第六单元 梯形（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

第六单元 梯形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 梯形的定义： 梯形是只有一组对边平行的四边形。平行的一组对边叫做梯形的底（通常较短的叫上底，较长的叫下底），不平行的一组对边叫做梯形的腰。 核心关联概念： ① 各部分名称： 上底、下底、腰、高（从上底的一点到下底的垂直线段）。 ② 特殊梯形： 直角梯形（有一个角是直角）、等腰梯形（两腰相等）。 ③ 与平行四边形的区别： 平行四边形有两组对边平行，而梯形只有一组对边平行。 2. 梯形的核心性质 本知识点是苏教版四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”单元的核心内容。核心是掌握梯形的特征，理解“只有一组对边平行”的含义。它是后续学习平面图形面积计算（五年级内容）的重要基础，也是培养学生空间观念的关键载体。通过本单元学习，学生需要能从复杂图形中识别梯形，理解梯形的高有无数条且长度相等，并能利用梯形的特征解决拼图、剪纸等实际问题。 3. 常见场景 ① 图形辨识： 在复杂的组合图形中数出梯形的个数。 ② 剪拼问题： 在长方形、平行四边形或三角形中剪出最大的梯形，或将梯形剪拼成平行四边形或三角形。 ③ 角度问题： 利用直角梯形或等腰梯形的特征求未知角的度数。 ④ 周长问题： 已知梯形的周长及边长关系，求各边长度（结合画图法）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.线段与角的基础： 熟练掌握量角器的使用，能准确画出指定度数的角；掌握线段的画法。 2.平行线基础： 理解平行线的含义，能利用三角尺画出平行线。 3.图形认知基础： 能区分三角形、平行四边形和梯形，理解它们的边角特征。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1. 方法一：梯形的画法与高的画法（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路： 画梯形的关键是先确定两条平行线（上底和下底），再连接两端点形成腰。画高的关键是“垂直”。 ② 常用规则： （1）画底：先画下底（较长的线段），再在适当位置画上底（较短的线段，且与下底平行）；（2）连线：连接上底和下底的对应端点；（3）画高：从上底的一个顶点向对边（下底）画垂线，标出直角符号，标注“高”。 ③ 步骤： 1. 定底：画一条线段作为下底；2. 找平行线：利用平移或三角尺，在上方画一条与下底平行的线段（上底）；3. 连腰：连接上下底的端点；4. 画高：从上底引出垂线到底底。 ④ 示例： 画一个上底3厘米，下底5厘米，高2厘米的梯形。解：1. 画5厘米的下底；2. 在下底上方2厘米处，画一条与下底平行的直线，在直线上截取3厘米作为上底；3. 连接上下底的左右端点；4. 从上底左端点向下底作垂线，标直角符号。 2. 方法二：数梯形的个数（基础，苏教版重点） ① 核心思路： 有序思考，先数单个的梯形，再数组合的梯形。 ② 关键： 找准平行线组，确认“只有一组对边平行”。 ③ 步骤： 1. 观察图形，找出所有的平行线；2. 从左到右（或从上到下）有序数；3. 先数由一个基本图形组成的，再数由两个、三个...组合成的。 ④ 示例： 下图中有几个梯形？ （假设图中有三个并排的小梯形，组成了一个大梯形） 解：1. 单个的小梯形有3个；2. 由两个小梯形组成的梯形有2个（左中、中右）；3. 由三个小梯形组成的大梯形有1个；4. 总共：3+2+1=6（个）。 3. 方法三：梯形的剪拼与分割（进阶，苏教版常考） ① 核心思路： 利用梯形的特征进行剪切，通常是为了探究梯形面积公式（虽然四年级不学公式，但学策略）或变成其他图形。 ② 关键： 找准对角线或中位线。 ③ 步骤： 1. 审题：明确剪一刀变成什么图形（如两个三角形、一个平行四边形和一个三角形）；2. 画图：在原图上画出剪切线；3. 验证：剪开后的图形是否符合要求。 ④ 示例： 在梯形中剪一刀，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 解：1. 画图：找到梯形上底的一个端点，沿着腰的方向（或平行于另一条腰）剪开？不对。正确方法是：从梯形上底的一个端点，作一条与腰平行的线？