10.4 三元一次方程组的解法 导学案--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 *10.4 三元一次方程组的解法(选讲内容)3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程，要求规范书写步骤，师生共同评价，肯定优点，指出步骤中的错误和不足，对思路清晰、步骤规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固两种消元法的应用。 五、总结提升，梳理收获（5分钟） 1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么方法解二元一次方程组？解题的核心思想是什么？”，让学生自主发言，梳理代入消元法和加减消元法的解题步骤，强调“消元思想”是解二元一次方程组的核心，两种方法的本质都是将二元转化为一元。 2. 梳理收获：教师补充总结，强调两种方法的适用场景：代入消元法适合有一个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合有一个未知数系数相同或互为相反数的方程组，鼓励学生根据方程组特点选择合适的方法，同时提醒学生注意解题步骤规范和计算准确性，避免常见错误。 3. 布置作业：让学生课后巩固两种消元法的解题方法，完成基础计算题（每种方法各2道），并解决1道实际应用题（列出方程组并求解），要求规范书写解题步骤，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对消元思想的理解。 整个教学过程注重实操性和逻辑性，层层递进，从思想讲解到方法演示，再到实操练习和拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点和运算能力水平，确保学生能掌握代入消元法和加减消元法，能熟练解简单的二元一次方程组，同时培养学生的运算能力、逻辑推理能力和规范书写习惯。 本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解的概念，能判断一个数对是否为方程组的解，培养学生的方程思想和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重实例引导、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握二元一次方程组的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过一元一次方程，谁能说出一元一次方程的定义？”，引导学生回忆——只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=0，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“一元一次方程的核心是‘一个未知数、次数为1’”。2. 情境导入：展示实际问题：“现有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只，问鸡和兔各有几只？”，引导学生思考：若设鸡有x只，兔有y只，可列出两个关系式：x+y=8、2x+4y=26，提问“这两个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？”，进而引出课题——二元一次方程组，明确本节课学习任务：理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能判断方程类型和数对是否为方程组的解。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究二元一次方程组的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 二元一次方程的定义：结合导入环节的两个方程x+y=8、2x+4y=26，讲解二元一次方程的定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个关键条件：① 含有两个未知数（如x和y）；② 未知数的项的次数都是1（不含平方、立方等次数）；③ 等号两边都是整式（分母不含未知数）。举例说明：3x+2y=5是二元一次方程，而x²+y=3（未知数次数为2）、1/x + y=2（分母含未知数）都不是二元一次方程，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义。 2. 二元一次方程组的定义：讲解“把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”，强调“合在一起”的含义——两个方程共同含有两个相同的未知数，且每个方程都是二元一次方程。 【学习目标】 1.通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力. 2.能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法,进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识. 【学习重点】会解简单的三元一次方程组 【学习难点】根据方程组的特点，选择最合适的解法. 【自主学习】 1、什么叫二元一次方程组? 2、解二元一次方程组的方法有哪些? 【合作探究】 探究点一、三元一次方程（组）的概念 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了 22 场比赛，积 47 分，且胜的场数比负的场数的 4 倍多 2. 按照足球联赛的积分规则，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 未知量：每一个未知量都用一个字母表示. 等量关系：用方程表示等量关系. (1)胜的场数 + 平的场数 + 负的场数 = 22； (2)胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 = 47； (3) 胜的场数 = 负的场数×4 + 2. 想一想：观察列出的三个方程，你有什么发现？ 问题2：你能类比二元一次方程(组)给上面的方程(组)取名字吗? 观察一下这三个方程的次数和未知数的个数，你有什么发现？ 因三个同学的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作_____________. 追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗? 【练一练】 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) A. 探究点二：解三元一次方程组 解方程组 问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗? 问题2：如何求方程组中第三个未知数的值? 完整解答： 问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法. [典型例题] 例1 解三元一次方程组 还有其他解法吗? [练一练] 2.解方程组 例2 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x= -1时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c的值. 例3 一个三位数，各数位上的数的和为 14，百位上的数的 2 倍减去十位上的数的差是个位上的数的 . 如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小 99.求这个三位数. [练一练]3.若| a -b -1| + (b - 2a + c)2 + |2c - b| = 0，求 a，b，c的值. 4.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A，B， C 三种食物，下表给出的是每份( 50 g)食物 A， B， C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位): 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 课堂检测 1. 下列方程：① ；②；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能与方程x＋y＋z＝3 和 2x－y＝3组成三元一次方程组的是_____ (填序号). 2. 解方程组 根据方程组的特点，可采取先将①分别代入③②式得____________，___________，从而求出y＝_______，z＝_______. 3. 若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝________，b＝________，c＝________. ⁠. 4. 解方程组： (1) (2) 5. 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数. 参考答案 【自主学习】 (1)方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. (2)有代入消元法和加减消元法. 【合作探究】 探究点一、三元一次方程（组）的概念 【练一练】 1.D 探究点二、解三元一次方程组 [典型例题] 例1 解：②×3 + ③，得 11x + 10z = 35. ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把 x = 5，z = -2代入②，得 2×5+3y-2=9，y = . 因此，这个三元一次方程组的解为 还有其他解法吗? 解：由①，得x = 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 整理，得 解这个方程组，得 把 z = -2代入④，得 x = 5 因此，这个三元一次方程组的解为 [练一练]2.解 [典型例题]例2 解得 因此 a，b，c的值分别为 3，-2，-5 例3 解：设这个三位数百位上的数为 x，十位上的数为 y，个位上的数为 z. 解这个方程组，得 因此这个三位数是 473. 3. 解：因为三个非负式的和等于0，所以每个非负式的值均为 0. 解得 4. 解：设食谱中包含 A， B，C 三种食物各 x， y，z 份，由题意 解得 答：该食谱中包含 A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 课堂检测 1.①④ 2. x＝ 3 x－4y＝－5　2 5 3. 4 8 6 4. （1） （2） 5.解：设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z.依题意得 把①代入③得y＝7，把y＝7代入①得x＋z＝7④，代入②得7z＝x＋9⑤，④＋⑤得z＝2，∴x＝5.∴这个三位数为2×100＋7×10＋5＝275. 学科网（北京）股份有限公司 $