7.2.3 第2课时 平行线的判定与综合应用 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 ( 相交线与平行线 导学案（仅教学过程） 学科：初中数学 年级：七年级下册 课时：2课时 教学过程（90分钟） 第一课时：相交线（45分钟） 一、情境引入，温故启新（5分钟） 教师展示生活中相交线的实例：十字路口的两条道路、剪刀的两片刀刃、三角板的两条邻边，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系有什么共同特点？它们相交后形成了几个角？ 出示图形：直线AB与直线CD相交于点O，提问：两条直线相交时，有几个交点？这些交点有什么特点？引出本节课第一部分内容——相交线，重点探究两条直线相交的基本性质及所成角的关系。 二、探究新知，明确概念（18分钟） 1. 相交线的定义：结合实例和图形，明确定义——当两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫作相交线，这个公共点叫作它们的交点。强调“有且只有一个公共点”，区分相交线与重合线的差异，说明两条直线相交，交点唯一。 2. 对顶角与邻补角的探究：引导学生观察直线AB与CD相交形成的4个角（标注∠1、∠2、∠3、∠4），分组讨论： （1）邻补角：观察∠1与∠2，它们有一条公共边OC，另一边互为反向延长线，且∠1+∠2=180°，这样的两个角叫作邻补角。类比得出∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1也互为邻补角，强调邻补角的两个核心特征：有公共边、另一边互为反向延长线，且互补。 （2）对顶角：观察∠1与∠3，它们有一个公共顶点O，两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角。同理，∠2与∠4互为对顶角。引导学生动手测量4个角的度数，猜想对顶角的关系，最终总结：对顶角相等。 3. 辨析巩固：出示变式图形（两条直线相交角度变化），让学生快速识别对顶角和邻补角，教师巡视指导，纠正易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：先判断角的关系，再计算度数。∠1与∠2互为邻补角，所以∠2=180°-∠1=180°-50°=130°；∠1与∠3互为对顶角，所以∠3=∠1=50°；∠2与∠4互为对顶角，所以∠4=∠2=130°。 例2：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的两个角是邻补角。 解析：结合定义逐一判断，（1）（3）正确，符合对顶角和邻补角的性质；（2）（4）错误，举例说明：两个直角相等，但不一定是对顶角；两直线平行时，同旁内角互补，但不是邻补角。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，直线l与m相交于点O，∠1=65°，求其余三个角的度数，学生独立完成，举手汇报。 2. 判断题：（1）两条直线相交，一定有对顶角（ ）；（2）邻补角一定有一条公共边（ ）；（3）对顶角的两边互为反向延长线（ ），纠正易错认知。 3. 提升题：直线AB与CD相交于点O，∠AOC比∠BOC小30°，求∠AOD的度数，培养学生列方程解决几何问题的能力。 学生完成后，小组内核对答案，教师针对共性错误进行重点讲解，强化性质应用。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 相交线的定义及交点特征；2. 对顶角、邻补角的定义及性质；3. 利用对顶角相等、邻补角互补求未知角的方法。 第二课时：平行线（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾上一课时内容：上节课我们学习了相交线，知道两条直线相交时会形成对顶角和邻补角，并且掌握了它们的性质。今天我们来学习两条直线的另一种位置关系——平行线，它在生活中也很常见。 展示生活中平行线的实例：黑板的上下两条边、课桌的两组对边、铁轨的两条轨道，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系，与相交线有什么不同？引出本节课第二部分内容——平行线，探究平行线的概念、性质及应用。 二、探究新知，推导性质（18分钟） 1. 平行线的定义与表示：结合实例和图形，明确定义——在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。强调两个关键条件：① 同一平面内；② 不相交。补充：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交或平行（重合不算）。表示方法：直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。 2. 平行线的基本事实：引导学生动手操作，在练习本上画一条直线l，在直线l外取一点P，尝试过点P画一条与直线l平行的直线，观察能画出几条。总结：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 平行线的性质探究：出示图形，两条平行直线AB∥CD被截线EF所截，标注∠1至∠8，引导学生通过测量、推导，得出三个性质： （1）性质1：两直线平行，同位角相等（通过测量同位角∠1和∠5，验证相等关系）； （2）性质2：两直线平行，内错角相等（利用对顶角相等和性质1，通过等量代换推导）； （3）性质3：两直线平行，同旁内角互补（利用邻补角互补和性质1，通过等量代换推导）。 辨析巩固：强调“两直线平行”是性质的前提，两直线不平行时，这些角的关系不成立。 三、例题解析，深化应用（10分钟） 例1：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，已知∠1=60°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：结合平行线的性质计算，① 同位角相等，∠2=∠1=60°；② 内错角相等，∠3=∠1=60°；③ 同旁内角互补，∠4=180°-60°=120°。 例2：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠C。 解析：利用平行线的性质推导，① AB∥CD，得∠A+∠D=180°；② AD∥BC，得∠C+∠D=180°；③ 同角的补角相等，故∠A=∠C。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，AB∥CD，∠1=75°，求∠2、∠3的度数，学生独立完成。 2. 判断题：区分平行线的性质与判定，纠正易错认知。 3. 提升题：如图，AB∥CD，EF⊥AB，求证：EF⊥CD，强化性质综合应用。 学生完成后，小组核对答案，教师重点讲解共性错误，区分性质与判定的不同。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 平行线的定义、表示方法及基本事实；2. 平行线的三个性质；3. 相交线与平行线的核心区别，以及两类知识的应用技巧，为后续综合应用奠定基础。 )7.2.3 第2课时 平行线的判定与性质综合 【学习目标】 1. 掌握平行线的判定和性质的综合运用. 2. 让学生进一步学会识图，能将复杂图形分解为基本图形，会对已知条件和结论进行转化，能建立已知和未知间的联系，理解数学与实际生活的联系. 3. 通过体会平行线的判定和性质的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别. 【学习重点】平行线的判定和性质的区别与联系. 【学习难点】平行线判定和性质灵活运用. 【自主学习】 思考讨论：问题 1：如何判定两直线平行? 问题 2：如果两条直线平行，你可以得到什么性质? 问题 3：平行线的判定与性质之间的关系. 问题 4： 平行线的其他判定方法，请用几何语言表示. 几何语言： 几何语言： 【合作探究】 探究点一、平行线的性质和判定的综合运用 【典型例题】 例1 如图，已知直线 a∥b，∠1 =∠3，那么直线 c 与 d 平行吗？为什么？ 例2 如图，∠1＝∠2，∠3＝50°，∠ABC 等于多少度？ 【归纳总结】 例3 如图，点 D，F 分别是 BC，AB上的点，DF//AC，∠FDE =∠A. 对 DE // AB 说明理由，将下列解题过程补充完整. 解：∵DF //AC (已知)， ∴∠A =∠BFD ( )①. ∵∠A =∠FDE(已知)， ∴∠FDE = ∠BFD ( ). ∴DE // AB( 【变式训练1】如图，C，D 是直线 AB 上两点， ∠1＋∠2＝180°，DE 平分∠CDF，EF∥AB. (1) CE 与 DF 平行吗？为什么？ (2) 若∠DCE＝130°，求∠DEF 的度数． 【练一练】 1.已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 = ∠2，试说明∠3 = ∠E. 2. 如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°. 探究点二、有关平行线的性质与判定的“拐点”问题 【典型例题】例4 如图，AB∥CD，∠BAE = ∠BCD，AE⊥DE，∠ABC = 35°，求∠CDE的度数. 【练一练】 3.如图，∠1 = ∠2，∠E = ∠F ，判断 AB 与 CD 的位置关系 ，说明理由. 课堂检测 1．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG 平分∠EFD，则∠FGB 的度数为（     ） A．122°  B．151°  C．116°   D．97° 2．如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D的度数为（     ） A．25°   B．45° C．50°   D．65° 3．如图，下列结论不正确的是（     ） A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC 第1题图 第2题图 第3题图 4．如图，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝120°，则∠4的度数为 _______. 5．如图，直线a⊥m，直线b⊥m.若∠1＝60°，则∠2的度数是_______. 6．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系， 7．如图，C，D是直线AB上的两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB. (1)CE与DF平行吗？为什么？ (2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数． 参考答案 【自主学习】 问题1 除 3 种常用的判定方法，还有有关平行线基本事实的推论. 问题2 两直线平行，可以得到同位角、内错角和同旁内角相关的性质. 问题3 平行线的判定和平行线的性质是一个互逆的过程. 问题4 图①如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c.图② 如果 a⊥b，a⊥c，那么 b∥c. 【合作探究】 探究点一、平行线的性质和判定的综合运用 【典型例题】 方法一： 例1 解： 直线 c 与 d 平行，理由如下： ∵a∥b， ∴∠1=∠2 (两直线平行，内错角相等). 又∠1=∠3， ∴∠2=∠3 (等量代换). ∴c∥d (同位角相等，两直线平行). 方法二： 解： 直线 c 与 d 平行，理由如下： ∵a∥b， ∴∠1 +∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 又∠1 = ∠3， ∴∠3 +∠4 = 180°. ∴c∥d (同旁内角互补，两直线平行). 方法三： 解： 直线 c 与 d 平行，理由如下： ∵ a∥b， ∴∠1 = ∠5(两直线平行，同位角相等). 又∠1 = ∠3， ∴∠5 = ∠3. ∴c∥d (内错角相等，两直线平行). 例2 如图，∠1＝∠2，∠3＝50°，∠ABC 等于多少度？ 解：∵∠1＝∠2， ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行). ∴∠3＝∠ABC (两直线平行，同位角相等). 又 ∠3＝50°， ∴∠ABC＝50°. 例3 两直线平行，内错角相等 等式的基本事实 内错角相等，两直线平行 ①用的是平行线的性质，②用的是平行线的判定. 变式训练1 解：(1) CE∥DF. 理由如下：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1 + ∠DCE = 180°，∴∠2 = ∠DCE. ∴CE∥DF. (2)∵CE∥DF，∠DCE = 130°，∴∠CDF = 180°－∠DCE = 180°－130° = 50°. ∵ DE 平分∠CDF，∴∠CDE = 1/2∠CDF = 25°.∵ EF∥AB，∴∠DEF =∠CDE = 25°. 【练一练】 1.解：∵∠1 = ∠2 (已知)， ∴ AB∥EF (内错角相等，两直线平行).∵ AB⊥BF，CD⊥BF，∴ AB∥CD (垂直于同一条直线的两条直线平行).∴ EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).∴∠3 = ∠E (两直线平行，同位角相等). 2.35 探究点二、有关平行线的性质与判定的“拐点”问题 【典型例题】例4 解：过点 E 作 EK∥CD.∵AB∥CD，∴EK∥CD∥AB， ∴∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°. ∵∠BAE＝∠BCD，∴∠AEK＝∠ABC＝35°.∵AE⊥DE，∴∠DEK＝90°－35°＝55°.∴∠CDE＝125°． 【练一练】 3.解：AB∥CD，理由如下：如图，延长 BE 交 DC 的延长线于点 M， ∵∠BEF = ∠F，∴BM∥FC.∴∠M = ∠2.∵∠1 = ∠2，∴∠M = ∠1.∴AB∥CD. 课堂检测 1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 120° 6.解：BD∥CF. 理由如下：∵∠1＝∠2，∴ AD∥BF.∴∠D＝∠DBF. ∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBF.∴BD∥CF. 7.（1）解：CE∥DF. 理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°， ∴∠2＝∠DCE.∴CE∥DF. （2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°. ∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝1/2∠CDF＝25°. ∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°. 学科网（北京）股份有限公司 $