，即可求出答案； （2）如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小，求出，即可求出的值，则可求出的周长． 本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，轴对称等知识点的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过A作于H，如图： 平分 ∵四边形是平行四边形， 在中， 由勾股定理得： ； （2）解：如图，作D关于的对称点E，连接交于点，则，连接，交直线于P，过D作于Z，则此时的值最小，且等于长，即的周长最小， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴的周长(米)， ∴隔离带的长度存在最小值，最小值为(米)． 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，点E为平行四边形中边上一点，将沿折叠至处，，则的大小为 ________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质求出，根据折叠的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证； （2）①由（1）中结论，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点作，交于点，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】 （2026八年级下·上海长宁·专题练习）图①是某机械加工厂商标，小明联想到图②所示的几何图形．在中，，，的平分线交边于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，掌握平行四边形对边平行且相等，结合角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线推出等腰三角形，再通过线段差计算的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，是上一点，交的延长线于D，交于E． (1)求证：； (2)若F是中点， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②等腰三角形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）①过点A作于点H，连接．证明，推出，可得结论；②证明垂直平分线段即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ∵， ∵， ∴； （2）①证明：过点A作于点H，连接． ∵， ， ∴， ∴， ； ②解：结论：△BAE是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等腰三角形． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系． [初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到； [深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出； [拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【详解】[初步探究]数量关系： 解： 四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 又, ， ． [深入探究]数量关系： 证明：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ． [拓展延伸] 解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ． A基础训练 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质对边相等的性质求出的长度，再利用对角线互相平分的性质求出的和，最后将三边相加得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴的周长． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 4．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 5．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·云南昭通·期中）伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的________． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．四边形的四边确定，形状大小不一定确定，即四边形的不稳定性． 【详解】解：伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的不稳定性． 故空中填：不稳定性． 7．（24-25八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______． 【答案】4 【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：直线，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 设直线与之间的距离为， 的面积为6， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． C 培优训练 11．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，在中，，，的平分线交于点．求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出和的长度． 根据平行四边形的性质得到，，推出，根据平分，能证出，根据等腰三角形的判定得到，根据，代入即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 13．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）连接交于点，过点作延长线于点，根据平行四边形的性质和勾股定理，得到，，设，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理列方程，求出，再求出，然后证明，得到，即可求出折痕的长； （2）分三种情况求解：①当点落在边上时，连接，根据折叠的性质证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形求解即可；②当点落在边上时，连接交于点，连接、，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可；③当点落在边上时，连接交于点，过点作于点，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出点与点重合，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，过点作延长线于点， 在中，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即， ， ，，， ， ， ； （2）解：①如图，当点落在边上时，连接， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点落在边上时，连接交于点，连接、， ，，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ； ③如图，当点落在边上时，连接交于点，过点作于点， 由折叠的性质可知，，垂直平分， ， ， 同②理可证， ， 又，， ， ， ，即点与点重合， 在中，， ， ，， ， ， 综上可知，点之间的距离为或或． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形网格的特点和平行四边形的判定确定出点D位置即可； （2）根据正方形网格的特点可作出CE⊥AB，此时最短，然后作CD∥AB，再根据正方形网格的特点作出点F，可得BE＝CF，即此时四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：点D位置如图所示： （2）解：点E、F位置如图所示： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及正方形网格的特点，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形性质和判定重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 (等腰)梯形的定义 题型二 数图形中平行四边形的个数 题型三 求平行线间的距离 题型四 利用平行线间距离解决问题 题型五 四边形的不稳定性 题型六 证明四边形是平行四边形 题型七 判断能否构成平行四边形 题型八 添一个条件成为平行四边形 题型九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型十 全等三角形拼平行四边形问题 题型十一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十二 利用平行四边形性质和判定证明 题型十三 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形最值问题 拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题 拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用 知识点一：平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海松江·期末）平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 2．（24-25八年级下·广东河源·期末）在中，，则的度数为_________． 知识点二：平行四边形的判定 判定 符号语言（同上图） 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等； 2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行； 3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分； 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成____个平行四边形． 知识点三：平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 2．（2025·北京·模拟预测）如图所示，，直线与直线之间的距离是线段______的长度 知识点四：平行四边形的判定与性质 1.平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定 （1）与边有关的判定： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【即时训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·期中）若四边形ABCD中，ADBC，CDAB，且∠C＝80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 【经典例题一 (等腰)梯形的定义】 【例1】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A． 