第六单元 三角形（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

第六单元 三角形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 三角形的定义：由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。奥数思维训练中，不仅要求认识基本三角形，还要求理解三角形的稳定性原理及其在生活中的特殊应用（如篱笆、桥梁）。 核心要素： 高与底：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段叫做三角形的高，这条对边是三角形的底。奥数题型常考察在钝角三角形中画高（需要延长底边）以及“等底等高”图形的面积关系。 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是奥数中判断能否围成三角形、求第三边取值范围的核心考点。 三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 核心性质：三角形具有稳定性（不易变形），而四边形具有不稳定性。这一性质常用于解决图形拼搭和结构设计的奥数问题。 2. 三角形知识点的核心意义 本单元是苏教版四年级下册“图形与几何”的重点内容。在奥数思维训练中，核心是从静态认识图形转向动态分析图形。重点在于利用“三角形三边关系”解决极值问题，利用“等腰三角形性质”解决角度计算问题，以及通过“图形分割与拼组”培养空间想象力。它是后续学习平面几何证明的重要基础。 3. 常见场景 围篱笆问题：利用三角形稳定性解释生活现象。 围三角形问题：给定长度的小棒（或铁丝），能围成几种不同的三角形。 角度计算问题：结合等腰三角形“等边对等角”的性质求顶角或底角。 图形拼组问题：用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，或者用多个三角形密铺。 易错场景：画高时未垂直底边、钝角三角形画高漏画延长线、忽略“等边三角形是特殊的等腰三角形”、在判断三边关系时只看两边之和大于第三边而忽略“任意”两边。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.测量基础：熟练使用直尺和量角器，能准确测量线段长度和角度大小。 2.运算基础：掌握加减乘除运算，特别是除法（用于等腰三角形角度计算）。 3.图形认知：能区分锐角、直角、钝角，能识别等腰和等边三角形的特征。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1. 方法一：三角形三边关系的极值应用（奥数重点） 核心思路：已知两边求第三边的范围是“两边之差 < 第三边 < 两边之和”。在奥数中常用于求周长的最大值或最小值。 关键：注意边长必须是整数（通常题目隐含条件），且必须满足“任意”两边之和大于第三边。 示例：一个三角形两边长分别是5厘米和8厘米，第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米数） 解：厘米）。第三边必须大于3且小于13。最长是12厘米，最短是4厘米。 2. 方法二：等腰三角形的角度奥数题（进阶） 核心思路：等腰三角形两底角相等。三角形内角和是180°。 关键：区分顶角和底角。若题目只说“一个角是X度”，需分情况讨论：这个角是顶角还是底角？ 步骤： 1.审题，确定已知角是顶角还是底角（若不确定需分类讨论）。 2.若已知顶角，求底角 3.若已知底角，求顶角 示例：一个等腰三角形的一个内角是80°，求另外两个角的度数。 解：情况一：80°是顶角。 情况二：80°是底角。则。另外两个角是80°和20°。 3. 方法三：图形的分割与拼组（空间思维） 核心思路：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。一个三角形可以分割成两个直角三角形。 关键：寻找图形之间的联系，利用“倍拼法”或“割补法”。 步骤： 1.观察目标图形（如平行四边形、长方形）与原图形（三角形）的边角关系。 2.通过旋转、平移三角形进行拼接。 3.分析拼接后图形的边长与原三角形边长的关系。 示例：用两个完全一样的直角三角形，可以拼出什么图形？ 解：可以拼出长方形（用两条相等的直角边拼接），也可以拼出等腰三角形（用两条斜边拼接）。 4. 方法四：三角形的内角和与多边形拓展（奥数拓展） 核心思路：将多边形分割成若干个三角形来求内角和。 关键：从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分成三角形。 示例：求一个五边形的内角和是多少？ 解：五边形可以分成3个三角形 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.画高错误：在钝角三角形中，从钝角顶点向对边作高时，垂足在对边的延长线上，学生常忘记画虚线延长底边。 2.概念混淆：误认为“等腰三角形一定是锐角三角形”（其实可以是直角或钝角）；误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 3.分类讨论遗漏：在等腰三角形角度计算中，只考虑一种情况（如默认给出的角是顶角）。 4.三边关系理解偏差：判断三根小棒能否围成三角形时，只验证了两条较短边之和大于最长边（这是正确的），但在求第三边范围时，忽略了“大于两边之差”。 5.稳定性应用错误：在解决“加固图形”问题时，混淆三角形和四边形的特性。 三、三角形问题的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨形：明确题目涉及的是哪类三角形（普通、等腰、等边、直角），提取边长或角度条件。 2.准备知识：回顾三角形三边关系、内角和、等腰三角形性质等公式。 3.解题过程： 分析：如果是几何操作题（画高、拼图），先在草稿纸上尝试；如果是计算题，列出数量关系。 计算/作图：准确计算角度或边长，或规范画出高和底。 分类：若存在多种可能性（如等腰三角形的角），需分别计算。 4.核对检查： 检查作图：高是否垂直底边（用直角符号标注）。 检查计算：内角和是否为180°，三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。 5.规范作答：写出完整的解题过程和答语。 四、常见三角形题型及解题示例 1. 场景一：三边关系求极值（奥数基础题） 例：用一根长20厘米的铁丝围成一个等腰三角形（底和腰都是整厘米数），这个等腰三角形的腰最长是多少厘米？ 解： 分析：周长是20厘米。等腰三角形周长 = 腰×2 + 底。要使腰最长，底就要最短。但底必须满足“两边之差 < 底 < 两边之和”，且底至少为1厘米，但必须保证腰+腰 > 底。 推理：假设底最短为1厘米，则两腰之和为19厘米，腰为9.5厘米（非整数，舍去）。底为2厘米，两腰之和18厘米，腰为9厘米。验证：9+9>2，9+2>9（成立）。 计算：底为2厘米时，。 检验：9+9+2=20（周长正确），9+2>9（三角形成立）。 答：这个等腰三角形的腰最长是9厘米。 2. 场景二：等腰三角形角度计算（分类讨论） 例：一个等腰三角形的一个内角是，求另外两个角的度数。 解： 计算：底角 = 结论：另外两个角都是 答：另外两个角都是 3. 场景三：图形拼组与周长变化（进阶题） 例：有两个长都是8厘米，宽都是4厘米的长方形，把它们拼成一个正方形，周长是多少？如果拼成一个更大的长方形，周长又是多少？ 解： 画图：拼正方形需将两个长方形的宽拼接（8厘米边重合），形成边长8厘米的正方形。拼大长方形需将两个长方形的长拼接（4厘米边重合），形成长16厘米、宽4厘米的长方形。 分析：拼接后，重合的边不再属于外周长。 计算： 正方形周长：。 大长方形周长：米）。 检验：图形拼接正确，计算无误。 答：拼成正方形周长是32厘米，拼成长方形周长是40厘米。 分析：利用三角形内角和及外角性质。在五角星中，可以通过“飞镖模型”或连接辅助线，将分散的角转移到同一个三角形中。 核心技巧：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。 结论：此类图形的尖角和通常为 计算：根据具体图形推导（此处略，需具体图形）。 答：度数和为 5. 场景五：判断作图错误（基础题） 例：判断下列说法是否正确，说明理由。 （1）用3厘米、4厘米、7厘米的三根小棒能围成一个三角形。 （2）直角三角形只有一条高。 解： （1）不正确。理由：三角形任意两边之和必须大于第三边。这里 3+4=7，等于第三边，不能围成三角形（会变成一条直线）。 （2）不正确。理由：任何三角形都有三条高。直角三角形的两条直角边互为底和高，另外从直角顶点向斜边也能作一条高。 答：（1）不正确；（2）不正确。 培优练习 一、选择题 1．一个轴对称图形沿着对称轴剪开，其中一半如下图，这个轴对称图形不可能是（    ）。 A．等腰三角形 B．正方形 C．一般四边形 D．钝角三角形 2．在一个方格图上，如果点A用数对表示为（3，1），点B用数对表示为（5，3），点C用数对表示为（7，1），那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．等边 D．等腰 3．一个三角形最小的锐角是48°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上三种均可 4．如图所示，一张三角形的纸片被撕去了一个角，原来这张三角形纸片的形状是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 5．一个等腰三角形的底角是，它的顶角是（    ）度。 A．144.5 B．54.5 C．109 D．24.5 6．下面4组数据，表示的都是一个三角形中的其中两个角的度数。哪组的三角形是等腰三角形？（    ） A．40°、100° B．30°、60° C．45°、55° D．50°、60° 二、填空题 7．现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 8．如果一个三角形中两条边的长度分别是6cm和9cm，那么第三条边的长度小于( )cm，大于( )cm。 9．篮球架的底座与立柱、横梁之间会形成三角形连接，无论是运动员扣篮时的冲击力，还是日常风吹，三角形结构都能让篮球架保持( )性，避免倾倒。 10．下图中共有( )个直角三角形，在△ABC中，BC边上的高是线段( )，在△BDC中BC边上的高是线段( )。 11．下图中有______个三角形：量一量，有______个等腰三角形，有______个直角三角形。 12．从一张长16分米、宽12分米的红色长方形纸上剪小红旗，小红旗是直角边为4分米的等腰直角三角形，最多能剪( )面这样的小红旗。 三、解答题 13．用长度分别是5.2cm、8cm和8cm的三根铁丝，能不能焊接成一个三角形铁架？如果能，这个铁架是一个什么三角形？ 14．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 15．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 16．春风起，纸鸢飞（纸鸢又称风筝）。小华做了一个等腰三角形的风筝（如下图），风筝的顶角是44°，另外两个角分别是多少度？ 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”。在古代，风筝又称为“纸鸢”。小可做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底角是多少度？先选择必要的信息再解答。 ①腰长6cm ②顶角40度 ③两条腰一样长 （1）选择的必要信息是（    ）。     （2）列式解答： 18．同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？你会推算出来吗？ 19．在一个三角形中，有两个角的度数相等，第三个角比这两个角的度数和大20度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 20．有5根木条，长度分别是2分米，3分米，4分米，5分米，6分米。从中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？（请至少列举出5种。） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 三角形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 三角形的定义：由三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。奥数思维训练中，不仅要求认识基本三角形，还要求理解三角形的稳定性原理及其在生活中的特殊应用（如篱笆、桥梁）。 核心要素： 高与底：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段叫做三角形的高，这条对边是三角形的底。奥数题型常考察在钝角三角形中画高（需要延长底边）以及“等底等高”图形的面积关系。 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是奥数中判断能否围成三角形、求第三边取值范围的核心考点。 三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 核心性质：三角形具有稳定性（不易变形），而四边形具有不稳定性。这一性质常用于解决图形拼搭和结构设计的奥数问题。 2. 三角形知识点的核心意义 本单元是苏教版四年级下册“图形与几何”的重点内容。在奥数思维训练中，核心是从静态认识图形转向动态分析图形。重点在于利用“三角形三边关系”解决极值问题，利用“等腰三角形性质”解决角度计算问题，以及通过“图形分割与拼组”培养空间想象力。它是后续学习平面几何证明的重要基础。 3. 常见场景 围篱笆问题：利用三角形稳定性解释生活现象。 围三角形问题：给定长度的小棒（或铁丝），能围成几种不同的三角形。 角度计算问题：结合等腰三角形“等边对等角”的性质求顶角或底角。 图形拼组问题：用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，或者用多个三角形密铺。 易错场景：画高时未垂直底边、钝角三角形画高漏画延长线、忽略“等边三角形是特殊的等腰三角形”、在判断三边关系时只看两边之和大于第三边而忽略“任意”两边。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.测量基础：熟练使用直尺和量角器，能准确测量线段长度和角度大小。 2.运算基础：掌握加减乘除运算，特别是除法（用于等腰三角形角度计算）。 3.图形认知：能区分锐角、直角、钝角，能识别等腰和等边三角形的特征。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1. 方法一：三角形三边关系的极值应用（奥数重点） 核心思路：已知两边求第三边的范围是“两边之差 < 第三边 < 两边之和”。在奥数中常用于求周长的最大值或最小值。 关键：注意边长必须是整数（通常题目隐含条件），且必须满足“任意”两边之和大于第三边。 示例：一个三角形两边长分别是5厘米和8厘米，第三边最长是多少厘米？最短是多少厘米？（取整厘米数） 解：厘米）。第三边必须大于3且小于13。最长是12厘米，最短是4厘米。 2. 方法二：等腰三角形的角度奥数题（进阶） 核心思路：等腰三角形两底角相等。三角形内角和是180°。 关键：区分顶角和底角。若题目只说“一个角是X度”，需分情况讨论：这个角是顶角还是底角？ 步骤： 1.审题，确定已知角是顶角还是底角（若不确定需分类讨论）。 2.若已知顶角，求底角 3.若已知底角，求顶角 示例：一个等腰三角形的一个内角是80°，求另外两个角的度数。 解：情况一：80°是顶角。 情况二：80°是底角。则。另外两个角是80°和20°。 3. 方法三：图形的分割与拼组（空间思维） 核心思路：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。一个三角形可以分割成两个直角三角形。 关键：寻找图形之间的联系，利用“倍拼法”或“割补法”。 步骤： 1.观察目标图形（如平行四边形、长方形）与原图形（三角形）的边角关系。 2.通过旋转、平移三角形进行拼接。 3.分析拼接后图形的边长与原三角形边长的关系。 示例：用两个完全一样的直角三角形，可以拼出什么图形？ 解：可以拼出长方形（用两条相等的直角边拼接），也可以拼出等腰三角形（用两条斜边拼接）。 4. 方法四：三角形的内角和与多边形拓展（奥数拓展） 核心思路：将多边形分割成若干个三角形来求内角和。 关键：从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，将多边形分成三角形。 示例：求一个五边形的内角和是多少？ 解：五边形可以分成3个三角形 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.画高错误：在钝角三角形中，从钝角顶点向对边作高时，垂足在对边的延长线上，学生常忘记画虚线延长底边。 2.概念混淆：误认为“等腰三角形一定是锐角三角形”（其实可以是直角或钝角）；误认为“等边三角形不是等腰三角形”。 3.分类讨论遗漏：在等腰三角形角度计算中，只考虑一种情况（如默认给出的角是顶角）。 4.三边关系理解偏差：判断三根小棒能否围成三角形时，只验证了两条较短边之和大于最长边（这是正确的），但在求第三边范围时，忽略了“大于两边之差”。 5.稳定性应用错误：在解决“加固图形”问题时，混淆三角形和四边形的特性。 三、三角形问题的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨形：明确题目涉及的是哪类三角形（普通、等腰、等边、直角），提取边长或角度条件。 2.准备知识：回顾三角形三边关系、内角和、等腰三角形性质等公式。 3.解题过程： 分析：如果是几何操作题（画高、拼图），先在草稿纸上尝试；如果是计算题，列出数量关系。 计算/作图：准确计算角度或边长，或规范画出高和底。 分类：若存在多种可能性（如等腰三角形的角），需分别计算。 4.核对检查： 检查作图：高是否垂直底边（用直角符号标注）。 检查计算：内角和是否为180°，三边是否满足“任意两边之和大于第三边”。 5.规范作答：写出完整的解题过程和答语。 四、常见三角形题型及解题示例 1. 场景一：三边关系求极值（奥数基础题） 例：用一根长20厘米的铁丝围成一个等腰三角形（底和腰都是整厘米数），这个等腰三角形的腰最长是多少厘米？ 解： 分析：周长是20厘米。等腰三角形周长 = 腰×2 + 底。要使腰最长，底就要最短。但底必须满足“两边之差 < 底 < 两边之和”，且底至少为1厘米，但必须保证腰+腰 > 底。 推理：假设底最短为1厘米，则两腰之和为19厘米，腰为9.5厘米（非整数，舍去）。底为2厘米，两腰之和18厘米，腰为9厘米。验证：9+9>2，9+2>9（成立）。 计算：底为2厘米时，。 检验：9+9+2=20（周长正确），9+2>9（三角形成立）。 答：这个等腰三角形的腰最长是9厘米。 2. 场景二：等腰三角形角度计算（分类讨论） 例：一个等腰三角形的一个内角是，求另外两个角的度数。 解： 计算：底角 = 结论：另外两个角都是 答：另外两个角都是 3. 场景三：图形拼组与周长变化（进阶题） 例：有两个长都是8厘米，宽都是4厘米的长方形，把它们拼成一个正方形，周长是多少？如果拼成一个更大的长方形，周长又是多少？ 解： 画图：拼正方形需将两个长方形的宽拼接（8厘米边重合），形成边长8厘米的正方形。拼大长方形需将两个长方形的长拼接（4厘米边重合），形成长16厘米、宽4厘米的长方形。 分析：拼接后，重合的边不再属于外周长。 计算： 正方形周长：。 大长方形周长：米）。 检验：图形拼接正确，计算无误。 答：拼成正方形周长是32厘米，拼成长方形周长是40厘米。 分析：利用三角形内角和及外角性质。在五角星中，可以通过“飞镖模型”或连接辅助线，将分散的角转移到同一个三角形中。 核心技巧：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。 结论：此类图形的尖角和通常为 计算：根据具体图形推导（此处略，需具体图形）。 答：度数和为 5. 场景五：判断作图错误（基础题） 例：判断下列说法是否正确，说明理由。 （1）用3厘米、4厘米、7厘米的三根小棒能围成一个三角形。 （2）直角三角形只有一条高。 解： （1）不正确。理由：三角形任意两边之和必须大于第三边。这里 3+4=7，等于第三边，不能围成三角形（会变成一条直线）。 （2）不正确。理由：任何三角形都有三条高。直角三角形的两条直角边互为底和高，另外从直角顶点向斜边也能作一条高。 答：（1）不正确；（2）不正确。 培优练习 一、选择题 1．一个轴对称图形沿着对称轴剪开，其中一半如下图，这个轴对称图形不可能是（    ）。 A．等腰三角形 B．正方形 C．一般四边形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各个选项中的图形进行画图分析，判断有无可能，据此得解。 【详解】 A．等腰三角形： 可能； B．正方形：这是一个一般四边形，所以正方形不可能； C．一般四边形：可能； D．钝角三角形：可能。 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是根据轴对称图形的特点，结合画图的方法逐项判断。 2．在一个方格图上，如果点A用数对表示为（3，1），点B用数对表示为（5，3），点C用数对表示为（7，1），那么三角形ABC一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．等边 D．等腰 【答案】D 【分析】数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。点A用数对表示为（3，1），点B用数对表示为（5，3），点C用数对表示为（7，1），在方格图上表示出这三个点，并依次连点成线围成三角形ABC，据此可知三角形ABC一定是什么三角形。 【详解】 观察图可知，三角形ABC一定是等腰三角形。 故答案为：D 3．一个三角形最小的锐角是48°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上三种均可 【答案】A 【分析】由题意得，一个三角形最小的锐角是48°，那么另外两个角的度数都大于48°。48°＋48°＝96°，即较小的两个角的度数之和一定大于96°。三角形的内角和为180°，180°－96°＝84°，即最大的角不会超过84°。所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 【详解】48°＋48°＝96° 180°－96°＝84°，即这个三角形的三个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 4．如图所示，一张三角形的纸片被撕去了一个角，原来这张三角形纸片的形状是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】C 【分析】三角形内角和180°，三角形内角和分别减去已知的两个内角度数＝撕去的内角度数，据此确定三个内角的度数，根据最大角的度数，确定这个三角形按角分的类型即可。如果有两个内角相等，则这个三角形按边分是等腰三角形。 【详解】180°－110°－45°＝25° 最大内角110°，这个角是钝角，原来这张三角形纸片的形状是钝角三角形。 故答案为：C 5．一个等腰三角形的底角是，它的顶角是（    ）度。 A．144.5 B．54.5 C．109 D．24.5 【答案】C 【分析】三角形的内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，则这个三角形的顶角用180°减去两个底角的度数即可。 【详解】180°－35.5°×2 ＝180°－71° ＝109° 即这个等腰三角形的顶角为109°。 故答案为：C 6．下面4组数据，表示的都是一个三角形中的其中两个角的度数。哪组的三角形是等腰三角形？（    ） A．40°、100° B．30°、60° C．45°、55° D．50°、60° 【答案】A 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形底角相等。分别计算各选项中第三个角的度数，若有两个角相等，则该三角形为等腰三角形。 【详解】A．180°－40°－100°＝40°，40°＝40°，是等腰三角形。 B．180°－30°－60°＝90°，不是等腰三角形。 C．180°－45°－55°＝80°，不是等腰三角形。 D．180°－50°－60°＝70°，不是等腰三角形。 故答案为：A 二、填空题 7．现有4厘米、5厘米、7厘米和12厘米长的小棒各1根，从中选3根围成一个三角形。要使它的周长最长，应选择( )厘米、( )厘米和( )厘米长的小棒。 【答案】 4 5 7 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，即可解答。 【详解】要使周长最长，首先选5厘米、7厘米、12厘米的三根小棒，但是不满足任意两边之和大于第三边，因此不能选12厘米；即应选择4厘米、5厘米、7厘米这三根小棒。 故要使它的周长最长，应选择4厘米、5厘米和7厘米长的小棒。 8．如果一个三角形中两条边的长度分别是6cm和9cm，那么第三条边的长度小于( )cm，大于( )cm。 【答案】 15 3 【分析】根据在三角形中两边之和大于第三边，或两边之差小于第三边，得出第三边的取值范围即可判断 ，据此解答。 【详解】（厘米） （厘米） 3厘米＜第三边＜15厘米 所以，如果一个三角形中两条边的长度分别是6cm和9cm，那么第三条边的长度小于（15）cm，大于（3）cm。 9．篮球架的底座与立柱、横梁之间会形成三角形连接，无论是运动员扣篮时的冲击力，还是日常风吹，三角形结构都能让篮球架保持( )性，避免倾倒。 【答案】稳定 【分析】根据题意，明确三角形的稳定性，三角形结构都能让篮球架保持稳定性，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 篮球架的底座与立柱、横梁之间会形成三角形连接，无论是运动员扣篮时的冲击力，还是日常风吹，三角形结构都能让篮球架保持稳定性，避免倾倒。 10．下图中共有( )个直角三角形，在△ABC中，BC边上的高是线段( )，在△BDC中BC边上的高是线段( )。 【答案】 5 AB/BA DE/ED 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底边。结合图意进行解答。 【详解】已知线段AB与线段BC互相垂直，线段BD与线段AC互相垂直，线段DE与线段BC垂直，所以，△ABC、△ADB 、△BDC、△BED、△DEC五个三角形均为直角三角形。 △ABC中BC边上的高，是从BC边相对的顶点A向BC边所作的垂直线段AB，所以BC边上的高是线段AB，也可以说是线段BA。 △BDC中BC边上的高，是从BC边相对的顶点D向BC边所作的垂直线段DE，所以BC边上的高是线段DE，也可以说是线段ED。 11．下图中有______个三角形：量一量，有______个等腰三角形，有______个直角三角形。 【答案】 8 4 4 【分析】根据题意，标出图中所有可作为顶点的点（顶点A、底边左右两点B和C，垂直于BC的线段与BC相交于D、AD上的点E），逐一找出不共线的三点所构成的三角形，明确两条边相等的三角形是等腰三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 三角形有△ABC、△ABD、△ADC、△ABE、△AEC、△BED、△DEC、△BEC，共8个。 等腰三角形有△ABC、△BEC、△ABE、△AEC，共4个。 直角三角形有△ABD、△ADC、△BED、△DEC，共4个。 图中有8个三角形：量一量，有4个等腰三角形，有4个直角三角形。 12．从一张长16分米、宽12分米的红色长方形纸上剪小红旗，小红旗是直角边为4分米的等腰直角三角形，最多能剪( )面这样的小红旗。 【答案】24 【分析】由于小红旗是直角边为4分米的等腰直角三角形，两个这样的等腰直角三角形可以拼成一个边长为4分米的正方形。先分别计算长方形的长和宽分别包含多少个正方形的边长。再计算出能剪出多少个正方形，最后得出等腰直角三角形的数量。 长方形纸的长是16分米，正方形边长为4分米，则长包含正方形边长的个数为：16÷4＝4（个）。长方形纸的宽是12分米，则宽包含正方形边长的个数为：12÷4＝3（个）。那么能剪出边长为4分米的正方形的个数为：4×3＝12（个）。因为每个正方形由2个等腰直角三角形组成，所以等腰直角三角形的数量为：12×2＝24（面）。 【详解】16÷4＝4（个） 12÷4＝3（个） 4×3＝12（个） 12×2＝24（面） 从一张长16分米、宽12分米的红色长方形纸上剪小红旗，小红旗是直角边为4分米的等腰直角三角形，最多能剪24面这样的小红旗。 三、解答题 13．用长度分别是5.2cm、8cm和8cm的三根铁丝，能不能焊接成一个三角形铁架？如果能，这个铁架是一个什么三角形？ 【答案】能，这个铁架是一个等腰三角形。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；其中有两边相等的三角形是等腰三角形，进行解答即可。 【详解】（厘米）， （厘米）， （厘米）， 答：能焊接成一个三角形铁架，这个铁架是一个等腰三角形。 14．木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【分析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【详解】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【点睛】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 15．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【点睛】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 16．春风起，纸鸢飞（纸鸢又称风筝）。小华做了一个等腰三角形的风筝（如下图），风筝的顶角是44°，另外两个角分别是多少度？ 【答案】68°和68° 【分析】根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等。因此用180°减去顶角44°，再除以2，即可求出底角的度数，据此解答。 【详解】180°－44°＝136° 136°÷2＝68° 答：另外两个角分别是68°、68°。 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”。在古代，风筝又称为“纸鸢”。小可做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底角是多少度？先选择必要的信息再解答。 ①腰长6cm ②顶角40度 ③两条腰一样长 （1）选择的必要信息是（    ）。     （2）列式解答： 【答案】（1）② （2）70度 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，三角形的内角和为180度，求底角，则需要知道顶角。用180度减去顶角的度数后，再除以2，列式即可求出底角。 【详解】（1）根据上述分析可知，选择信息②顶角40度。 （2）底角：（180－40）÷2 ＝140÷2 ＝70（度） 答：这个等腰三角形风筝的底角是70度。 18．同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角哦。外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？你会推算出来吗？ 【答案】360° 【分析】利用三角形内角与相邻外角的和为180°以及三角形内角和为180°来推导三角形外角和。 【详解】因为∠1与∠4组成平角，所以∠1＋∠4＝180°；同理∠2＋∠5＝180°；∠3＋∠6＝180°。 那么三角形的内角和（∠1＋∠2＋∠3）与外角和（∠4＋∠5＋∠6）的总和为3×180°＝540°。 已知三角形的内角和∠1＋∠2＋∠3＝180°。 又因为三角形的内角和与外角和的总和是540°。 所以三角形的外角和∠4＋∠5＋∠6＝540°－180°＝360°。 答：三角形的外角和是360°。 19．在一个三角形中，有两个角的度数相等，第三个角比这两个角的度数和大20度，这个三角形的三个内角分别是多少度？ 【答案】40度；40度；100度 【分析】根据题意可知，相等的角的度数看作1份，则第三个角就是2份加20度，三个角加起来就是（1＋1＋2）份加20度，又因为三角形的内角和等于180度，所以180度减去20度等于（1＋1＋2）份的度数，再除以（1＋1＋2），即是1份的度数，也就是相等两个角的度数；相等的角的度数乘2后加20度，即是第三个角的度数，据此即可解答。 【详解】（180－20）÷（1＋1＋2） ＝160÷4 ＝40（度） 40×2＋20 ＝80＋20 ＝100（度） 答：这个三角形的三个内角分别是40度、40度、100度。 20．有5根木条，长度分别是2分米，3分米，4分米，5分米，6分米。从中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？（请至少列举出5种。） 【答案】7种；（1）2分米；3分米；4分米；（2）2分米；4分米；5分米；（3）3分米；4分米；5分米；（4）3分米；4分米；6分米；（5）4分米；5分米；6分米。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】根据分析可知： 2＋3＞4 2＋4＞5 2＋5＞6 3＋4＞5 3＋4＞6 3＋5＞6 4＋5＞6 答：一共可以围成7种不同的三角形。分别是：2分米、3分米、4分米；2分米、4分米、5分米；2分米、5分米、6分米；3分米、4分米、5分米；3分米、4分米、6分米；3分米、5分米、6分米；4分米、5分米、6分米；共7种不同的三角形。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $