单元培优讲义：比例-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！在前面的学习中，我们已经掌握了比的意义和基本性质。今天，我们将进入六年级下册数学《比例》这一充满奥秘的新领域。比例不仅是比的知识的延伸，更是我们生活中不可或缺的数学工具，从地图上的缩尺到照片的放大缩小，都蕴含着比例的原理。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家从具体的情境中理解比例的意义，掌握比例的基本性质，并学会解比例。我们将通过观察、计算、推理等活动，探索两个比如何组成比例，以及如何利用比例解决实际问题。学习时，请多留意生活中的比例现象，比如建筑模型与实物的关系等。希望大家在探索中发现数学的和谐之美，掌握这一重要的数学工具。 知识梳理 1. 比例的意义 （1）比例的定义 ① 概念：表示两个比相等的式子叫做比例。例如， 就是一个比例。 ② 组成：组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。例如在比例 中，2和6是外项，3和4是内项。 （2）判断方法 ① 比值法：判断两个比能否组成比例，最直接的方法是分别计算两个比的比值，如果比值相等，就能组成比例。 2. 比例的基本性质 （1）性质内容 ① 文字叙述：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这是比例的基本性质。 ② 字母表示：如果 ，那么 。 （2）应用 ① 判断比例：可以利用交叉相乘的方法来验证四个数能否组成比例。 ② 解比例：这是求比例中未知项的依据。 3. 解比例 （1）定义 ① 概念：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）方法 ① 步骤：根据比例的基本性质，将比例转化为方程（乘积式），再利用解方程的方法求出未知数的值。 4. 比例尺 （1）定义 ① 概念：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 ② 公式：比例尺 图上距离 实际距离。 （2）分类与应用 ① 数值比例尺：如 。 ② 线段比例尺：图上附带的标有数量的线段。 ③ 计算：已知其中两个量，可以求出第三个量。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面哪组中的两个比可以组成比例，并写出比例。 （1） 和 （2） 和 解析： （1）分别计算两个比的比值： ， 。因为比值相等，所以能组成比例。比例是 。 （2）分别计算两个比的比值： ， 。因为 ，所以不能组成比例。 【跟踪练习1】 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 （1） 和 （2） 和 【典型例题2】 解比例： 解析： 1.根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积）转化： 2.计算并解方程： 答： 的值是 。 【跟踪练习2】 解比例： 【典型例题3】 在一幅地图上，用3厘米的线段表示实际距离90千米。 （1）求这幅地图的比例尺。 （2）在这幅地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，求甲、乙两地的实际距离。 解析： （1）统一单位：90千米 = 9000000厘米。 计算比例尺：比例尺 图上距离 实际距离 。 （2）设未知数：设实际距离为 厘米。 列比例： 解比例： （厘米） 换算单位：15000000厘米 = 150千米。 答：这幅地图的比例尺是 ；甲、乙两地的实际距离是150千米。 【跟踪练习3】 一种精密零件实际长度是0.5毫米，画在图纸上是2厘米。 （1）求这张图纸的比例尺。 （2）如果另一个零件在图纸上画了3厘米，求它的实际长度。 培优练习 一、选择题 1．凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 2．在一张精密零件图纸上，图上1cm表示实际长度1mm，这张精密零件图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶10 B．10∶1 C．1∶1 D．100∶1 3．比例尺10∶1是把原图（    ）。 A．放大到10倍 B．放大到9倍 C．缩小到10倍 D．保持不变 4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 5．下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．0.4∶0.8和2.5∶0.5 B．和15∶6 C．6∶15和 D．0.6∶0.8和1.6∶1.8 二、填空题 6．一种微型零件长5mm，画在图纸上长20cm，这幅图的比例尺是( )。 7．把6×8＝16×3改写成4个比例：6∶3＝( )，3∶8＝( )，16∶6＝( )，3∶6＝( )。 8．甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有( )毫升。 9．在比例尺是1∶30000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是4.5cm，一辆汽车按2∶3分两天行完全程，那么第二天行的路程是( )km。 10．山羊和绵羊性情不同。若羊群中山羊和绵羊的比是3∶7，则生态平衡，假设某草原原本平衡的羊群中，山羊和绵羊各被狼吃掉了28只，如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充( )羊（填“山”或“绵”），补充( )只。 三、判断题 11．一幅地图的比例尺是千米。( ) 12．如果3A＝7B，那么A∶B＝3∶7。( ) 13．在比例中，两个外项不变，一个内项缩小为原来的，另一个内项扩大为原来的3倍，比例依然成立。( ) 14．把一个图形先放大再缩小后得到的图形与原来的图形完全一样。( ) 15．在比例4∶a＝b∶0.25中（a、b均不为0），a和b一定互为倒数。( ) 四、计算题 16．解比例。              五、解答题 17．小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 18．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 19．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 比例 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！在前面的学习中，我们已经掌握了比的意义和基本性质。今天，我们将进入六年级下册数学《比例》这一充满奥秘的新领域。比例不仅是比的知识的延伸，更是我们生活中不可或缺的数学工具，从地图上的缩尺到照片的放大缩小，都蕴含着比例的原理。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家从具体的情境中理解比例的意义，掌握比例的基本性质，并学会解比例。我们将通过观察、计算、推理等活动，探索两个比如何组成比例，以及如何利用比例解决实际问题。学习时，请多留意生活中的比例现象，比如建筑模型与实物的关系等。希望大家在探索中发现数学的和谐之美，掌握这一重要的数学工具。 知识梳理 1. 比例的意义 （1）比例的定义 ① 概念：表示两个比相等的式子叫做比例。例如， 就是一个比例。 ② 组成：组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。例如在比例 中，2和6是外项，3和4是内项。 （2）判断方法 ① 比值法：判断两个比能否组成比例，最直接的方法是分别计算两个比的比值，如果比值相等，就能组成比例。 2. 比例的基本性质 （1）性质内容 ① 文字叙述：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这是比例的基本性质。 ② 字母表示：如果 ，那么 。 （2）应用 ① 判断比例：可以利用交叉相乘的方法来验证四个数能否组成比例。 ② 解比例：这是求比例中未知项的依据。 3. 解比例 （1）定义 ① 概念：求比例中的未知项，叫做解比例。 （2）方法 ① 步骤：根据比例的基本性质，将比例转化为方程（乘积式），再利用解方程的方法求出未知数的值。 4. 比例尺 （1）定义 ① 概念：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 ② 公式：比例尺 图上距离 实际距离。 （2）分类与应用 ① 数值比例尺：如 。 ② 线段比例尺：图上附带的标有数量的线段。 ③ 计算：已知其中两个量，可以求出第三个量。 例题讲解 【典型例题1】 判断下面哪组中的两个比可以组成比例，并写出比例。 （1） 和 （2） 和 解析： （1）分别计算两个比的比值： ， 。因为比值相等，所以能组成比例。比例是 。 （2）分别计算两个比的比值： ， 。因为 ，所以不能组成比例。 【跟踪练习1】 判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 （1） 和 （2） 和 答案及解析： （1） ， 。比值相等，能组成比例。 （2） ， 。比值不相等，不能组成比例。 【典型例题2】 解比例： 解析： 1.根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积）转化： 2.计算并解方程： 答： 的值是 。 【跟踪练习2】 解比例： 答案及解析： 1.交叉相乘： 2.计算： 3.解得： 答： 的值是 。 【典型例题3】 在一幅地图上，用3厘米的线段表示实际距离90千米。 （1）求这幅地图的比例尺。 （2）在这幅地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，求甲、乙两地的实际距离。 解析： （1）统一单位：90千米 = 9000000厘米。 计算比例尺：比例尺 图上距离 实际距离 。 （2）设未知数：设实际距离为 厘米。 列比例： 解比例： （厘米） 换算单位：15000000厘米 = 150千米。 答：这幅地图的比例尺是 ；甲、乙两地的实际距离是150千米。 【跟踪练习3】 一种精密零件实际长度是0.5毫米，画在图纸上是2厘米。 （1）求这张图纸的比例尺。 （2）如果另一个零件在图纸上画了3厘米，求它的实际长度。 答案及解析： （1）2厘米 = 20毫米。比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 。 （2）设实际长度为 厘米。 （厘米） 0.075厘米 = 0.75毫米。 答：这张图纸的比例尺是 ；另一个零件的实际长度是0.75毫米。 培优练习 一、选择题 1．凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】根据题意可知，A的个数∶奖卡的个数＝10∶3，由此即可设他是用个A换的15张奖卡，则列出方程10∶3＝∶15，根据比例的基本性质内项之积等于外项之积即可解方程。 【详解】解：设他是用个A换的15张奖卡 10∶3＝∶15 即他是用50个A换的15张奖卡。 故答案为：D 2．在一张精密零件图纸上，图上1cm表示实际长度1mm，这张精密零件图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶10 B．10∶1 C．1∶1 D．100∶1 【答案】B 【分析】已知图上1cm表示实际长度1mm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1cm＝10mm”，求出这张图纸的比例尺。 【详解】1cm∶1mm ＝（1×10）mm∶1mm ＝10∶1 这张精密零件图纸的比例尺是10∶1。 故答案为：B 3．比例尺10∶1是把原图（    ）。 A．放大到10倍 B．放大到9倍 C．缩小到10倍 D．保持不变 【答案】A 【分析】比例尺的含义：图上距离∶实际距离＝比例尺，所以比例尺10∶1表示图上距离是实际距离的10倍，也就是将原图放大到10倍，据此分析即可。 【详解】结合比例尺的含义知：比例尺10∶1表示把原图放大到10倍。 故答案为：A 4．在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第一个比的后项加上30，两个内项的积，用第一个比的后项增加30后两个内项的积除以35，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【详解】（10＋30）×21 ＝40×21 ＝840 840÷35－6 ＝24－6 ＝18 所以第二个比的后项应加上18才能使该比例成立。 故答案为：D 【点睛】本题的解题关键是：先算出第一个比的后项加30后的数值，再依据比例内项积等于外项积，求出变化后第二个比的后项，最后用该数值减去原后项，得到需添加的数。 5．下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．0.4∶0.8和2.5∶0.5 B．和15∶6 C．6∶15和 D．0.6∶0.8和1.6∶1.8 【答案】C 【分析】判断两个比能否组成比例，计算出这两个比的比值即可，比值相等的两个比可以组成比例，比值不相等的两个比不能组成比例；据此判断。 【详解】A．0.4∶0.8＝0.4÷0.8＝0.5，2.5∶0.5＝2.5÷0.5＝5，因为两个比的比值不相等，所以0.4∶0.8和2.5∶0.5不能组成比例； B．∶＝÷＝×＝，15∶6＝15÷6＝，因为两个比的比值不相等，所以∶和15∶6不能组成比例； C．6∶15＝6÷15＝，∶＝÷＝×＝，因为两个比的比值都是，所以6∶15和∶可以组成比例； D．0.6∶0.8＝0.6÷0.8＝0.75，1.6∶1.8＝1.6÷1.8≈0.89，因为两个比的比值不相等，所以0.6∶0.8和1.6∶1.8不能组成比例； 所以6∶15和∶可以组成比例。 故答案为：C 二、填空题 6．一种微型零件长5mm，画在图纸上长20cm，这幅图的比例尺是( )。 【答案】 【分析】图上距离和实际距离已知，依据“”即可求得这张图纸的比例尺。 【详解】 一种微型零件长5mm，画在图纸上长20cm，这幅图的比例尺是。 7．把6×8＝16×3改写成4个比例：6∶3＝( )，3∶8＝( )，16∶6＝( )，3∶6＝( )。 【答案】 16∶8 6∶16 8∶3 8∶16 【分析】利用比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。可把6和8看作比例的两个外项，把16和3看作比例的两个内项；或者把6和8看作比例的两个内项，把16和3看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可。 【详解】由分析可知： 把6×8＝16×3改写成4个比例：，，，。 8．甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有( )毫升。 【答案】64 【分析】已知甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，设甲杯原有体积为4毫升，乙杯原有体积为3毫升。从甲杯倒22毫升给乙杯后，甲杯体积变为（4－22）毫升，乙杯体积变为（3＋22）毫升，此时体积比为3∶5。据此列出比例方程，解方程求出的值，再计算甲杯原有体积。 【详解】解：设甲杯饮料原有4毫升，则乙杯饮料原有3毫升。 5（4－22）＝3（3＋22） 20－110＝9＋66 20－9＝66＋110 11＝176 ＝176÷11 ＝16 16×4＝64（毫升） 甲杯饮料原有64毫升。 9．在比例尺是1∶30000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是4.5cm，一辆汽车按2∶3分两天行完全程，那么第二天行的路程是( )km。 【答案】 810 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲、乙两地的实际距离；再根据题意，汽车按2∶3分两天行完全程，则第二天行程占甲、乙两地的，用甲、乙两地的实际路程乘分率，即可求出第二天行的路程，根据1km＝1000m＝100000cm即可换算。 【详解】（cm） 135000000÷100000＝1350（km） （km） 即第二天行的路程是810km。 10．山羊和绵羊性情不同。若羊群中山羊和绵羊的比是3∶7，则生态平衡，假设某草原原本平衡的羊群中，山羊和绵羊各被狼吃掉了28只，如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充( )羊（填“山”或“绵”），补充( )只。 【答案】 山 16 【分析】原本羊群中山羊和绵羊的比是3：7，生态平衡。各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。根据生态平衡时，山羊的只数∶绵羊的只数＝3∶7列比例方程解答。 【详解】各被吃掉28只后，山羊的比例减少的多，为了恢复3：7的比例，需要补充山羊。 解：设原本山羊有3x只，绵羊有7x只。各被吃掉28只后，山羊剩下（3x－28）只，绵羊剩下（7x－28）只。设补充a只山羊，则新山羊数为（3x－28＋a）只，绵羊数为（7x－28）只。 （3x－28＋a）∶（7x－28）＝3∶7 7×（3x－28＋a）＝（7x－28）×3 21x－196＋7a＝21x－84 21x－196＋7a＋196＝21x－84＋196 21x＋7a＝21x＋112 21x＋7a－21x＝21x＋112－21x 7a＝112 7a÷7＝112÷7 a＝16 所以如果为了达到新的平衡，只补充一种羊，那么应补充山羊16只。 【点睛】首先需要根据比的关系判断出需要补充哪一种羊，设未知数时根据比例关系设，最后根据生态平衡时的比是3∶7列比例方程解答。 三、判断题 11．一幅地图的比例尺是千米。( ) 【答案】× 【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，即 ，此比值无单位，据此分析。 【详解】比例尺是图上距离与实际距离的比，定义为 ，该比值是一个无单位的量。题干中比例尺写为千米，附加了单位“千米”，导致比例尺具有长度单位，这与比例尺作为比值的定义不符，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．如果3A＝7B，那么A∶B＝3∶7。( ) 【答案】× 【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。将比例A∶B＝3∶7写成两外项积＝两内项积的形式，看是否是3A＝7B即可。 【详解】A∶B＝3∶7根据比例的基本性质，可得7A＝3B，不是3A＝7B，原题说法错误。 故答案为：× 13．在比例中，两个外项不变，一个内项缩小为原来的，另一个内项扩大为原来的3倍，比例依然成立。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。当两个外项不变时，一个内项缩小为原来的 ，另一个内项扩大为原来的 3 倍，内项积保持不变，因此比例依然成立。 【详解】设原比例为 ，则外项积 等于内项积 。两个外项 和 不变。设一个内项缩小为原来的 ，如 ，另一个内项扩大为原来的 3 倍，如 。则新内项积为 。外项积 不变，且原比例中 ，所以 ，因此新比例 成立。 故答案为：√ 14．把一个图形先放大再缩小后得到的图形与原来的图形完全一样。( ) 【答案】× 【分析】根据图形放大与缩小的意义，一个图形放大或缩小多少倍，其对应边就放大或缩小多少倍，但放大或缩小后的形状不变，即放大或缩小后的图形大小发生变化，形状不变。据此判断。 【详解】一个图形放大后，其大小按比例增大，形状不变；缩小后，大小按比例减小，形状不变。先放大再缩小，最终图形形状与原图形相同，但大小可能不同。例如，将图形扩大到原来的2倍，再缩小为原来的，则大小相同，形状相同，图形完全一样；但若扩大到原来的2倍，再缩小为原来的，则大小变为原来的，形状相同，但大小不同，因此图形不完全一样。由于放大和缩小的比例不确定，结论不一定成立。 故答案为：× 15．在比例4∶a＝b∶0.25中（a、b均不为0），a和b一定互为倒数。( ) 【答案】√ 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积；再结合倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积是1。据此判断即可。 【详解】由分析可知：因为ab为0.25×4＝1，所以a和b一定互为倒数。原题干说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 16．解比例。              【答案】；；； 【分析】（1）根据比例的基本性质，把式子转化成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以25即可； （2）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以0.4即可； （3）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以5即可； （4）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以12即可。 【详解】（1） 解：.                 （2） 解：               （3） 解：            （4） 解：                  五、解答题 17．小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 【答案】13.5米 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度与其影长成正比例关系。根据1米＝100厘米，低级单位化高级单位除以进率，所以150厘米＝1.5米，30厘米＝0.3米；设教学楼的实际高度是x米，列比例为：x∶2.7＝1.5∶0.3，解比例求出教学楼的实际高度是多少米。 【详解】解：设教学楼的实际高度是x米。 150厘米＝1.5米 30厘米＝0.3米 x∶2.7＝1.5∶0.3 0.3x＝2.7×1.5 0.3x＝4.05 0.3x÷0.3＝4.05÷0.3 x＝13.5 答：教学楼的实际高度是13.5米。 18．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【答案】 10时36分 【分析】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离∶实际距离。已知比例尺为1∶2000000，即图上1厘米代表实际2000000厘米，图上距离是量得甲乙两地相距3.6厘米，所以实际距离＝图上距离×比例尺的后项，因为1千米＝100000厘米，求出实际距离；根据时间＝路程÷速度，已知路程，速度为每小时45千米，用路程除以速度可得到行驶时间。用出发的时刻加上行驶时间，求出到达时刻。 【详解】甲、乙两地的实际距离：3.6×2000000＝7200000（厘米） 1千米＝100000厘米，7200000＝72千米。 行驶时间：72÷45＝1.6（小时） 1小时＝60分，0.6×60＝36（分），1.6小时＝1小时36分。 到达时间：9时＋1小时36分＝10时36分 答：上午10时36分可以到达乙地。 19．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 【答案】2000克 【分析】根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 【详解】解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $