7.2.3 第1课时 平行线的性质 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2.3 第1课时 平行线的性质 ( 平行线的性质 导学案（仅教学过程） 学科：初中数学 年级：七年级下册 课时：1课时 教学过程（45分钟） 一、情境引入，温故启新（5分钟） 教师回顾旧知：上节课我们学习了平行线的概念和基本事实，谁能说说平行线的定义和“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”的基本事实？（请学生举手回答，巩固旧知） 出示图形：两条平行直线AB∥CD，被第三条直线EF所截，形成8个角（标注∠1至∠8），提问：这些角中，有我们之前学过的同位角、内错角、同旁内角，当两条直线平行时，这些角之间会有什么特殊的数量关系？引出课题——平行线的性质，本节课我们将重点探究平行线被截后，同位角、内错角、同旁内角的数量关系。 二、探究新知，推导性质（18分钟） 1. 探究平行线的性质1（同位角相等）： 引导学生动手操作：在练习本上画两条平行线AB∥CD，用三角尺画截线EF，分别标注同位角∠1和∠5。用量角器测量∠1和∠5的度数，记录数据，小组内交流测量结果，猜想同位角的关系。 师生共同总结：经过测量和验证，当AB∥CD时，∠1=∠5，由此得出平行线的性质1：两直线平行，同位角相等。强调“两直线平行”是前提条件，只有在两条直线平行的情况下，同位角才相等，若两直线相交，同位角不相等。 2. 推导平行线的性质2（内错角相等）： 结合刚才的图形，提问：∠1和∠3是什么角？（对顶角）根据对顶角相等，可知∠1=∠3；又因为AB∥CD，由性质1得出∠1=∠5，那么∠3和∠5有什么关系？（相等） 引导学生自主推导，教师补充完善：因为∠1=∠3（对顶角相等），∠1=∠5（两直线平行，同位角相等），所以∠3=∠5（等量代换）。由此得出平行线的性质2：两直线平行，内错角相等。同样强调“两直线平行”是前提，缺一不可。 3. 推导平行线的性质3（同旁内角互补）： 继续结合图形，提问：∠1和∠2是什么角？（邻补角）它们的关系是∠1+∠2=180°（邻补角互补）；又因为AB∥CD，∠1=∠5（性质1），那么∠5和∠2有什么关系？（∠5+∠2=180°） 引导学生分组推导，得出结论：因为∠1+∠2=180°（邻补角互补），∠1=∠5（两直线平行，同位角相等），所以∠5+∠2=180°（等量代换）。其中∠2和∠5是同旁内角，由此得出平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 4. 辨析巩固：出示变式图形（两直线不平行，被第三条直线所截），让学生观察同位角、内错角、同旁内角的关系，明确：只有两直线平行时，这三个性质才成立；两直线不平行，性质不成立，避免学生混淆“平行线的性质”与“角的位置关系”。 三、例题解析，深化应用（10分钟） 例1：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，已知∠1=60°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：先判断角的关系，再结合平行线的性质计算。① ∠1和∠2是同位角，因为AB∥CD，所以∠2=∠1=60°（两直线平行，同位角相等）；② ∠1和∠3是内错角，因为AB∥CD，所以∠3=∠1=60°（两直线平行，内错角相等）；③ ∠2和∠4是同旁内角，因为AB∥CD，所以∠2+∠4=180°，则∠4=180°-60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）。 例2：如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠C。 解析：利用平行线的性质推导，① 因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）；② 因为AD∥BC，所以∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）；③ 由∠A+∠D=180°和∠C+∠D=180°，可得∠A=∠C（同角的补角相等）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，AB∥CD，∠1=75°，求∠2、∠3的度数，学生独立完成，举手汇报。 2. 判断题：（1）两直线平行，同位角相等（ ）；（2）内错角相等，两直线平行（ ）；（3）两直线平行，同旁内角相等（ ），纠正易错点，区分“平行线的性质”与“平行线的判定”。 3. 提升题：如图，AB∥CD，EF⊥AB，垂足为E，求证：EF⊥CD，强化性质的综合应用。 学生完成后，小组内核对答案，教师针对共性错误（如混淆性质与判定、计算失误）进行重点讲解，强化性质的应用技巧。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 平行线的三个性质：① 两直线平行，同位角相等；② 两直线平行，内错角相等；③ 两直线平行，同旁内角互补；2. 关键提醒：性质的前提是“两直线平行”，且要区分性质（由平行推角的关系）与判定（由角的关系推平行）；3. 解题思路：利用平行线的性质，结合对顶角、邻补角等知识，求未知角的度数或证明角的关系。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，为后续综合应用奠定基础。 )【学习目标】 1. 通过类比平行线的判定掌握平行线的性质，初步感受性质与判定间的互逆关系，发展推理意识. 2. 经历观察、操作，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补，锻炼识图能力，发展空间观念. 3. 能运用平行线的性质进行推理证明，培养数学语言表达能力，发展应用意识与实践能力. 【学习重点】理解平行线的性质. 【学习难点】能运用平行线的性质进行推理证明. 【自主学习】 回顾一下之前我们学习过的平行线的判定方法. ( 两直线平行 ) 【合作探究】 探究点一、平行线的性质 画一画：任意画出两条平行线 (a∥b)，画一条截线 c 与这两条平行线相交，并用数字标出 8 个角. 活动 1：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表: 第一组 第二组 第一组 第一组 同位角 角的度数 数量关系 活动2：将画出的同位角，选取任一组剪下后，进行叠合，并观察. 猜想：根据以上活动得出的数据与操作得出的结果可猜想： ________________________________________________________ . 在刚刚的图上，再画出一条截线 d，重复操作，你的猜想结论是否仍然成立? 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：_________________________________. 几何语言：∵ a∥b， ∴ ∠1 = ∠2（ ）. 【典型例题】例1 如图，a∥b，∠1 = 60°， 则∠2 的度数为( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 探究点二、平行线的性质2和性质3 问题1：如图，如果 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，那么∠2 与∠3，∠2 与∠4 在数量上有什么关系? 说一说，猜一猜. 问题 2：你能动手验证一下刚刚的猜想吗? 如图，如果 a∥b ，能得出∠2 = ∠3 吗？ 推导过程: 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：_______________________________________. 几何语言： 如图，如果 a∥b ，能得出 ∠2+∠4=180°吗？请分组证明并归纳定义. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：_____________________________________ . 几何语言： 【典型例题】 例2 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？ 例3 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数. 【练一练】 1. (1)如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解: ∵ AB∥DE ( )， ∴∠A =_______ ( ). ∵ AC∥DF ( ) ， ∴∠D =______ ( ). ∴∠A =∠D ( ). (2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解： ∵ AB∥DE ( )， ∴∠A = ______ ( ). ∵AC∥DF ( ) ， ∴∠D + _______ = 180°. ( ). ∴∠A +∠D = 180° ( ). 课堂检测 1．如图，直线 a∥b，∠1＝50°，则∠2 的度数是（      ） A．130° B．50° C．40°   D．150° 2．如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC. 若∠1＝66°，则∠CBE的度数为（     ） A．33°   B．32°  C．22°   D．56° 第1题图 第2题图 第3题图 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝_____________ ° . 4. 如图，把一块含有 45° 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上. 如果∠1 = 20°， 那么∠2 的度数是______. 5．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB＝_____________ °. 第5题图 第6题图 6．(教材P20习题T10变式)如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D 的度数． 参考答案 【自主学习】 【合作探究】 探究点一、平行线的性质 猜想 两直线平行，同位角相等 性质1 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同位角相等 【典型例题】例1 D 探究点二、平行线的性质2和3 问题1 猜想：∠2＝∠3，∠2 ＋∠4＝180° 推导过程 解：∵ a∥b ∴ ∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 = ∠3(对顶角相等)，∴∠2 = ∠3 (等量代换). 性质2 两直线平行，内错角相等 几何语言 ∵ a∥b，∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）. 证明：如果 a∥b，那么 ∠1 = ∠2因为∠1+∠4 = 180°(平角的定义)， 所以∠2+∠4 = 180°. 性质3 两直线平行，同旁内角互补 几何语言 ∵ a∥b，∴ ∠2 +∠4 = 180°（两直线平行，内错角相等）. 【典型例题】 例2 ∠D+∠A = 180°∠C+∠B = 180° ∠D = 80°∠C = 65° 例3 解：由题意得，AE∥BF，∴∠1 = ∠3 = 45°. 因为 AB∥CD，∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°.又因为 AC∥BD， ∴∠5 = ∠4 = 58° . 【练一练】1 （1）已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换 （2）已知 ∠CPD 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 课堂检测 1. B 2.A 3. 70 4.25° 5.90 6.解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°. ∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°. ∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°. 学科网（北京）股份有限公司 $