也不对。 纠正思路（苏教版常见考法）： 如果是直角梯形，可以从上底的右端点向下底作垂线（高），可以剪出一个长方形和一个直角三角形。如果是普通梯形，通常考察沿对角线剪开，得到两个三角形。 正确示例： 沿着梯形的一条对角线剪开。 分析：对角线将梯形分成两个三角形。 计算：无具体计算，重在操作。 结论：一个梯形可以剪成两个三角形。 4. 方法四：梯形中的角度与周长问题（进阶，苏教版重点） ① 核心思路： 针对直角梯形（有两个直角）或等腰梯形（底角相等），通过已知角度推算未知角度，或通过周长公式反推边长。 ② 关键： 牢记直角梯形有两个90度的角；等腰梯形的两个底角相等。 ③ 步骤： 1. 审题，提取已知角度或周长信息；2. 画示意图，标注已知角度；3. 利用“四边形内角和是360度”或“直角=90度”列式计算。 ④ 示例： 一个直角梯形，已知一个角是90度，另一个角是120度，求另外两个角各是多少度？ 解：1. 画图：画一个直角梯形，标出两个直角（90°）；2. 分析：四边形内角和是360°，已知两个角是90°，另一个角是120°；3. 计算：360° - 90° - 90° - 120° = 60°；4. 检验：90+90+120+60=360。 答：另外两个角分别是90度和60度。（注：这里假设已知的120度是钝角，另一个未知角是锐角）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.概念混淆： 误认为“有一组对边平行”就是“只有一组对边平行”，导致把平行四边形也当成梯形（严格定义梯形是“只有一组”）。 2.高的画法错误： 画的高没有垂直于下底，或者没有标直角符号。 3.数图形遗漏： 数梯形个数时没有顺序，导致漏数或重数。 4.等腰梯形性质误用： 在普通梯形中误用“底角相等”的性质。 5.拼图错误： 用三角形和平行四边形拼梯形时，没有对齐边。 6.周长计算忽略单位： 计算周长时忘记统一单位。 三、梯形问题的解题步骤（苏教版重点） 1.观察辨析： 明确题目类型（是画图、数数、剪拼还是角度计算），提取已知条件（边长、角度、周长）。 2.准备工作： 回顾梯形的特征（只有一组对边平行），准备好作图工具（直尺、三角尺）。 3.解题过程： 画图/操作：根据题目要求画出梯形或进行剪拼操作，标注清晰数据。 分析：结合图形特征（如直角、等腰）分析数量关系。 计算：根据周长公式（四边之和）或角度和（360度）列出算式。 4.核对检查： 检查图形：是否符合梯形定义（一组平行），高是否画正确。 检查算式：周长是否加了四条边，角度和是否为360度。 5.规范作答： 清晰写出算式、结果和答语。 四、常见梯形问题的题型及解题示例 场景一：直角梯形的角度计算（进阶题） 例：一个直角梯形，其中一个钝角是135度，求另外三个角的度数。 解：1. 画图：画一个直角梯形，标出直角符号；2. 分析：直角梯形有两个角是90度。已知一个角是135度（钝角），求剩下一个角；3. 计算：360° - 90° - 90° - 135° = 45°；4. 检验：90+90+135+45=360。 答：另外三个角分别是90度、90度和45度。 场景二：梯形的周长问题（进阶题） 例：一个等腰梯形的周长是40厘米，上底是8厘米，下底是14厘米，求它的一条腰长多少厘米？ 解：1. 画图：画等腰梯形，标注上底8cm，下底14cm，两腰相等；2. 分析：周长 = 上底 + 下底 + 2×腰长；3. 计算：先算两腰总长：40 - 8 - 14 = 18（厘米）；再算一条腰：18 ÷ 2 = 9（厘米）；4. 检验：8+14+9+9=40。 答：它的一条腰长9厘米。 场景三：判断题（基础题） 例：判断下列说法是否正确，说明理由。 （1）两个完全一样的梯形一定能拼成一个长方形。（×） （2）梯形的高一定比腰短。（×） 解：（1）不正确。理由：只有两个完全一样的直角梯形才能拼成一个长方形。普通的等腰梯形拼出来的是平行四边形。 （2）不正确。理由：在直角梯形中，垂直于底边的那条腰就是高，它们长度相等；如果是斜着的腰，则比高长。所以高不一定比腰短。 答：（1）不正确；（2）不正确。 培优练习 一、选择题 1．两个完全一样的直角梯形正好能拼成一个正方形，已知直角梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，直角梯形的高是（    ）厘米。 A．3 B．5 C．8 D．10 2．一个等腰梯形的腰长为5厘米，这个等腰梯形底边上的高一定不是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．2厘米 3．如果把一个直角梯形的下底减少3厘米，它就变成一个边长是8厘米的正方形。如果把这个梯形的上底延长得到一个长方形，高不变，这个长方形的面积是（    ）平方厘米。 A．24 B．64 C．76 D．88 4．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE与CE垂直，下列说法正确的有（    ）个。 ①四边形ABCE是一个直角梯形             ②如果∠1＝60°，那么∠2＝60° ③平行四边形ABCD的AD边上的高是10厘米 ④AE＝8厘米 A．1 B．2 C．3 D．4 ①四边形ABCE是一个直角梯形 ②如果∠1＝60°，那么∠2＝60° ③平行四边形ABCD的AD边上的高是10厘米 ④AE＝8厘米 如图，四边形ABCD为平行四边形，AE与CE垂直，以上说法正确的有4个。 5．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形（AD＝BC）。现在把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，将会得到一个怎样的三角形？（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．一般三角形 6．下面几组线段中，能围成等腰梯形的是（    ）。 A．8厘米、7厘米、6厘米、5厘米 B．8厘米、8厘米、6厘米、5厘米 C．8厘米、8厘米、6厘米、6厘米 D．5厘米、6厘米、7厘米、9厘米 二、填空题 7．一个平行四边形可以分成两个完全相同的( )形、( )形或( )形。 8．在梯形ABCD中，线段BC与线段( )互相平行，如果∠1＝125°，则∠2＝( )°。 9．如图的梯形（单位：厘米），是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 10．等边三角形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴，等腰梯形有( )条对称轴。 11．在图中一共有( )个角。其中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。    12．一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是( )厘米。 三、解答题 13．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 14．把一张长方形纸对折，剪出一个等腰梯形。想一想，等腰梯形是轴对称图形吗？为什么？ 15．将一张长方形纸像图①一样折叠。 （1）打开纸后沿折痕剪下一个三角形（见图①），剩下的纸的形状是（    ）形。 （2）图②中∠1＝（    ）°。 （3）在这个剩下的图形中，画上一条线段分割出一个平行四边形。 16．已知：四边形ABCD是直角梯形，三角形ABC是等腰三角形，∠B＝100°，求∠1和∠2的度数。请表达清楚你的思考过程。 17．把一个梯形的上底增加12厘米，就变成了平行四边形，已知这个梯形的下底是上底的4倍，原来这个梯形的上底和下底各是多少厘米？ 18．下图中a//b，说说图中有几个梯形，把它们指出来。 19．先说出下面的哪些图形是梯形，再分别指出这些梯形的上底、下底和腰。 20．一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 5＋3＝8（厘米） 12－4＝8（厘米） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 梯形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 梯形的定义： 梯形是只有一组对边平行的四边形。平行的一组对边叫做梯形的底（通常较短的叫上底，较长的叫下底），不平行的一组对边叫做梯形的腰。 核心关联概念： ① 各部分名称： 上底、下底、腰、高（从上底的一点到下底的垂直线段）。 ② 特殊梯形： 直角梯形（有一个角是直角）、等腰梯形（两腰相等）。 ③ 与平行四边形的区别： 平行四边形有两组对边平行，而梯形只有一组对边平行。 2. 梯形的核心性质 本知识点是苏教版四年级下册“三角形、平行四边形和梯形”单元的核心内容。核心是掌握梯形的特征，理解“只有一组对边平行”的含义。它是后续学习平面图形面积计算（五年级内容）的重要基础，也是培养学生空间观念的关键载体。通过本单元学习，学生需要能从复杂图形中识别梯形，理解梯形的高有无数条且长度相等，并能利用梯形的特征解决拼图、剪纸等实际问题。 3. 常见场景 ① 图形辨识： 在复杂的组合图形中数出梯形的个数。 ② 剪拼问题： 在长方形、平行四边形或三角形中剪出最大的梯形，或将梯形剪拼成平行四边形或三角形。 ③ 角度问题： 利用直角梯形或等腰梯形的特征求未知角的度数。 ④ 周长问题： 已知梯形的周长及边长关系，求各边长度（结合画图法）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.线段与角的基础： 熟练掌握量角器的使用，能准确画出指定度数的角；掌握线段的画法。 2.平行线基础： 理解平行线的含义，能利用三角尺画出平行线。 3.图形认知基础： 能区分三角形、平行四边形和梯形，理解它们的边角特征。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1. 方法一：梯形的画法与高的画法（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路： 画梯形的关键是先确定两条平行线（上底和下底），再连接两端点形成腰。画高的关键是“垂直”。 ② 常用规则： （1）画底：先画下底（较长的线段），再在适当位置画上底（较短的线段，且与下底平行）；（2）连线：连接上底和下底的对应端点；（3）画高：从上底的一个顶点向对边（下底）画垂线，标出直角符号，标注“高”。 ③ 步骤： 1. 定底：画一条线段作为下底；2. 找平行线：利用平移或三角尺，在上方画一条与下底平行的线段（上底）；3. 连腰：连接上下底的端点；4. 画高：从上底引出垂线到底底。 ④ 示例： 画一个上底3厘米，下底5厘米，高2厘米的梯形。解：1. 画5厘米的下底；2. 在下底上方2厘米处，画一条与下底平行的直线，在直线上截取3厘米作为上底；3. 连接上下底的左右端点；4. 从上底左端点向下底作垂线，标直角符号。 2. 方法二：数梯形的个数（基础，苏教版重点） ① 核心思路： 有序思考，先数单个的梯形，再数组合的梯形。 ② 关键： 找准平行线组，确认“只有一组对边平行”。 ③ 步骤： 1. 观察图形，找出所有的平行线；2. 从左到右（或从上到下）有序数；3. 先数由一个基本图形组成的，再数由两个、三个...组合成的。 ④ 示例： 下图中有几个梯形？ （假设图中有三个并排的小梯形，组成了一个大梯形） 解：1. 单个的小梯形有3个；2. 由两个小梯形组成的梯形有2个（左中、中右）；3. 由三个小梯形组成的大梯形有1个；4. 总共：3+2+1=6（个）。 3. 方法三：梯形的剪拼与分割（进阶，苏教版常考） ① 核心思路： 利用梯形的特征进行剪切，通常是为了探究梯形面积公式（虽然四年级不学公式，但学策略）或变成其他图形。 ② 关键： 找准对角线或中位线。 ③ 步骤： 1. 审题：明确剪一刀变成什么图形（如两个三角形、一个平行四边形和一个三角形）；2. 画图：在原图上画出剪切线；3. 验证：剪开后的图形是否符合要求。 ④ 示例： 在梯形中剪一刀，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 解：1. 画图：找到梯形上底的一个端点，沿着腰的方向（或平行于另一条腰）剪开？不对。正确方法是：从梯形上底的一个端点，作一条与腰平行的线？也不对。 纠正思路（苏教版常见考法）： 如果是直角梯形，可以从上底的右端点向下底作垂线（高），可以剪出一个长方形和一个直角三角形。如果是普通梯形，通常考察沿对角线剪开，得到两个三角形。 正确示例： 沿着梯形的一条对角线剪开。 分析：对角线将梯形分成两个三角形。 计算：无具体计算，重在操作。 结论：一个梯形可以剪成两个三角形。 4. 方法四：梯形中的角度与周长问题（进阶，苏教版重点） ① 核心思路： 针对直角梯形（有两个直角）或等腰梯形（底角相等），通过已知角度推算未知角度，或通过周长公式反推边长。 ② 关键： 牢记直角梯形有两个90度的角；等腰梯形的两个底角相等。 ③ 步骤： 1. 审题，提取已知角度或周长信息；2. 画示意图，标注已知角度；3. 利用“四边形内角和是360度”或“直角=90度”列式计算。 ④ 示例： 一个直角梯形，已知一个角是90度，另一个角是120度，求另外两个角各是多少度？ 解：1. 画图：画一个直角梯形，标出两个直角（90°）；2. 分析：四边形内角和是360°，已知两个角是90°，另一个角是120°；3. 计算：360° - 90° - 90° - 120° = 60°；4. 检验：90+90+120+60=360。 答：另外两个角分别是90度和60度。（注：这里假设已知的120度是钝角，另一个未知角是锐角）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.概念混淆： 误认为“有一组对边平行”就是“只有一组对边平行”，导致把平行四边形也当成梯形（严格定义梯形是“只有一组”）。 2.高的画法错误： 画的高没有垂直于下底，或者没有标直角符号。 3.数图形遗漏： 数梯形个数时没有顺序，导致漏数或重数。 4.等腰梯形性质误用： 在普通梯形中误用“底角相等”的性质。 5.拼图错误： 用三角形和平行四边形拼梯形时，没有对齐边。 6.周长计算忽略单位： 计算周长时忘记统一单位。 三、梯形问题的解题步骤（苏教版重点） 1.观察辨析： 明确题目类型（是画图、数数、剪拼还是角度计算），提取已知条件（边长、角度、周长）。 2.准备工作： 回顾梯形的特征（只有一组对边平行），准备好作图工具（直尺、三角尺）。 3.解题过程： 画图/操作：根据题目要求画出梯形或进行剪拼操作，标注清晰数据。 分析：结合图形特征（如直角、等腰）分析数量关系。 计算：根据周长公式（四边之和）或角度和（360度）列出算式。 4.核对检查： 检查图形：是否符合梯形定义（一组平行），高是否画正确。 检查算式：周长是否加了四条边，角度和是否为360度。 5.规范作答： 清晰写出算式、结果和答语。 四、常见梯形问题的题型及解题示例 场景一：直角梯形的角度计算（进阶题） 例：一个直角梯形，其中一个钝角是135度，求另外三个角的度数。 解：1. 画图：画一个直角梯形，标出直角符号；2. 分析：直角梯形有两个角是90度。已知一个角是135度（钝角），求剩下一个角；3. 计算：360° - 90° - 90° - 135° = 45°；4. 检验：90+90+135+45=360。 答：另外三个角分别是90度、90度和45度。 场景二：梯形的周长问题（进阶题） 例：一个等腰梯形的周长是40厘米，上底是8厘米，下底是14厘米，求它的一条腰长多少厘米？ 解：1. 画图：画等腰梯形，标注上底8cm，下底14cm，两腰相等；2. 分析：周长 = 上底 + 下底 + 2×腰长；3. 计算：先算两腰总长：40 - 8 - 14 = 18（厘米）；再算一条腰：18 ÷ 2 = 9（厘米）；4. 检验：8+14+9+9=40。 答：它的一条腰长9厘米。 场景三：判断题（基础题） 例：判断下列说法是否正确，说明理由。 （1）两个完全一样的梯形一定能拼成一个长方形。（×） （2）梯形的高一定比腰短。（×） 解：（1）不正确。理由：只有两个完全一样的直角梯形才能拼成一个长方形。普通的等腰梯形拼出来的是平行四边形。 （2）不正确。理由：在直角梯形中，垂直于底边的那条腰就是高，它们长度相等；如果是斜着的腰，则比高长。所以高不一定比腰短。 答：（1）不正确；（2）不正确。 培优练习 一、选择题 1．两个完全一样的直角梯形正好能拼成一个正方形，已知直角梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，直角梯形的高是（    ）厘米。 A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】结合下图分析可知：如果两个完全一样的直角梯形正好能拼成一个正方形，这个梯形的（上底＋下底）等于正方形的边长，直角梯形的高等于正方形的边长，据此分析。 【详解】3＋5＝8（厘米） 两个完全一样的直角梯形正好能拼成一个正方形，已知直角梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，直角梯形的高是8厘米。 故答案为：C 2．一个等腰梯形的腰长为5厘米，这个等腰梯形底边上的高一定不是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．