1.2 整式的乘法(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 整式的乘法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题1计算：(1)(-3ab)(2db-ab+2)；(2)x(x-2)-2x(x+1)-3x(x-5)。 【分析】单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化 为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘。 【解答】(1)(-3ab)(2ab-ab+2) =(-3ab)·2a2b+(-3ab)·(-ab)+(-3ab)x2 =-6ab2+3a2b2-6ab; (2)x(x-2)-2x(x+1)-3x(x-5) =x·x+x·(-2)+(-2x)·x+(-2x)·1+(-3x)·x+(-3x)(-5) =-4x2+11x。 【点拨】掌握同底数幂乘法运算性质和单项式乘单项式法则，是正确进行单项式乘多项 式运算的关键。单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相 同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘。 例题2计算：(1)(5a-2b)(2a+b);(2)(d2-a+1)(a+1)。 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 【解答】(1)(5a-2b)(2a+b) =5a2a+5ab-2b·2a-2b·b =10a2+5ab-4ab-2b2 =10a2+ab-2b2; (2)(a2-a+1)(a+1) =2.a+2.1-aa-a1+1·a+1 =d+a2-2-a+a+1 =d+1。 【点拨】多项式乘多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，才能 做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应 等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并。 基础巩固飞)达标闯关 1.计算：3x(x-2x2)= 2.计算a(a-2)-(a+2a)的结果为 14 整式的乘除 第一章 3.如果(5-a)(6+a)=12,那么-2a2-2a+8的值为 4.如果(x+m)(x-3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为 5.已知M=y2+2y+a,N=-y,P=y+2y2-7y+2,且MN+P的值与y无关，则a= 6.计算-a(a2-2a-1)的结果是(） A.-a3+22-a B.-d+2a2+a C.-a3+2a2+1 D.-d+2a2-1 7.x(x-x-+x)的计算结果是() A.x2nt1x2n+xm2 B.x21-x2+2+X+2 C.x2n1xx1 D.x21-x2n-X+2 8.下列计算正确的是() A.(6xy2-4x2y).3xy=18xy2-12x2y B.(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1 c（-3(-2y+3g-1=6cy-9r5+3的D.2a-2ab=0%-b 9.一个长方体礼品盒的长、宽、高分别是3x-4,2x,x,它的体积是（) A.3x3-4x2 B.x2 C.6x3-8x2 D.6x2-8x 10.计算(x-5)(2x+1)的结果是() A.2x2_9x+5 B.2x2-9x-5 C.2x2+9x+5 D.2x2+9x-5 11.若(x+3)(x-9)=x2+mx-27,则m的值是() A.12 B.6 C.-6 D.-12 12.已知m+n=-3,mn=2,则(1-m)(1-n)的值为（）) A.6 B.2 C.0 D.-4 13.通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以 验证的算式是() A.a(b-x)=ab-ax B.b(a-x)=ab-bx 图1 图2 C.(a+x)(b+x)=ab+ax+bx+x2 第13题图 D.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2 14.若n为整数，则代数式(3n+3)(n+3)+3的值一定可以() A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被9整除 15.计算： (1)-2x(1-+42-2): 2)(36-9+1(-0.2: 口数学 七年级下册（北师大版） (3）12xy2[3y1-20yl+(-1)206]; (4)(-2ab2)2(3a2b-2ab-463); (5)2(-x+3y)(4y-x); (6)(x+2)(x+3)-(x+6)(x-1); (7)(2+4)-+x; (8)(2+5y)(3-2y）-号(3x-9y). 能力提升睡综合拓展 一。多多 16.化简求值： （1)2x(1-3x+(3x4(2+3),其中=号： (2)(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2),其中x2+2x+2=0: (3)2x(2x+y)+(x-y)(3y+x)+3y2,其中x=-2,y=2。 6 整式的乘除 第一章 17.某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一块如图所示的长为 (3a+2b)m、宽为(2a+b)m的长方形健身广场，广场内有一个边长为2am的正方形活动 场所，其余地方为绿化带。 (1)用含α，b的代数式表示绿化带的总面积。（结果写成最简形式）》 (2)若a=10,b=5,求出绿化带的总面积。 -3a+2b 第17题图 18.在数学课上，张老师出示下列问题：已知xy=3,求2xy(xy2-3xy-4x)的值。 下列是小王同学思考和解答这个问题的过程： 小王同学的思考过程：考虑到满足xy=3的x,y的可能值较多，不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想，将x2y=3整体代入，因此要将代数式中含有x,y的项化为以xy为底数的 幂的形式的多项式。 解：2xy(xy2-3xy-4x)=2x%y3-6x4y2-8xy=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24。 请你用上述方法解答问题：已知ab=5,求-2b(2a2-3a孔+4a)的值。 19.在探索有关整式的乘法法则时，我们借助几何图形的面积推导出多项式乘多项式法 则。实际有些代数恒等式也可以借助这种方法来验证等式的正确性，例如：(2a+b)(a+b)= 2a+3b+b2就可以用图1中的几何图形的面积的两种不同表示方法验证。 (1)请利用图2中的几何图形，写出一个多项式乘多项式以及它的恒等变形。 (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a+b)(a+3b)或a+4ab+3b2。 (3)请仿照上述方法再写一个含有a,b的多项式乘多项式以及它的恒等变形，并画出 与之相对应的几何图形。 62 ab ab ab ab b ab b2 图1 图2 第19题图 数学 七年级下册（北师大版） 20.阅读下列材料，完成相应的任务。 定义：对于一组多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d是常数)，当其中两个多项式 的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项 式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子。例如：对于多项式x+1,x+2,x+5,x+6,因 为(x+1)(x+6)-(x+2)(x+5)=(x2+7x+6)-(x2+7x+10)=-4,所以多项式x+1,x+2,x+5,x+6是 一组平衡多项式，其平衡因子为-4=4。 (1)小明发现多项式x+3,x+4,x+6,x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列 式如下：(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6),根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子。 (2)多项式x-1,x-2,x-4,x-5是否为一组平衡多项式？若是，求出平衡因子；若不 是，请说明理由。 (3)若多项式x+2,x-4,x+1,x+m(m是常数)是一组平衡多项式，求m的值。 中考链接©真题演练 21.(2025·南充)计算：a(a-3)-a2= 22.(2024·辽宁)下列计算正确的是() A.a+a=2a B.a.aa C.(a2)3=ad D.a(a+1)=2+a 23.(2023·随州)设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片，长为a、宽 为b的C类矩形纸片若干张。如图所示，要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸 片、1张B类纸片和2张C类纸片。若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C 类纸片的张数为() A.6 B.7 C.8 D.9 A B 24.(2025·浙江)化简求值：x(5-x)+x2+3,其中=2。 第23题图 ⑧参考答案与提示 参考答案与提示 第一章整式的乘除 1幂的乘除（第1课时）】 5x}。所以m-5x65x}广-25x16x}'-25x2。 因为mn=400,所以25x2=400。所以2=16=24。所以t= 1(1)日(2)-625(3)d(42m2 4.15.解：(1)因为2*3.3+=36-2，所以(2x3)*= (1)(a-b)5(2)36m3.(1)1(2)44.(1)1 (6,即6=62-2。所以x+3=2(x-2)。解得x=7。 (2)2565.C6.D7.B8.C9.A10.B (2)因为3x2×4-96,所以2*×223=32。所以23+8 11.(1)-x6(2)(2x-3)9(3)(x+y)3-2(4)0 2。所以3+3)-5。解得专。(3)-(2×5 12.解：4×10×2.5x3.6x10=3.6×103(m)。13.解：因 (825)4-(2×102)4=1.6×10°。16.64x617.D18.A 为321+2》=3=3,4n=4,n=1,所以原式=2.14. 19.C 解：由题意得m+2n+1=12,m+2+n-1=9,将m+n=8代 入m+2n+1=12,得n=3,再将n=3代入m+n=8,得m= 1幂的乘除（第4课时） 5,所以n=243.15.解：4GB=22X2x2X20-2200m0= 1.()3(2)号(3)12(0)y(2) 22(B)。*16.解：(1)7⑧8=10x10-105。(2)相 等，理由：因为(a+b)⑧c=10×10=10,a☒(b+c)= (3)c23.(1)x2(2)d(3)-34.(1)-a (2)5(3)(a-b)45.8.5×1056.2.01×1067. 10x10-10,所以两者相等。17.518.B19.D 1幂的乘除（第2课时） (1)-3 (2)48.()6(2)号9.C10.C 1.(1)y(2)y0(3)2y52.(1)a2(2) a(3)2d3.(1)x6(3)-x5(3)-x 1.(1)-125(2)号(3)-16(4)24m 4.20265.(1)2(2)1446.817.(1)33 (5)6(6)-圣2.解：(288x10)=(1.8x109)= (2)38.)(2)p(3)04a 16.13.解：5×10x2×10=1×10(cm)。答：用2× (5)3y59.解：原式=(2)-4(x2)2=74×7=147。 103个这样的细胞排成一排的长度是1x10cm。14.解： 10.解：基本规律是对于2"，n被4除，如果余1，则 900÷10=9×107(mm2),9x10÷10°=9×10-1(m2)。答： 2的结果末位数字是2；如果余2，则2"的结果末位数 每个这样的元件约占9x107mm2,约占9×103m2。 字是4：如果余3，则2的结果末位数字是8：如果整 "15.解：(1)因为d=8,所以2=(d)2=82=64。又因 除，则2”的结果末位数字是6。而8=2”，274-6…3， 为a2m=a2÷a=16,所以64÷a"=16。所以d=64÷16=4。 则8°的结果末位数字是8。*11.解：因为30=(3)2= (2)因为d=6,a=2,所以(d)2=6=-36,(a)4=24, 243”,50=(5)m=12520,又因为243>125，所以310> 即a=36,a-16。所以a2=a2÷a=36÷16= 4。(3) 50.12.解：(1)3-32提示：因为3=27，所 以(3,27)=3：因为(-2)=-32，所以(-2，-32)=5。 a-c=2b。理由：因为x=x÷=28÷7=4=22,(2=22, (2)理由：设(3,4)=a,(3,5)=b,则(3,4)+ 所以X=x2。所以a-c=2b。16.x217.318.2.5× (3,5)=+b,3-4,3=5。所以33-4x5=20。所以3= 10°19.1620.-1或1或321.C22.C23.A 24.C 20。所以（3,20)=a+b。所以(3,4)+(3,5)= (3,20)。13.C14.A15.D 2整式的乘法（第1课时） 1幂的乘除（第3课时） 1.(1)-8xy2(2)-108xy32.-23.-x4y44.A 1.(1)4db2(2)27xy2.363.(1)1(2) 5.B6C7.(0-l2mmx(2)-4y(③)6x -54.85.326.(1)16xy8(2)64x67.C 106(4)-23(x-y)5或2a63(y-x)卢8.解：(1) 8B9A10BD2d②去% 原式=4n+号m=号m。(2)原式=3对. (3)0(4)32(5)9(2-3x)2113.解：(1) 原武-号8x对分”名号*月 子79-2的写，3)原式 4(a-b)2.(a-b)4-(a-b)3.(a-b)3=4(a-b)6-(a-b)=-3(a-b)。 含×-1-子。2)原式-3n2分”32以 (4)原式=-36x写)(m2m)(mm)[g--(g-)月 2号-(32m2x”=616.14解 =-12mn(0y-x)卢=12mn(-y)卢。9.解：因为(2d%2)· (1)因为9=36，所以(32)=36。所以3-3。所以2= (3产h2=2x号)(d(b-b产)=*-be 6。所以x=3。(2)因为32-3-=18，所以3x3H-3= ad2b2m2,所以d*2b2咖2=a3。所以m+2n=5,2m+n+ 18,所以2×3=2x32。所以3=32。所以y+1=2。所以 2=3,即m+2n=5,2m+n=1。所以3m+3n=6。所以m+ n=2.10.3m211.D12.C13.D y=1。 (3)因为m=6-6,n=18x号-（兮，所 2整式的乘法（第2课时） 以m=6x6-6=5x6,n=18x}”-号=6x(3(g月 1.3x2-6x32.-4a3.-284.35.-76.B 7.A8.D9.C10.B11.C12.A13.D14. 数学 七年级下册（北师大版） B15.()-子+子-6c+32)}b+号a 2b)。理由：图1中阴影部分的面积等于2-4b2,图2 中长方形的长为(a+2b),宽为(a-2b),因此阴影部 号b(3)36yn-24y+12y2(4)12ab- 分的面积为(a+2b)(a-2b),所以2-4b2=(a+2b)(a- 2b)。18.b2-219.420.D21.解：原式=x2-4+ 8ab5-16d2b7(5)2x2+24y2-14y(6)12(7)-x2+ x-x2=x-4。当=6时，原式=6-4=2。 4x(8)4x2+17xy-10y216.解：(1)原式=2x-6x2+ 3乘法公式（第2课时） 6249x-8-12-3x-12,当x=-时，原式=写×3-12= 3 1.30号30子89982产产3. 「4 -1-12=-13。(2)原式=2x2+x-2x-1-(x2-5x+2x-10)= 4.-5y-7x5.D6.B7.A8.(1)3599(2) 2x2-x-1-x2+3x+10=x2+2x+9。因为x2+2x+2=0,所以x2+ 2x=-2。所以原式=-2+9=7。 (3)原式=4x2+2xy+ 99(3)-8999(4)999是9解：原 3xy+x2-3y2-y+3y2-5x2+4xy。将x=-2,y=2代人，原式= 式=x2-1+92-4=10x2-5,因为322-1，所以2x-2=0。所 5×(-2)2+4×(-2)×2=4.17.解：(1)绿化带的总面 以x=1。所以原式=10×12-5=5.10.解：去年租给乙 积=(2a+b)(3a+2b)-(2a)2=62+4ab+3ab+2b2-4a2=2a2+ 的土地面积为2，今年租给乙的土地面积为(a+5)(a- 7ab+2b2。答：广场上绿化带的总面积是(2a2+7ab+2b) 5)=-25,因为2>a2-25,所以乙吃亏了。 *11.解： m2。 (2)把a=10,b=5代入，得2㎡+7ab+2b2=2× (1)图1中阴影部分的面积为2-b?,图2中阴影部分 102+7×10×5+2×52=600(m2)。答：广场上绿化带的总 的面积为(a+b)(a-b),故恒等式为a2-b2=(a+b)(a-b) 面积是600m。18.解：原式=-4b3+62b2-8ab= (2)①原式=(x24)(x2+4)=x4-16。②由(1)知， -4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4×53+6×52-8×5=-500+150-40= 4m2-n2-(2m-n)(2m+n)。又因为2m-n=5,2m+n=11,所 -390.19.解：(1)(2a+b)(a+2b)=2d+5ab+2b2。 以原式=(2m-n)(2m+n)=5×11=55。 (3)原式=(2- (2)画图如图1所示（答 1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(22-1)(22+1)(24+ 案不唯一)。 (3)恒等 b b2 1)(2+1)(26+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(28 式是(a+2b)(a+b)=d+ 1)(2+1)(216+1)+1=(26-1)(216+1)+1=22-1+1=22。 3ab+2b2,如图2所示（答 0 ab ab 12.A13.解：原式-2m-m+2m+m2-9=4m-9。当m= 案不唯一)。20.解： (1).·(x+3)(x+7)-(x+4)· b b 多时，原式=4×号-910-9=1。 (x+6)=x2+10x+21-x2-10x- 图1 3乘法公式（第3课时） 24=-3,-3引=3。∴.该组平衡多项 1.(1)x2+4x+4（2)9+6ab+b22.(1)x2- 式的平衡因子是3。(2)多项 2xy+y(2)x2-4xy+423.-2xy2y4.(1)24xy 式-1，x-2,x-4,-5是一组平 (2)y5.±126.B7.D8.C9.(1)-22ab-2b 衡多项式。·(x-1)(x-5)-(-2) ab (2)m-18m2+8110.解：方案二：d2+ab+(a+b)b=a2+ (x-4)=x2-6x+5-xX2+6x-8=-3, 6 b ab tab +b2 =a2 +2ab +b2=(a +b)2o a 方案三：a2+ 该组平衡多项式的平衡因子 图2 [at(a+b)]bat(a+b)b=d+ab+ C 是1-3引=3。(3)若多项式x+2, 2 2 aa ab ac x-4,x+1,x+m(m是常数)是一 第19题答图 b2+b+1b2=a2+2ab+b2=(a+b)尸。 组平衡多项式，有三种情况：①(x+2)(x-4)-(x+1)(x+ 2 2 m)=x2-2x-8-x2-(1+m)x-m。是一组平衡多项式 11.解：(1)9个方格中填上相应的 .-2-(1+m)=0。.∴m=-3。②(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m) 代数式如图1。因为大正方形的面积 ac bc c2 =x2+3x+2-x2-(m-4)x+4m。.·是一组平衡多项式，..3 为(a+b+c)2,9个长方形的面积和为 (m-4)=0。.m=7。③(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)=x2+ 2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以 图1 (2+m)x+2m-x2+3x+4。:是一组平衡多项式，2+m+3= (a+b+c)2=2+b2+c2+2ab+2bc+ aa ab ac ad 0。∴m=-5。综上所述，m的值为-3或7或-5.21. 2ac。 (2)如图2，因为 -3a22.D23.C24.解：原式=5x-x2+x2+3=5x+3。 大正方形的面积为(a+b+c+ b ab bd 当x=2时，原式=5×2+3=13。 d)2,16个长方形的面积和为 3乘法公式（第1课时） a +b2+c2+d+2ab +2ac +2ad cd 2bc+2bd+2cd,所以(a+b+c+ 1.(1)4m-b2(2)1-16d(3)x2-y22.a d)2 =d +b2+c2 +d +2ab +2ac dad bd cd b-13.4-4.-2y+5x5.276.27.84 2ad+2bc+2bd+2cd。 (3) 16 因为大正方体的体积为(a+ 图2 8.A9.D10.C11.D12.B13.(1)1-9x2 b)3,分割为8个长方体，这 第11题答图 (2)42-9y2(3)9y-25B(4)2-4d(5) 8个长方体的体积和为a+32b+3ab2+b3,所以(a+b)3=d+ 3a2+3ab2+b3.12.解：(1)由题意，得F(x,y)+ 号-云公(6)-5m+3n14解：原式=3++ H(kx,y)=x2+y2-ky。因为F(x,y)+H(kx,y)是一个 完全平方式，所以-k=±2，即k=±2。(2)因为F(2x+ 2。当x=-1,y=2时，原式=3x(-1×2+(-1+2× 3y,2x-3y)+H(7,x2+2y2)=13,所以(2x+3y)2+(2x-3y)2 7(x2+2y2)=13。所以x2+4y2=13。因为x+2y=5,所以x2+ -0.15.解：(1)原式=(-4)2+4)-( 4xy+4y2=25。所以4y+13=25。所以xy=3。所以(x- y4)=x4-16y-x4+y=-15y。(2)原式=(2-9y2)(x2+ 2y)2=2-4xy+4y=13-12=1。(3）因为S格形w 9y2)+(9x2-2)(9x2+2)=x4-81y4+81x4-y=82x4-82y4.16. SaE=2,所以号·nx·(+y)-号AD-EF=2。所以x(x+y) 解：(2n+1)2-(2n-1)2-8n。左边=(2n+1+2n-1)[(2n+ 1)-(2n-1)]=8n=右边。17.解：a2-4b2=(a+2b)(a- -y4y=4,即nx2+n.y-4y2=4。由(2)知xy=3,x- 2y=±1，x+2y5,所以当x-2=1时，3n+n(+2y)(x-2y)=4,