条 B．条 C．条 D．条 2．（24-25八年级下·上海长宁·假期作业）青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是( )． 3．（24-25八年级下·上海虹口·开学考试）如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【经典例题二 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】 （25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 1．（25-26八年级下·上海长宁·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【经典例题三 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 【例2】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是____．    1．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 2．（24-25八年级下·河南商丘·月考），点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为________． 3．（24-25八年级下·上海静安·月考）如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 【经典例题四 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，直线，则可以表示这两条直线之间距离的线段是（     ）      A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______． 1．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）如图，已知，那么下列式子中不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是_________． 3．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，是的中点．    (1)求证：； (2)连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形． 【经典例题五 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【例2】（2026八年级下·上海长宁·专题练习）图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 1．（2025·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有_______． 3．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【经典例题六 证明四边形是平行四边形】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2】（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 3．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【经典例题七 判断能否构成平行四边形】 【例1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期中）先阅读下列材料，再解答问题． 已知：如图，点D是的边AB上一点． 求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形． 小明的做法如下： ①分别以点C，点D为圆心，BD和BC的长为半径画弧，两弧交于直线BC上方一点F； ②连接CF和DF． ∴四边形DBCF即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程，完成以下任务． (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵，______， ∴四边形DBCF为平行四边形．（______）（填写推理依据） 【经典例题八 添一个条件成为平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·月考）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当_____时，以为顶点的四边形是平行四边形． 1．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（    ） A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF 2．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）． 3．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【经典例题九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25八年级下·上海长宁·单元测试）以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 2．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【经典例题十 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（2025·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 1．（24-25八年级下·上海长宁·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·青海·模拟预测）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【经典例题十一 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 3．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求的面积． 【经典例题十二 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（25-26八年级下·上海长宁·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 1．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，．       A．甲，乙，丙都是 B．只有甲，乙是 C．只有甲，丙是 D．只有乙，丙是 2．（25-26八年级下·上海长宁·课前预习）如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 【经典例题十三 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（2025·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【例2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25八年级下·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 3．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【拓展训练一 平行四边形最值问题】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 1．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）问题探究 (1)如图1，在中，已知，，的平分线交于点G，求的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，如图2，已知米，米，，的平分线交于点G．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点P是射线上一动点，连接，将修建成新能源研发区，为安全起见，要沿一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（的周长）的最小值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练二 与平行四边形有关翻折问题】 【例1】（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，点E为平行四边形中边上一点，将沿折叠至处，，则的大小为 ________． 1．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 【拓展训练三 平行四边形性质和判定的综合应用】 【例1】 （2026八年级下·上海长宁·专题练习）图①是某机械加工厂商标，小明联想到图②所示的几何图形．在中，，，的平分线交边于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，是上一点，交的延长线于D，交于E． (1)求证：； (2)若F是中点， ①求证：； ②判定的形状，并说明理由． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． A基础训练 1．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 4．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·云南昭通·期中）伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的________． 7．（24-25八年级下·上海·期末）已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件_____（写出一个即可），则四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______． 10．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． C 培优训练 11．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，在中，，，的平分线交于点．求的长． 12．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 13．（2025八年级下·上海长宁·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上.在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹. (1)在图①中确定一个格点D，连接、，使四边形是平行四边形. (2)先在图②中的线段上确定一点E，使最短，再在图②中确定一点F，连接、，使四边形为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $