3.3 简单的图案设计-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

图形的平移与旋转 第三章 简单的图案设计 自主导学Q典例精析 例题如图，在方格纸中，线段a,b,c,d的端点在格点 上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角 形，那么能组成三角形的平移方法有哪些？ 【分析】利用网格结合三角形三边关系，a,b,d三条线段才能 组成三角形，因此只有通过平移a与b、a与d、b与d可得到三角 形，进而得出答案。 【解答】由网格可知：a=V2,b=d=V5,c=2V5,则能组 例题图 成三角形的只有a,b,d,所以可以平移线段a,b与线段d首尾相连组成三角形；也可以平 移线段a,d与线段b首尾相连组成三角形；还可以平移线段b,d与线段a首尾相连组成三 角形。 【点拨】此题主要考查了利用平移设计图案、勾股定理以及三角形三边关系，判断四条 线段是否能组成三角形，以及线段平移后三条线段能否首尾相连是解题关键。判断四条线段 能否组成三角形的方法有两种：第一，从数的角度，利用勾股定理求出各边长，然后利用三 角形的三边关系判断；第二，从形的角度，观察图形可直观判断线段b,d的和等于线段c, 故线段c不符合要求。 基础巩固（达标闯关 1.如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是() 第1题图 A B C 2.（1)请将图1中的图案补成既是轴对称又是中心对称的图形。 (2)将图2中的图案补成中心对称图形。 (3)在图3中设计一个图案，使这个图案是中心对称图形，但不是轴对称图形。 图1 图2 图3 第2题图 79 口数学八年级下册(北师大版) 能力提升=综合拓展 3.课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6x8的方 格中， △ABC 和 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 }$$ 的顶点都在格点上，且 $$\triangle A B C \cong \triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 0 }$$ 。请利用平移或旋转变换， 设计一种方案，使得 △ABC 通过一次或两次变换后与 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 }$$ 完全重合。” (1)小李的方案是：“先将 △ABC 向右平移2个单位长度得到 $$\triangle { A _ { 2 } } { B _ { 2 } } C _ { 2 } ，$$ ，再通过旋转得到 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 0 }$$ ”请根据小李的方案，在图1中画出 $$\triangle { A _ { 2 } } { B _ { 2 } } C _ { 2 } ，$$ ，并描述旋转过程。 (2)小红通过研究发现， △ABC 只要通过一次旋转就能得到 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 0 }$$ ，请在图2中画出小 红方案中的旋转中心 P， 并简要说明你是如何确定的。 C C A $$A _ { 1 }$$ A $$A _ { 1 }$$ $$C _ { 1 }$$ $$C _ { 1 }$$ B $$\overrightarrow { B _ { 1 } }$$ B $$B _ { 1 }$$ 图1 图2 第3题图 中考链接白真题演练 4.(2022·广安)数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都 是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影， 请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成 一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形。(规定：凡通过旋转能重合 的图形视为同一种图形) 第4题图 5.(2022·黑龙江)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， △ABC 与 △DEF 关于点O成中心对称， △ABC 与 △DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题。 (1)在图中画出点O的位置。 (2)将 △ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 } ，$$ ，请 画出 $$\triangle { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } C _ { 1 0 }$$ (3)在网格中画出格点M，使 $$A _ { 1 } M$$ $$\angle { B _ { 1 } } { A _ { 1 } } C _ { 1 0 }$$ B C E F D 第5题图 80参考答案与提示 2图形的旋转（第3课时) ☆问题解决活动：最短距离 1.B2.C 1.解：AB=5,PQ=2,.四边形APQB的周长为 3.解：线段AB是中心对称图形，对称中心是AB AP+PO+BO+AB=AP+BO+7。要使四边形APOB的周长 的中点；等边三角形不是中心对称图形；平行四边形 最小，只要AP+BQ最小即可。如图，在AB边上截取 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；正 AM=PQ,E,F分别是AD,BC的中点，.点B关于 八边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 EF的对称点为点C,连接CM,交EF于点Q,连接 画图略。 PM,.∠AMP=∠QPM。AM=PQ,MP=PM,∴. 4.证明：△AB0与△CD0关于点0中心对称， △AMP≌△QPM。.AP=MQ。则CM即为CQ+MQ=AP+ .BO=D0,AO=C0。.AF=CE,.·AO-AF=CO-CE。 BQ的最小值。在Rt△BCM中，MB=AB-AM=5-2=3, FO=EO。∠FOD=∠EOB,B0=D0,∴.△FOD≌ BC=4,∴.CM=VBM+BC=5。∴.四边形APQB的周长 △EOB(SAS)。.DF=BE。 最小值为5+7=12。 5.解：是中心对称图形，对称中心为点O。理由： AB∥DC,.∠A=∠C,∠B=∠D。又AB=CD, △AB0≌△CD0。.OA=0C,OB=OD,且点A,0,C 和B,O,D共线，即△AB0绕点O旋转180P得到△CD0。 6.略。 7.解：(1)图略，连接AA',BB相交于点M, 点M就是对称中心。设点M的坐标为(m,n),A(-4, 1)与A'(2,-1)关于点M成中心对称，B(-1,3)与 D' B(-1,-3)关于点M成中心对称，∴m-(-4)=2-m, 第1题答图 第2题答图 3-n=n-(-3)。m=-1,n=0。.点M的坐标为(-1， 2.解：如图，四边形BDEF的周长=BD+DE+ 0)。(2)AB=A'B′，AB∥A'B。线段A'B与线段 EF+BF,而DB,EF的长为定值，.四边形BDEF的周 AB关于点M成中心对称，.MA=MA',MB=MB, 长的最小值等于DE+BF的最小值与DB+EF的和。作 ∠AMB=∠A'MB',∴.△AMB≌△A'MB'(SAS)。.AB= 点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取BG=EF= A'B,∠A=∠A'。∴AB∥A'B。(3)设点P(a,b) 2,连接DG交x轴于点E,则DE+BF的最小值即为 关于点M成中心对称的点P为(x,y),-1-a=x- 线段GD'。在EA上截取EF=2,此时得到点F,则四 (-1),b-0=0-y。x=-2-a,y=-b。∴.P'(-2-a,-b)o 边形BDEF周长的最小值即为GD+DB+EF。,点D的 8.C9.B10.B 坐标为(0,2)，.对称点D的坐标为(0，-2)，点G 11.解：(1)略。 （2)5aca=2x7×10x4 的坐标为(1,4)，则直线ED'对应的函数表达式为y= 40。 (3)图略，点E的坐标为(6,6)。 6x-2。ED'与x轴交点E的坐标为号，0)。 3简单的图案设计 3.解：(1)BD=10,CD=x,∴.BC=BD-CD=10 1.B x。AB⊥BD,ED⊥BD,'∠B=∠D=90°。在Rt△ABC 2.解：(1)如图1所示。(2)如图2所示。 中，.AB=6,∴AC=VBC4AB=V(10-x)+36。在 (3)如图3所示。（答案不唯一） Rt△EDC中，DE=2,∴.CE=VCD+DE=Vx+4。 .AC+CE=V(10-x)+36+V+4。(2)如图1，作 点A关于河道I的对称点A',过点A'作A'E⊥BC,交 BC的延长线于点E,过点A作AF⊥BC于点F,连接 A'P,A'B,则易得四边形ADCF,四边形DA'EC和四 图1 图2 图3 边形AA'EF都是长方形，且AD=A'D,PA'=PA, 第2题答图 .PA+PB=PA'+PB≥A'B。.PA+PB的最小值为A'B的 3.解：(1)略。 (2)连接CC1,BB1,作CC 长。：AD=4km,BC=6km,AB=6km,EC=A'D= 的垂直平分线，BB的垂直平分线，交于点P,则点P AD=FC=4km。∴.BE=BC+CE=l0km,BF=BC-FC=2kmo 即为旋转中心，图略。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=VAB-BF严- 4.如图所示。5.略。 4V2(km)。.∵A'E=AF=4V2km。.∴A'B=VAE+BE 磁我磁型 V(4V2)2410=2V33(km)。PA+PB的最小值为 2V33km。(3)如图2，作线段BD=12,分别过点 B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,使AB=7,DE=2,连接 第4题答图 AC,EC,设CD=x,则BC=12-x。.CE=VCD+DE严= 183