2026年河北省对口升学《数学高频考点冲刺卷》（八）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．的值是（    ） A． B． C． D． 5．下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 8．若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 9．（    ） A． B． C． D． 10．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   11．直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 12．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 13．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 15．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 16．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 17．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 18．从整数1，2，…，10中任取三个不同的数．则这三个数构成公比大于1的等比数列的概率为（   ） A． B． C． D． 19．已知圆锥的表面积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 20．函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则的值为______. 22．_______. 23．已知，则_________. 24．从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________. 25．如图，在直三棱柱中，，，，则直三棱柱的体积为________． 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 27．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 28．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 29．为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 30．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河北省对口升学考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合元素的确定性，即可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C 2．计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方法转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 4．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可. 【详解】. 故选：A 5．下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知与终边相同的角满足，代入检验即可. 【详解】与终边相同的角为，即， 对于选项A：，不合题意，故A错误； 对于选项B：，不合题意，故B错误； 对于选项C：，不合题意，故C错误； 对于选项D：，符合题意，故D正确； 故选：D. 6．已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【分析】先求出函数的解析式，再计算. 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可. 【详解】由题意可得当时，有，当或时，有， 所以当时，有或，即或， 当时，有，即， 由，可得，或，所以或， 所以的解集是. 故选：D 8．若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 9．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 10．函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 11．直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般方程可直接求得其斜率. 【详解】由题意可得直线的斜率是． 故选：D 12．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 13．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可得，，再利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由， ， 可得，， 则． 故选：C. 14．已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式与求和公式可得解. 【详解】设数列的公比为， 则， 又，则，即， 又， 即，解得， 又，则， 所以，， 故选：C. 15．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案. 【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除， 而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线， 且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除. 故选：C. 16．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】圆锥的轴截面特征即可求. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选： 17．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为， 所以，，则，， 椭圆的标准方程为. 故选：B. 18．从整数1，2，…，10中任取三个不同的数．则这三个数构成公比大于1的等比数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算从10个数中任取3个的总组合数，再枚举公比大于1的等比数列个数，最后用古典概型公式计算概率即可. 【详解】根据题意，从整数1，2，…，10中任取三个不同的数，有种组合，而其中公比大于1的等比数列有， 共4种，所以. 故选：A. 19．已知圆锥的表面积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的表面积公式，联立方程组，即可求解母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意得，解得， 所以该圆锥的母线长为． 故选：D 20．函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性调自变量的符号，根据函数的单调性脱掉函数记号“” 【详解】是奇函数，故.又是增函数，，所以，则，解得. 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 21．已知函数，则的值为______. 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 22．_______. 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算公式化简后即可求得. 【详解】原式. 故答案为：. 23．已知，则_________. 【答案】 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 24．从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________. 【答案】 【分析】利用组合数的运算直接求解即可. 【详解】从四个数中任取两个数的取法个数为. 故答案为： 25．如图，在直三棱柱中，，，，则直三棱柱的体积为________． 【答案】1 【分析】根据直三棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】直三棱柱的体积为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 26．宇树科技企业最新研发了一款机器人，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：；对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围. 【答案】(1)的最大值为，相应月研发经费万元； (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，并求出此时月研发经费万元； （2）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时月研发经费万元. （2）由题意得，， 整理可得，解得， 故月研发经费的取值范围为. 27．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 28．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，证明，从而得到异面直线与所成角的平面角，然后由余弦定理求得结果； （2）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行. 【详解】（1）取中点，连接， ∵是的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在△中，，，所以异面直线与所成的角的大小为； （2）连接，与交于点， 则为中点，又为中点， ∴，又平面，不在平面内， ∴平面． 29．为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 30．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $