7.3.1 定义、命题 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.3.1 定义、命题 【学习目标】 ( 7.3.1 定义、命题 导学案(仅教学过程) 学科:初中数学 年级:七年级下册 课时:1课时 教学过程(45分钟) 一、情境引入,激发兴趣(5分钟) 教师提问导入:同学们,我们在之前学习相交线、平行线时,经常会用到“对顶角”“邻补角”“平行线”这些名称,大家还记得我们是怎么描述它们的吗?比如,什么是对顶角?什么是平行线? 邀请2-3名学生发言,分享自己对这些概念的理解,教师点评并引导:大家说得都有道理,但数学是一门严谨的学科,对于每一个概念,我们都需要给出明确、准确的描述,避免歧义。像这样对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定,就是我们今天要学习的“定义”。除此之外,我们在判断一个结论是否正确时,会说“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”,这些判断性的语句又有什么特点呢?今天我们就一起来学习7.3.1 定义、命题,探究这些数学语句的奥秘。 二、探究新知,突破重点(18分钟) (一)定义 1. 概念探究:结合学生刚才的发言和之前学过的知识,出示一组实例,引导学生观察总结: (1)对顶角:有一个公共顶点,两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角; (2)平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线; (3)邻补角:有一条公共边,另一边互为反向延长线,且和为180 的两个角叫作邻补角。 提问:这些语句有什么共同特点?它们都是对什么进行描述? 师生共同总结:这些语句都是对某个名称或术语的含义作出了明确的规定,这种对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定的语句,叫作定义。 2. 巩固练习:让学生结合所学知识,尝试说出1-2个数学中的定义(如直角、锐角、钝角等),教师巡视指导,纠正不规范的表述,强调定义的严谨性——必须明确、准确,不能含糊不清。 (二)命题 1. 概念探究:出示一组语句,让学生分组讨论,判断哪些语句是对事情作出判断的,哪些不是: (1)对顶角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)画一条线段AB;(4)你喜欢数学吗?(5)∠1和∠2相等吗?(6)同旁内角互补。 小组汇报讨论结果,教师引导分析:语句(1)(2)(6)都是对一件事情作出了明确的判断,要么是“相等”,要么是“互补”;而语句(3)是一个操作指令,没有作出判断;语句(4)(5)是疑问,也没有作出判断。 总结命题的定义:判断一件事情的语句,叫作命题。强调命题的核心特征——必须是“判断句”,要么肯定,要么否定,不能是疑问、祈使、感叹等语气。 2. 命题的组成:结合命题“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”,引导学生分析命题的结构: 提问:“对顶角相等”这句话中,先说明了什么?再判断了什么? 讲解:命题通常由题设和结论两部分组成。题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。通常可以把命题写成“如果……,那么……”的形式,“如果”后面的部分是题设,“那么”后面的部分是结论。 举例示范:将“对顶角相等”改写为“如果……,那么……”的形式:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等。其中,题设是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”。 引导学生尝试:将“两直线平行,内错角相等”“同旁内角互补”改写为“如果……,那么……”的形式,小组内互相检查,教师巡视指导,纠正改写不规范的地方,强调:有些命题的题设和结论不明显,需要先梳理清楚,再进行改写。 3. 真命题与假命题:提问:所有的命题都是正确的吗?出示语句:(1)两直线平行,同位角相等;(2)相等的角是对顶角;(3)同旁内角互补。 引导学生判断:语句(1)是正确的,是我们之前学过的平行线的性质;语句(2)是错误的,比如两个直角相等,但它们不一定是对顶角;语句(3)是错误的,只有两直线平行时,同旁内角才互补。 总结:正确的命题叫作真命题,错误的命题叫作假命题。强调:真命题需要经过推理验证,假命题只需举出一个反例即可证明其错误。 三、例题解析,深化理解(10分钟) 例1:判断下列语句是否是命题,如果是,指出它的题设和结论,并判断是真命题还是假命题。 (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; (2)画线段AB=5cm; (3)如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3; (4)内错角相等。 解析:(1)是命题。题设:两条直线都与第三条直线平行;结论:这两条直线也互相平行。是真命题,符合平行线的基本事实。 (2)不是命题,因为它是一个操作指令,没有对事情作出判断。 (3)是命题。题设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3。是真命题,符合等量代换的规律。 (4)是命题。题设:两个角是内错角;结论:这两个角相等。是假命题,反例:两直线不平行时,内错角不相等。 例2:将下列命题改写为“如果……,那么……”的形式,并判断真假。 (1)邻补角互补;(2)直角都相等;(3)同位角相等。 解析:(1)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补。真命题,符合邻补角的性质。 (2)如果两个角都是直角,那么这两个角相等。真命题,所有直角都是90 。 (3)如果两个角是同位角,那么这两个角相等。假命题,反例:两直线不平行时,同位角不相等。 四、课堂练习,夯实基础(10分钟) 1. 基础题:判断下列语句是否是命题,若是,指出题设和结论,判断真假: (1)对顶角不相等;(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(3)你吃饭了吗?(4)钝角大于90 。 2. 提升题:将下列命题改写为“如果……,那么……”的形式,并说明是真命题还是假命题,若是假命题,举出反例: (1)内错角相等,两直线平行;(2)相等的两个角是直角;(3)平行于同一条直线的两条直线平行。 3. 拓展题:结合本节课所学,尝试自己写出2个真命题和1个假命题,并与同桌互相判断。 学生独立完成,小组内核对答案,教师巡视指导,针对共性错误(如改写命题不规范、判断假命题不会举反例)进行重点讲解,强化对定义、命题相关概念的理解和应用。 五、课堂小结,梳理收获(2分钟) 师生共同梳理本节课核心知识:1. 定义:对名称和术语的含义作出明确规定的语句;2. 命题:判断一件事情的语句,由题设和结论两部分组成,可改写为“如果……,那么……”的形式;3. 命题分为真命题和假命题,真命题需验证,假命题需举反例。 引导学生反思:本节课你学会了什么?还有哪些不懂的地方?快速提问反馈,及时解决遗留疑问,强调定义和命题是后续学习推理证明的基础,要准确掌握概念,规范表述。 ) 1. 掌握定义、命题的概念,并能分清命题的组成. 2. 通过讨论、探究、交流等形式,让学生在辩论中获得知识体验. 3. 在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质. 【学习重点】掌握定义、命题的概念. 【学习难点】分清命题的组成,能判断一个命题是真命题还是假命题. 【自主学习】 比比谁能答得又快又准. 对顶角的性质: 平行公理的推论: 平行线的判定方法: 平行线的性质: 【情境导入】 刘徽与 “正负数” 定义 在中国古代数学的发展历程中,刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中,他对正负数给出了清晰的定义和解释. 刘徽是这样定义正负数的:“今两算得失相反,要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时,就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数,黑色算筹表示负数(或者用正放的算筹表示正数,斜放的算筹表示负数). 在方程术的应用中,正负数的定义更是发挥了关键作用. 【合作探究】 探究点一、定义 以前我们在学习一些新的数学对象时,对它们进行了清晰、明确的描述. 例如:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 讨论:你能举出其他类似的例子吗? (1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. (2) 使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解; (3) 从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线, 叫作这个角的平分线; (4) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离. 思考:我们举出的这些例子,有些什么特征? 【概念归纳】 我们举例的一些描述称为数学对象的定义,一个数学对象的定义揭示了它的本质特征,能够帮助我们准确地理解它,并作出准确的判断. 例如,“数轴”指的是一条直线,而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度; 根据方程的解的定义,可以判断 x = 3/2是方程 2x = 3 的解. 探究点二、命题 讨论:我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述. 1. 对顶角相等; 2. 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行; 3. 同位角相等,两直线平行; 4. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 思考:上述这些语句有什么特征? 归纳小结: 像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句,叫作_.被判断为正确(或真)的命题叫作_,被判断为错误(或假)的命题叫作_. 注意:只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 不是命题的形式,如: ① 疑问句;如:你喜欢数学吗? ② 感叹句;如:今天天气很好啊! ③ 祈使句;如:作线段 AB = CD. 【典型例题】例1观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征? 与同伴交流. (1) 如果两个三角形的三条边分别相等,那么这两个三角形的周长相等; (2) 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等; (3) 如果一个数的平方等于 9,那么这个数是 3. 思考:上面这些命题,哪些是真命题? 哪些是假命题? 你对命题的结构理解了吗? 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论. 题设:_.结论:_. 例2 请将下列命题改写成“如果 那么 ”的形式,并指出条件和结论. (1) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直. (2) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 【合作探究】指出下列各命题的条件和结论,其中哪些命题是正确的,哪些错误的? 你是如何判断的? 与同伴进行交流. (1) 如果两个数互为相反数,那么这两个数的绝对值相等; (2) 如果两个角互补,那么它们是邻补角. 归纳小结:判断命题的真假:正确的命题就是真命题;错误的命题就是假命题. 真命题——可以用推理的方法,假命题——可以举反例来说明. 反例:指具备命题的条件,而不具备命题的结论的例子. 【练一练】1. 判断下列命题的真假. (1) 同旁内角互补 ( ) (2) 一个角的补角大于这个角 ( ) (3) 相等的两个角是对顶角 ( ) (4) 两点可以确定一条直线 ( ) (5) 两点之间线段最短 ( ) (6) 同角的余角相等 ( ) 课堂检测 1.下列语句中,不是命题的是( ) A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 不是对顶角不相等 D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线 2. 有下列句子:① -2 的相反数是 2;② x = 1是 2x + 3 = 5 的解吗? ③过点 A,B 画直线 AB;④已知a + b = 1;⑤两个单项式可以合并同类项;⑥互余的两个角不一定相等. 其中,是命题的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果 那么 ”的形式 为_, 它是_命题. 4. 写一个学过的定义的例子_. 5. 下面有 3 个命题:① 同位角相等;② 内错角相等,两直线平行;③平方后等于 4 的数一定是 2. 其中_是真命题(填序号). 6.举反例说明下列命题是假命题. (1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等; (2)若ab = 0,则 a + b = 0. 7. 已知:三条不同的直线 a,b,c 在同一平面内: ① a∥b;② a⊥c;③ b⊥c;④ a⊥b. 请你用 ①②③④ 所给出的其中两个事项作为条件,其中一个事项作为结论(用如果 那么 的形式,写出命题,例如:如果 a⊥c,b丄c,那么 a∥b). (1)写出一个真命题,并证明它的正确性; (2)写出一个假命题,并举出反例. 参考答案 【合作探究】 探究点一、定义 思考 都是“……叫作……”的形式. 探究点二、命题 思考 都是在对一件事进行判断. 归纳小结 命题 真命题 假命题 【典型例题】例1 (1)是真命题 (2)(3)是假命题. 已知事项 已知事项推出的事项 【典型例题】例2 如果两条直线垂直于同一直线,那么这两条直线互相垂直. 如果过一点向已知直线做平行线,那么这种直线有且只有一条. 合作探究 (1)命题正确 (2)命题错误 【练一练】1. (1) (2) (3) (4)√ (5) √(6) √ (7)√ 课堂检测 1.D 2.C 3.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 真 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离(答案不唯一) 5.② 6.解:(1) 两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角,这两个角不是对顶角,但是它们相等.(2)当 a = 5,b = 0 时,ab = 0,但 a + b ≠ 0. 7.解:(1) 如果 a丄c,b丄c,那么 a∥b. 证明如下:如图,∵ a丄c,b⊥c, ∴∠1 = 90 ,∠2 = 90 . ∴∠1 = ∠2. ∴a∥b. (2)如果 a丄c,b丄c,那么 a丄b. 反例:如图,如果a丄c,b丄c,那么a∥b. 学科网(北京)股份有限公司 $