2厘米 【答案】C 【分析】等腰梯形的两条腰相等，上底上一点到下底的垂线段，即为梯形的高，根据点到直线的连线中，垂直线段最短，所以等腰梯形的高小于梯形的腰长，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，等腰梯形底边上的高小于腰长，一个等腰梯形的腰长为5厘米，所以等腰梯形底边上的高一定不是5厘米。 故答案为：C 3．如果把一个直角梯形的下底减少3厘米，它就变成一个边长是8厘米的正方形。如果把这个梯形的上底延长得到一个长方形，高不变，这个长方形的面积是（    ）平方厘米。 A．24 B．64 C．76 D．88 【答案】D 【分析】根据题意，一个直角梯形的下底减少3厘米就变成了一个边长为8厘米的正方形，由此可知，原来梯形的上底、高都是8厘米，下底＝8＋3＝11（厘米）。把梯形上底延长得到长方形，高不变，此时：长方形的宽＝梯形的高＝8厘米，长方形的长＝梯形的下底＝11厘米；根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】8＋3＝11（厘米） 11×8＝88（平方厘米） 所以这个长方形的面积是88平方厘米。 故答案为：D 4．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE与CE垂直，下列说法正确的有（    ）个。 ①四边形ABCE是一个直角梯形             ②如果∠1＝60°，那么∠2＝60° ③平行四边形ABCD的AD边上的高是10厘米 ④AE＝8厘米 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①四边形ABCE有一组对边互相平行，由于ABCD是平行四边形，AD∥BC，且E在AD上，故AE∥BC，结合AE⊥CE，四边形ABCE为直角梯形，此说法正确。 ②根据平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等，对角相等；四边形ABCD为平行四边形，∠1＝∠2，如果∠1＝60°，那么∠2＝60°，说法正确。 ③从点B向AD边作垂线段，这条垂线是AD边上的高，长度是10厘米；此说法正确。 ④AE＝8厘米，平行四边形的对边互相平行，边AB与边CD互相平行，由图可知AE＝8厘米，此说法正确。 【详解】由分析可知， ①四边形ABCE是一个直角梯形 ②如果∠1＝60°，那么∠2＝60° ③平行四边形ABCD的AD边上的高是10厘米 ④AE＝8厘米 如图，四边形ABCD为平行四边形，AE与CE垂直，以上说法正确的有4个。 故答案为：D 5．如图，四边形ABCD是一个等腰梯形（AD＝BC）。现在把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，将会得到一个怎样的三角形？（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．一般三角形 【答案】A 【分析】等腰梯形的两条腰相等；平行四边形的对边相等；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 在等腰梯形中，AD＝BC。在平行四边形ABED中，AD＝BE。所以BE＝BC，即三角形BEC为等腰三角形。 故答案为：A 6．下面几组线段中，能围成等腰梯形的是（    ）。 A．8厘米、7厘米、6厘米、5厘米 B．8厘米、8厘米、6厘米、5厘米 C．8厘米、8厘米、6厘米、6厘米 D．5厘米、6厘米、7厘米、9厘米 【答案】B 【分析】根据梯形的特征，梯形只有一组对边平行，平行的一组对边分别是梯形的上底、下底，这两条边的长度不相等。不平行的一组对边是梯形的腰。再根据等腰梯形的特征，等腰梯形的两条腰的长度相等，也就是说选项中得出现两条相同长度的线段。据此解答即可。 【详解】A．8厘米、7厘米、6厘米、5厘米，四条线段长度都不一样，不能围成等腰梯形； B．8厘米、8厘米、6厘米、5厘米，有两条长度相等的线段，都是8厘米，并且另外两条线段的长度不同，可以围成等腰梯形； C．8厘米、8厘米、6厘米、6厘米，有两组相同长度的线段，不能围成等腰梯形； D．5厘米、6厘米、7厘米、9厘米，四条线段长度都不一样，不能围成等腰梯形； 故答案为：B 二、填空题 7．一个平行四边形可以分成两个完全相同的( )形、( )形或( )形。 【答案】 平行四边 梯 三角 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。据此画图并解答。 