专题11 全等三角形之截长补短模型（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题11全等三角形之截长补短模型 模型说明 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB十BD=AC。 证明：法1（截长法）：在线段AC上截取线段AB=AB,连接DB。 ,AD为△ABC的角平分线，.∠BAD=∠BAD,,AD=AD,∴.△ABD≌△ABD(SAS) .∠B=∠AB'D,BD=B'D,∠B=2∠C,∴.∠AB'D=2∠C,.∠AB'D=2∠C,∠B'DC=∠C, .B'C=B'D,∴BD=B'C,AB十B'C=AC,∴AB+BD=AC。 法2（补短法）：延长AB至点C使得AC=AC,连接BC'。 AD为△ABC的角平分线，∴.∠CAD=∠CAD,AD=AD,.△CAD≌△CAD(SAS) ∠C=∠C,∠B=2∠C,∠B=2∠C,∴∠BDC=∠C',∴.BC'=BD, ,AB十BC=AC,.AB+BD=AC。 专项训练 1.在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE是∠BAD的平分线，AD∥BC,求证AB=AD+BC; 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长AE、BC交于点F; 方法2：如图③，在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG、CG; 1/41 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D D B G 图① 图② 图③ 图④ (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程： 2如图@，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是边CD的中点，∠D+2∠BCD=180°， LBAD=60°，求证CB=CE. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)方法一根据平行线的性质易证△DAE≌△CFE,结合角平分线的性质可知△ABF是等腰三角 形，从而可证AB=AD+BC;方法二根据角平分线的性质易证△DAE≌△GAE,从而可知△ECG是等腰三 角形，再结合平行线的性质可求得△BCG也是等腰三角形，从而可证AB=AD+BC: (2)过点C作AD的平行线交AB于点F,交AF的延长线于点G,根据方法一可得△AFG是等腰三角形， 结合等腰三角形性质，∠D+BCD=180,∠B4D=60,可证得：FC8,从而可得C8=CE 【详解】(1)方法一：证明：延长AE、BC交于点F,如图②： :E是边CD的中点， DE CE, AD BC, ∴.∠DAE=∠CFE, :ZDEA=ZCEF, △DAE≌△CFE(AAS), :AD=CF, :AE是∠BAD的平分线， .∠BAF=∠DAE=∠CFE, :AB=BF =BC+CF BC +AD; 方法二：证明：在AB上取一点G,使AG=AD,连接EG、CG,如图③： :AE是∠BAD的平分线， .∠BAE=∠DAE, 2/41 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AG=AD,AE=AE, △DAE≌aGAE(SAS, :DE=CE,∠ADE=∠AGE, :E是边CD的中点， :DE =CE=GE, ∠ECG=LEGC, .'AD‖BC, ∠ADE+LECG+∠BCG=180°， :∠AGE+∠EGC+∠BGC=∠ADE+∠ECG+∠BGC=I80°， .∠BCG=LBGC, :BC BG, :AB=AG+BG=AD BC (2)证明：如图，过点C作AD的平行线交AB于点F,交AE的延长线于点G,连接EF, G D E F B 图④ 由方法一同理可知：aDAE≌△CGE, ∠FGA=∠DAG,AE=GE, :AE平分∠BAD, :∠FGA=∠FAG=∠DAE=∠BAD=30, .FE⊥AG, ∠EFG=90°-30°=60°， FG∥AD, :∠BAD=∠BFG=60°=∠EFG,∠D+∠FCE=180°， :∠D+∠BCD=180°， 2 3/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ∠FCE=2∠BCD=∠FCB. FC=FC, ∴△FCE≌aFCB(ASA, ∴CB=CE 【点晴】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质 与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形 2.同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过 轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题， 图① 图② 图③ 图④ (1)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题。 (2)如图③，在ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为LBAC、LABC的角平分线， =50=3,46=,直接写出GC 【答案】(1)证明见解析 (2)AB+2BH =BC 唱 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质 等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键， (1)选择方法一：证明△ABD≌△AED(SAS),则BD=ED,∠B=∠AED,证明LEDC=∠C,则 4/41 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ED=EC=BD,，即可得到结论；选择方法二：证明△AFD≌△4CD(AAS).则AF=AC,即可得到结论； (2)在CH上取点G,使BH=GH,证明AB=AG,AG=GC,则AB=GC,即可得到 CG+BG=AB+2BH=BC; ,又 (3)根据角平分线的性质定理可知点D到4C的距离等于点D到AB的距离，得到氵m= D,得到ABBD S.ABD=BD AC CD 同理，AB=AG 设CG=,CD=y,列出方程组并解方程组即可得到答案. BC CG 【详解】(1)若选择方法一. 证明：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE, :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. 又：AD=AD, △ABD≌△AED(SAS BD=ED,∠B=∠AED, :∠ABC=2LC, ∴∠AED=2∠C, :∠AED=LEDC+∠C, ∠EDC=LC, ∴ED=EC=BD, .AC AE+EC=AB+BD 若选择方法二 证明：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF, :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 又：BF=BD, ∴∠F=∠BDF. ∴.∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F. ,∠ABC=2∠C, ∠F=∠C. AD=AD 3/41 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AFD≌△ACD(AAS). .AF=AC, ·AF=AB+BF=AB+BD, .AC=AB+BD (2)解：在CH上取点G,使BH=GH, B4 H G 图③ :AH⊥BC,BH=GH, .AB=AG, ∠B=∠AGB, :∠ABC=2LC,LAGB=LC+∠GAC, .ZC ZGAC, ..AG=GC, .AB=GC, .CG+BG=AB+2BH =BC. 故答案为：AB+2BH=BC; (3)解：：AD平分∠BAC, 点D到AC的距离等于点D到AB的距离， SAABD=AB SAACD AC S.=BD S.ACD CD' AB BD AC CD 同理， AB AG BCCG 25 设CG=x,CD=y,则BC=BD+CD=3+y,AC=AG+CG= 8 +x 6/41 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 3 25 8+x少， 25, 、5 8, y+3x t39 8 CG=39 8· 故答案为：39 3.数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AD=AE,求证LABE=LACD;在此问题的基础 上，老师补充：过点A作AF⊥BE于点G,交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE于点P,交CD于点H, 试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.小白通过研究发现，∠AFB与∠HFC有某种数量 关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可 以得出结论.阅读上面材料，请回答下面问题： 4 D D 图1 图2 (1)求证∠ABE=∠ACD; (2)猜想∠AFB与LHFC的数量关系，并证明： (3)探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (B)BP=AF+PF,见解析 【分析】(1)根据“边角边"判定△ABE和△ACD全等即可求证； (2)ABC是等腰直角三角形，设LABE=∠ACD=x,根据AF⊥BE,用含x的式子表示LBFG,根据 FP⊥CD,用含x的式子表示∠HFC,由此即可求解： (3)过点C作CM1AC交AF延长线于点M,延长FP交AC于点N,可证△ABE≌△CAM(ASA),可得 BE=AM,根据(2)的结论，可证△NFC≌△MFC(ASA),可得FM=FN,再根据∠M=∠FNC=∠BEA 可得△PNE是等腰三角形，可找出BE,AM,FM,FN,PN,PE的关系，由此求解. 【详解】(1)解：：在△ABE和aACD中， 7/41 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, △ABE≌AACD(SAS), ∠ABE=∠ACD. (2)解：：ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC, ∠ABC=∠ACB=45°， 由(1)可知，∠ABE=∠ACD,设LABE=∠ACD=x, :AF⊥BE, .∠BAF=90°-x,且∠FBG=45°-x, ∴在△BFG中，∠BFG=90°-∠FBG=90°-(45°-x)=45°+x, ∠ACD=x, ∠HCF=45°-x, FP⊥CD, ∠HFC=90°-(45°-x)=45°+x, .∠HFC=∠BFA. (3)解：过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M,延长FP交AC于点N, G B M :∠BAF+LFAC=90°，∠BAF+∠ABG=90°， ∴∠FAC=∠ABG, 在△ABE和CAM中， :∠BAE=LACM=90°，AB=AC,LABE=∠CAM, ·.△ABE≌△CAM(ASA), BE=AM,∠M=∠BEA, 由(2)可知，∠HFC=∠BFA, ∠BFA=∠MFC, ∴.∠BFA=∠MFC=∠NFC, 0/41 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CM⊥AC,∠ACB=45°， .∠BCM=45°， :∠BFA=∠MFC=∠NFC,FC=FC,∠ACB=LBCM=45°， ∴.△NFC≌△MFC(ASA), FM=FN,∠M=∠FNC, ∠FNC=∠BEA,则△PNE是等腰三角形， .PN=PE, .BP=BE-PE AM-PE AF FM-PE=AF +FN PN AF+PF, BP=AF PF. 【点晴】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握 以上知识的运用是解题的关键。 4.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么， 不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组 的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>LB呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）). LACD=∠C,LAC'D>∠B,可得∠C>∠B. (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC· B 图2 【方法运用】 9/41 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图3，在ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. D 图3 【答案】(1)见解析，(2)BD=AC+CD,理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内 角和定理，构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键 (1)把ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E,由翻折可得： CD+AD=AD+BD=AB>AC, (2)在BD上取E,使DE=CD,连接AE,可得△ADE≌△ADC(SAS),进而可得LAED=LC=2LB, 由此证明∠B=∠BAE，BE=AE=AC,进而得出结论 【详解】(1)证明：把ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E D B---- 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC, ·AD+BD=AB>AC,即AB>AC; [方法运用] (2)解：BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, :DE=CD,∠ADE=90°=∠ADC,AD=AD, E D (3) ∴.△ADE≌△ADC(SAS), .AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, ∠AED=∠B+∠BAE, 1U/4L 专题11 全等三角形之截长补短模型 模型说明 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 专项训练 1．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 2．同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 3．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 4．实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 5．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 6．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 7．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 8．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 9．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 10．【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 11．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 12．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 13．已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $