2.2 二次函数的图象与性质(第4课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 二次函数的图象与性质（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 若A9,n,B分，为，C(号，是二次函数)=-2x+3的图象上的三 点，则y1,2,y的大小关系是（) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 【分析】由A,B,C三点的横坐标求出纵坐标即可直接比较大小，基本思路是把x=-10 号，=号分别代人y=-2+3中，得=号，=华，=-登.进而得到%还可 以根据二次函数y=22+3的图象的对称性和A9,,B弓，⅓，C；,为离对称 轴的距离远近来比较大小，基本思路如下：由表达式y=-x2-2x+3得到抛物线开口向下，对称 轴为一么。-山，我们将已知的三点按离对称轴x=一1的距离由远到近的顺序排列为C?为， A9n小，B之，归，再根据抛物线的开口方向，很容易得到y此题还可以通 过二次函数图象在对称轴两侧的增减性来比较大小，基本思路如下：先确定二次函数y= --2+3图象的开口向下，对称轴x品a山，然后根据B-2,n小，C?,⅓两点的横 坐标大于-1，判断这两点在对称轴x=-1的右侧，点A9,六的横坐标小于-1，判断点A 在对称轴的左侧，再求出点A关于直线x=-1的对称点A的横坐标为（一）-9+-1)= 31 根据对称性知点A和点A"的纵坐标相等，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，所以当号> 号>时，有10 【解答】C 【点拨】比较二次函数的函数值的大小时，最直接的方法是代入求值，但计算烦琐；而 最巧妙的方法是根据图象的开口方向和图象上点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的 大小；还可以思考各点是否在对称轴同侧，若是同侧可直接利用函数的增减性判断，若是各 点不在对称轴同侧，一般利用抛物线的对称性，将所有的点转化到对称轴的同侧，再根据函 数的增减性比较大小 数学 九年级下册（北师大版） 基础巩固飞达标闯关 1.从半径为20cm的圆面的中心挖去一个半径为rcm的圆面（如图）， 那么剩下的圆环面积y(cm)与r之间的函数关系式为 该函 数的图象是顶点为 的抛物线的一部分. 20 2.抛物线y=-2x2-4x+3的顶点坐标为 3.已知二次函数y=x2+bx+3,当x=-1时，y取得最小值，则这个二次 第1题图 函数图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.二次函数y=ax+bx(a>0,b<0)的图象在平面直角坐标系中的位置大致是( B 5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中 心对称的抛物线的表达式为() A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5 C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5 6.确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)y=3x2+2x: (2）y=-4x2+8x+3; 3)=72-2-1 4)=-42+ ® 二次函数 第二章 7.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-2,3). (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标. (2)当-3≤x≤0时，直接写出y的取值范围. 第7题图 8.如图，抛物线y=a(x-1)2+4(a≠0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作 CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1，O). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)求梯形COBD的面积. 第8题图 能力提升螂综合拓展 9.在平面直角坐标系xOy中，点(1，m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a心0)上，设 抛物线的对称轴为x=t. (1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值. (2)点(xo,m)(xo≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x的取值范围. 的 口数学 九年级下册（北师大版） 10.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任 意两点，设抛物线的对称轴为x=. (1)若对于x=1,x=2,有y=y2,求t的值. (2)若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1<y2,求t的取值范围， 中考链接©真题演练 11.(2024·牡丹江)将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线经 过点(-2,4)，则6a-3b-7= 12.(2024内江)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C,点 P(2,y),Q(3,2)在抛物线C上，则y1(填“>”或“<"2 13.(2024成都)在平面直角坐标系x0y中，A(x1,y),B(2,y2),C(x,y3)是二次函 数y=-x244x-1图象上三点.若0<x<1,x>4,则y(填“>”或“<”)2；若对于m< x1<m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在y1<y3<y2,则m的取值范围是 14.(2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标 是-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列说法正确的是() y (-1,4) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 -30 D.当x<-1时，y随x的增大而减小 第14题图 15.(2025·福建)已知点A(-2,y),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上，若3<b<4,则 下列判断正确的是() A.1<y<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 16.(2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 第16题图 20 二次函数 第二章 17.(2024安徽)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的 顶点横坐标大1. (1)求b的值 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上. ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； ②若x1=t-1,求h的最大值， 18.(2025.安徽)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴， (2)点A(x1,y1)和B(x2,2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上（点A,B与原点都 不重合). ①若a=3,且=，比较n与2的大小； ②当2=也时，若2是一个与x无关的定值，求a与b的值. ④数学 九年级下册（北师大版） 2.-2-53.(0,0)(-1,5) (2)m<n<c,∴.a+b+c<9a+3b+c<c,解得-4a<b<-3a, 4.向上(-3，-2)直线x=-3 5.<2>2=26.D7.B8.B 3ac-6,<名费，即q2:点，m 9.(1)向上，直线=4，(4，-2).(2)向下， (≠)在抛物线上，ma+btc.当时，即 a 直线x=-2,(-2,-7).(3)向上，直线x=-3, (-3,1. ④)向下，直线分，宁号》 =含.由()知a6c,解得=2：当2时，即 10.(1)画图略.最大值是3.(2)画图略. 多=-2，解得3，的取值范围为2<<3. 2a 最小值是-4. 10.解：(1)对于x1=1,x2=2,有y1,a+b+ 11.解：(1)y=-x2-2+1=-(x+1)2+2,.已知抛 物线的顶点坐标为(-1,2).将点(-1,2)向下、向 6-4a+2+3a0合-3对称编为=会号 a 左都平移3个单位长度到达点(-4，-1)，因此所求抛 物线的顶点坐标为(-4，-1).∴.新抛物线表达式为 3 · 2)0eKl,l2.<<号，K y=-(x+4)2-1,即y=-xX2-8x-17.(2)新抛物线与 .y1,a>0,(,1)离对称轴更近.又x1<2, 已知抛物线关于y轴对称，∴已知抛物线顶点与新抛 则(x,y)与(，)的中点在对称轴的右侧，· 物线顶点关于y轴对称，新抛物线顶点坐标为 1 (1,2),∴.新抛物线表达式为y=-(x-1)2+2=-x2+2+1. 2 12.解：(1)设抛物线y=a(x-4)2+3.6,由该抛物 11.212.< 1 线经过点(0,2)可得a=-0.1.当y=0时，0.1(x-4)2+ 13.>2m<1提示：y=-+4-l=-x-22+ 3.6=0,解得x1=10,2=-2(不合题意，舍去)，x=10. 3,.二次函数y=-x2+4x-1图象的对称轴为直线x=2, (2)推铅球时沿与水平方向成45°方向用力推出， 开口向下.0<<1,2>4,2-x<x2-2.(x1,n)比 可以将铅球推得更远. (,2)离对称轴直线的水平距离近.y>y2m<x< 13.<14.y=-x2+1(答案不唯一) m+1,m+1<x2<m+2,m+2<x3<m+3,x1<x2<x.对于 15.C16.C17.C18.A m<x<m+1,m+1<x<m+2,m+2<x<m+3,存在y<y2, 2二次函数的图象与性质（第4课时） <2,x>2,且A(1,)离对称轴最远，B(2,y2) 1.y=400m-T2(0,400m)2.(-1,5) 离对称轴最近..2-x>-2>le2-21.∴x+x<4,且+x>4. 3.B4.C5.A .2m+2<x+<2m+4,2m+3<2+x3<2m+5,.2m+2<4,且 6①)开日向上，直线x=号，号，分】 2m454号mcl (2)开口向下，直线x=1,(1,7).(3)开口向上， 14.C15.A16.C 直线x=2,(2,-3).(4)开口向下，直线x=3, 17.解：(1)抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为 3》 ，一+2x的顶点横坐标为1，小冷-11b=4 b 7.解：(1)把M(-2,3)的坐标代人y=-x2+mx+ (2):点A(1,y）在抛物线y=-x2+2x上，y1=-x+ 3,得-4-2m+3=3.解得m=-2..∴y=-x2-2+3=-(x+1)2+4. 2.由(1)可得抛物线=-x2+b=-2+4x.B(x+t,y1+ ∴.抛物线的顶点坐标为(-1,4.(2)y=-(x+1)+ h)在抛物线y=-x244x上，∴y1+h=-(x+t)P+4(x1+t).将 4,∴.抛物线开口向下，有最大值4.：当x=0时，y=3, y=-x2+2x代人方程，得h=-y-x2-2xt-子+4x+4t=x2 当x=-3时，y=0,∴.当-3≤x≤0时，y的取值范围是 21-x2-2t-+4x1+4t..h=--2xt+2x1+4t.①h=3t, 0≤y≤4. 3t=-t2-2xt+2x+4t.t(t+2x)=t+2.x1≥0，t>0,.t+ 8.解：(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中， 2x1>0.t=1.∴h=3.②将x1=t-1代人h=--2t+2x1+4t 得0=4a+4.解得a=-1,则抛物线表达式为y=-(x-1)2+ 4.(2)对于y=-(x-1)2+4,令x=0,得到y=3,即 中，h=-348-2-3号月+930，当=号 0C=3.抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1, .CD=1.A(-1,0),∴B(3,0),即OB=3,则S形m 即x专1兮时，么取最大值 31 =(1+3)×3=6. 18.解：(1)由题意得，将点(4,0)代入y= 9.解：(1)将点(1，m),(3,n)代入抛物线表 2+b,得16a+4b=0.即b=4a,名2，故所求抛 达式.得mnC,mn,a+hc=9a+3+e.整理得 物线的对称轴是直线x=2. n=9a+3b+c. (2)①由(1)可知，抛物线的表达式为)广子之 b加4，抛物线的对称轴为直线=品a2上 2又6，=6-2)分-2）2.抛 2.c=2,抛物线与y轴交点的坐标为(0,2) 00 参考答案与提示 物线号-2x过原点，且点A与原点不重合，出产 x的取值范围是-3≤x≤1. 8.解：(1)：抛物线y=-x2+mx+n,直线y2=kx+ 07>0 b,y的对称轴与2交于点A(-1,5),点A与y的顶 点B的距离是4，B(-1,1)或(-山，9).2x- m ②由题意，知y=ax-4ax1,y2=x号-2x22-点 YI xI -2x,=也.两条抛物线均过原点，且点A,B与 =-1, 4x1)x-m=1或9，解得m=-2,n=0或8， 4×(-1) a(x7-4x1）x1 1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.(2)抛物线与x轴交 原点都不重合，≠0，≠0.。-2 a(-4)=1.= 点的纵坐标等于0，即=0.①当y=-x2-2x时，令- a(x1-4)+2.-axr4)+2=+24.依题意，知a+ x2-2x-0.∴.抛物线与x轴的交点是(0,0)和(-2,0). 1 y1的对称轴与2交于点A(-1,5),且y2随着x的增 24恤是与无关的定值，又≠0,2-4=0.解得 大而增大，少与y2都经过x轴上的同一点(-2,0) =分此时，兰=号是一个与无关的定值.a子 1 把(-1,5，（-2,0)代入2kx+b,得2+b0解 x12 b=-4a=-2. 得0y5x+10.②当=-2-2x+8时，由题意知 3确定二次函数的表达式（第1课时） -x2-2x+8=0,解得x=-4或2，.抛物线与x轴的交点 1.-72.=-x2+x+23.D4.B 是(-4,0)和(2,0).随x的增大而增大，且过 5.解：(1)抛物线y=a+2x+c经过点A(0,3), 点A(-1,5),y1与2都经过x轴上的同一点(-4,0) B(-L,0),将点A与B的坐标代入得3=C, 解 l0=a-2+c. 把(-1,5)，4,0)代人x+b,得0解 得，1，则抛物线表达式为y=-+2x+3.(2)将 c=3, 3 得 5x+20. y=-x2+2+3配方，得y=-(x-1)2+4,则顶点D(1,4)· :y 3 :对称轴=1与x轴交于点E,DE=4,OE=1.B(-1, -号 9.解：以桥面横截面为x轴，以主缆垂度所在的 O),:BO=1..BE=2.在Rt△BED中，根据勾股定理得 直线为γ轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标 BD2=BE+DE2=22+42=20,∴.BD=2V5. 为(0,0.0015).可设该抛物线的表达式为y=ax2+ 6.解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、 0.0015.由题意，知抛物线经过(0.85,0.18)，则 点2,3，第得修子范药的 lc=-3. 01S-035+0015解得一酷：该抛物线的表达式 表达式为y=x2-2x-3. 为=2+0.0015. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.点D的坐标为(1， 851 -4).令x=0,则y=x2-2x-3=-3,.点C的坐标为(0， 10.解：(1)将A(1,0),C(2,5)代入y=ax2+ -3).又点B的坐标为(2，-3)，BC∥x轴，BC= 6x3（a≠0)，得2s解得2，抛物线对 2Se×2x1=1.设抛物线上点P的坐标为(m, l4a+2b-3=5. 应的函数表达式为y=x2+2x-3. m-2m-3),sam=号2xni-2nm-3-(←3lelm-2m=4 (2)①令y=0,则x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1. 点A的坐标为(-3,0)·②-3<x<1 当m2-2m=-4时，方程无解；当m2-2m=4时，解得m= (3)存在.设点P的坐标为(0，a),A(-3,0), 1±V5.当m=1+V5时，m2-2m-3=1；当m=1-V5 C(2,5),.AC-(2+3)24(5-0)P=50,A-(0+3)24(a-0)2 时，m2-2m-3=1.综上所述，点P的坐标为(1+V5, =9+2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=d2-10a+29..·△ACP是以 1)或(1-V5,1). AC为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况讨论： 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y= 当AP为斜边时，A严=AC+CP2,即9+2=50+2- ,82邻阳；三武商数的衣 10a+29.解得=7..P1(0,7). 当CP为斜边时，CP2=AC+AP严，即a2-10a+29= 达式为y=x2+2x-5.y=x2+2x-5=(x+1)2-6,.顶点坐标 50+9+2.解得a=-3.∴.P2(0,-3).综上所述，存在符 为(-1，-6). 合条件的点P,P(0,7),P(0,-3). (2)y≤-2，即满足该条件的抛物线上的点在过 3确定二次函数的表达式（第2课时）】 点(0，-2)且平行于x轴的直线y=-2的下方（包括 1.y=-x2-2+32.-23.y=x2-4x+5 直线y=-2与抛物线的交点).：点A(1,-2)关于对称 4.B5.D6.C 轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2),∴.当y≤-2时， 7.解：由题意，得c=-1.二次函数y=a2+bx-1