【详解】 如图所示，一个平行四边形可以分成两个完全相同的平行四边形、梯形或三角形。 8．在梯形ABCD中，线段BC与线段( )互相平行，如果∠1＝125°，则∠2＝( )°。 【答案】 AD 55 【分析】根据梯形的概念可知，有一组对边平行另一组对边不平行；仔细观察图可知，线段AD是梯形的上底，线段BC是梯形的下底，这两条线段互相平行；∠1与∠2构成平角，也就是∠1＋∠2＝180°，∠2＝180°－∠1＝180°－125°＝55°。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ∠1＝125° ∠1＋∠2＝180° ∠2＝180°－∠1＝180°－125°＝55° 在梯形ABCD中，线段BC与线段AD互相平行，如果∠1＝125°，则∠2＝55°。 9．如图的梯形（单位：厘米），是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 5 10 【分析】因为这个梯形是由长方形纸折叠而成的，所以可以看到梯形的高就是原来长方形的宽，也就是5厘米； 因为梯形是由长方形折叠而成的，梯形的下底就等于长方形的长。从图中所给信息可知长方形的长是由三部分组成的，一部分是6厘米，另外还有两个2厘米的部分，将它们加总在一起即可。 【详解】6＋2＋2＝10（厘米） 所以这个梯形的高是5厘米，下底是10厘米。 10．等边三角形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴，等腰梯形有( )条对称轴。 【答案】 3 4 1 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行判断。 【详解】根据图形的特征以及轴对称图形的意义可知，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴。 【点睛】此题考查了轴对称图形的定义以及等边三角形、正方形、等腰梯形的特征。 11．在图中一共有( )个角。其中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。    【答案】 4 2 1 1 【分析】根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义可知：锐角是大于0°、小于90°的角；钝角是大于90°、小于180°的角；直角是等于90°的角；平角是等于180°的角；周角是等于360°的角；据此解答即可。 【详解】在图中一共有（4）个角。其中有（2）个直角，（1）个锐角，（1）个钝角。 【点睛】熟记锐角、直角、钝角、平角、周角的度数范围是解答此题的关键。 12．一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，这个梯形的高是( )厘米。 【答案】16 【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4－1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。 【详解】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 即这个梯形的高是16厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。 三、解答题 13．如图，童童家有一块菜地，它是一个等腰梯形，梯形的上底靠墙，下底长35米。用85米长的篱笆正好能将这块菜地围起来（靠墙的一面不围），你知道这个梯形的一条腰长多少米吗？ 【答案】25米 【分析】等腰梯形特征：两条腰相等，这里下底＋两条腰长＝85米，所以一条腰长＝（85－下底）÷2。 【详解】（85－35）÷2 ＝50÷2 ＝25（米） 答：这个梯形的一条腰长25米。 14．把一张长方形纸对折，剪出一个等腰梯形。想一想，等腰梯形是轴对称图形吗？为什么？ 【答案】是；理由见详解 【分析】要判断一个图形是否为轴对称图形，关键看能否找到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后，两边能够完全重合。轴对称图形是指图形沿着某一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合。    对于等腰梯形，我们发现沿着上底和下底的中点连线对折，折线两边的图形能够完全重合。所以剪出的等腰梯形是轴对称图形。 【详解】答：如图：，等腰梯形是轴对称图形，因为沿上底、下底的中点连线对折之后，折线两边完全重合。 15．将一张长方形纸像图①一样折叠。 （1）打开纸后沿折痕剪下一个三角形（见图①），剩下的纸的形状是（    ）形。 （2）图②中∠1＝（    ）°。 （3）在这个剩下的图形中，画上一条线段分割出一个平行四边形。 【答案】（1）直角梯 （2）45 （3）图见详解 【分析】（1）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，可知沿折痕剪下一个三角形，剩下的纸的形状是一个直角梯形； （2）长方形纸的4个角都是直角，直角等于90°，将长方形纸像图①一样折叠，也就是将90°角平均分成两份，求∠1的度数，用90°除以2即可； （3）在这个剩下的直角梯形中，画上一条线段分割出一个平行四边形，因平行四边形的两组对边都平行，直角梯形只有一组对边平行，所以要分成一个平行四边形，就要用原来直角梯形一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过直角梯形的上底（非顶点）作另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形。 【详解】（1）打开纸后沿折痕剪下一个三角形（见图①），剩下的纸的形状是直角梯形。 （2）90°÷2＝45° 图②中∠1＝45°。 （3）在这个剩下的图形中，画上一条线段分割出一个平行四边形。如下图所示： （答案不唯一） 16．已知：四边形ABCD是直角梯形，三角形ABC是等腰三角形，∠B＝100°，求∠1和∠2的度数。请表达清楚你的思考过程。 【答案】40°；40°；过程见详解 【分析】等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为180°，先用180°减去∠B的度数再除以2，求出∠1的度数，再根据直角梯形有两个角是直角，用90°减去∠1的度数即可求出∠DAC的度数，用180°减去90°再减去∠DAC的度数，即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝（180°－100°）÷2＝80°÷2＝40° ∠DAC＝90°－40°＝50° ∠2＝180°－90°－∠DAC＝90°－50°＝40° 答：∠1＝40°，∠2＝40°。 17．把一个梯形的上底增加12厘米，就变成了平行四边形，已知这个梯形的下底是上底的4倍，原来这个梯形的上底和下底各是多少厘米？ 【答案】上底4厘米；下底16厘米 【分析】一个梯形的下底是上底的4倍，把一个梯形的上底增加12厘米，就变成了平行四边形，说明梯形的上底增加12厘米，上底和下底长度相同了，则增加的12厘米就是原来梯形的上底的（4－1）倍，用12除以（4－1）即可求出上底的长度，再乘4即可求出下底的长度。 【详解】上底：12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（厘米） 下底：4×4＝16（厘米） 答：原来这个梯形的上底是4厘米，下底是16厘米。 18．下图中a//b，说说图中有几个梯形，把它们指出来。 【答案】3个梯形，分别是：梯形ABED；梯形ACFD；梯形BCFE。 【分析】根据梯形的意义和特征，一组对边平行的四边形是梯形，据此解答。 【详解】图中共有3个梯形，分别是：梯形ABED；梯形ACFD；梯形BCFE。 【点睛】解决本题的关键是正确理解梯形的含义和特征。 19．先说出下面的哪些图形是梯形，再分别指出这些梯形的上底、下底和腰。 【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。 【详解】 是梯形； 【点睛】本题考查了学生对梯形的认识与掌握。 20．一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 【答案】8厘米；画图见详解 【分析】直角梯形的上底增加3厘米，下底减少4厘米就变成了正方形，根据正方形的四条边相等，那么可知梯形的高与变化后的上底边长度是一样的。据此解答即可。 【详解】 5＋3＝8（厘米） 12－4＝8（厘米） 答：这个直角梯形的高是8厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $