方法归纳专题7 整式乘法与因式分解中的思想方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

8.4因式分解 1提公因式法 1.C2.(x+5)(2x-3)3.2a4.6xyz 5.2(m-n)26.A7.(1)x(x-1)(2)ab(a+b) 【变式1】4【变式2】70 8.(1)x(y3-y+1)(2)-2mn(4m-1) (3)6a(x-2y+3z)(4)-4y(6.x2-3xy2+7y2) 9.(1)2(x+y)(3.x-2y)(2)(2x-y)(x+y-1) (3)ab(x-y)2(1-b) 10.C11.22012.199913.3y-3 14.(1)(a-3)(a-1)(2)4(x-y)(y-2x)(3)y(4x+y) 15.(1)提公因式法2(2)2024(1十x)225 (3)0+z)+1（4)53-5 4 2公式法 第1课时直接用公式法分解因式 1.C2.C【变式】9003.(x-2y)24.-(x-y) 12 5.(1)(a-5)2(2)(p-2） (3)-(3.x+2y)2 (4)(x-y-3)2 6.A7.248.±2b 9.(1)(2x+5y)(2x-5y)(2)(7-3xy)(7+3xy) (3)(10+x-y)(10-x+y)(4)(4a+b)(2a+3b) 10.4049【变式】1014-1013211.A12.A 13.(1)(.x+3)2(2)(m+4)(m-4)14.2 15.(1)C(2)(a+2)(3)(x-3)4 16.(1)a2-b2=(a+b)(a-b) 1013 (2)①7②2025 ③-5050 第2课时综合运用提公因式法和公式法分解因式 1.A2.A3.(1)3(x+y)(x-y)(2)y(x+1) 4.12mx+2)6x-2）(2②2x+1 (3)-x(x+5)(x-5)(4)-2b(a-3)2 (5)(2x-y)(a-b)(a+b) 5.(1)(x2+9)(x+3)(x-3)(2)(x+2)2(x-2)2 (3)(x+1)2(x-1)2 6.D7.B 8.(1)-8(4a+b)(a+4b)(2)(x-y)2(a+x-y)2 9.-(a-1)21 第3课时运用其他方法分解因式 1.B2.C3.(x+y-2)(x-y+2) 4.(1)(a+b)(x+y)(2)(ab-1)(a+b) (3)(x-y+1)(x-y-1) 5.解：(1)原式=x2-6x+9-9-16 =(x-3)2-25 =(x-3+5)(x-3-5) =(x+2)(x-8). (2)原式=x2十2a.x+a2-a2-3a2 =(x十a)2-(2a)2 =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x十3a)(x-a). 6.B7.D【变式】9 8.(1)(x+1)(x+5)(2)(x+1)(x-4)(3)(x-3)(x-8) 9.A10.B11.B 12.(1)(x十y)2(x-y)(2)(x2+x+1)(x+2)(x-1) (2)-8 (3)由ab-a-b-1=0,得ab=a+b+1, 所以N=a2+3ab十b2-9a-7b =a2+3(a+b+1)+b2-9a-7b =a2+3a+3b+3+b2-9a-7b =a2-6a+b2-4b+3 =a2-6a+9+b2-4b+4+3-13 =(a-3)2+(b-2)2-10. 因为(a-3)2≥0，(b-2)2≥0，所以N≥-10， 所以当a=3,b=2时，整式N有最小值一10 方法归纳专题6整式乘法中的规律探究 1.解：(1)4×6=52-1 (2)第n个等式为n(n十2)=(n十1)2-1.理由如下： 等式左边=n2+2n, 等式右边=n2十2n十1-1=n2十2n. 因为等式左边=等式右边， 所以此等式正确 2.(1)①6×(5+1)62 ②(n+1)×(n+1)(n+1)2 (2)mn+nn(m+1) 3.解：(1)892(82+3×8+1)2 (2)n(n+1)(n+2)(n+3)+1是n2+3n+1的平方.理由 如下： 因为n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+ 2)+1=(n2+3n)2+2(n3+3n)+1=(n2+3n十1)2， 所以n(n+1)(n+2)(n十3)+1是n2十3n十1的平方. 4.(1)x"-1(2)51-1 (3)022w-1②225+1 3 5.解：【探索发现】(a十b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3十b 验证：左边=(a十b) =(a+b)2(a+b)2 =(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2) =a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+ 2ab3+b* =a4+4a3b十6a2b2+4ab3十b*=右边， 所以(a十b)4=a*十4a3b十6a2b2十4ab3+b*正确 【拓展探究】n十12” 【实践应用】10000 方法归纳专题7整式乘法与因式分解中的思想方法 【例1】(1)(5.x-7y+1)2(2)(x+y-2)2 【跟踪训练】 1.(x+y-1)22.-13.8 【例2】a5b 【跟踪训练】 4.m3n5.3a+b=c 132. 6.解：a十b=ab.理由如下： 因为2=10，所以2=10.① 因为5=10，所以5=10.② ①×②，得2b·5b=10°·10， 即(2X5)b=10+6,故a+b=ab. 【例3】(a+b)(a+3b) 【跟踪训练】 7.(1)①(a-b)2=(a+b)2-4ab②6 (2)①m3+3m2n+3mn2+n3②90 章末复习 1 ①a+"②aw③ab④a"⑤1⑥。⑦ma+ nb+nc⑧am+bm+an+bm⑨a2+2ab+b2⑩a2 2ab+b2①a2-b2@m(a+b+c)③(a+b)(a-b) @(a土b)2 1.C2.A3.C4.(a-b)55.2025 6.48>233>81°【变式】> 7,解：0129-91446 9 (2)能.48可以表示为a2m+m或a"bm+或amb2" 8.B9.D10.A11.B12.(1)5a(2)-1 13.A14.化简结果为2a2-6ab,值为24 15.(1)ab=12(2)64(3)53 16.D17.C 18.(1)x(x+5)(x-5)(2)2b(a-3)2 (3)(x+1)(x-7) 19.±1 20.(1)(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)(2)(m-2) (3)m(a-b+c)(a-b-c) 21.C22.A23.3 第9章分式 9.1分式及其基本性质 第1课时分式的有关性质 1.D2.分数整式分式 ,1020y3ab3c y 3,4 4.x≠4【变式】2 b 5.(1)x≠-1(2)x≠3 (3)x≠士6(4)x为任意实数 6.C【变式】0（答案不唯一）7.A【变式】38.A nm-0.5(2)10m+8 9.(1)” n m十n 10.C11.x<5且x≠012.-313.2-1（答案不唯一） 14((?0+2）(2仓库里的煤可用4天 15.(1)x=0或x=-2(2)x>0或x<-1 (3)-2<x<1 第2课时分式的基本性质 1.B2.C 3.(1)y(2)x2+xy(3)2m2-2mn(4)x+1 、5x-10 、4a-5b 4.x≠y5.(1)3z+20(2)2a+20 2a 6.(1)3b-c (2)2 x+3y 7B8.A【度式1109D10号 11.M=-2 第3课时分式的约分 1.D2.B3.C4.(x-2)2分式的基本性质 5.1-是 (2) (3) x-4 (4)x 2x y+x a+2b 6.C7.A8.化简结果为-26，值为3 9.D10.2或4 11.解：(1)2(x+y)(x-y) (2)选A作为分子，B作为分母，组成的分式为2-2y t2-xy 2x2-2y2_2(x+y)(x-》）_2(x十》）=2x+2y.(答案 x2-xy x(x-y) 不唯一) 12.1【解析】解法1（拆项）：因为x2一2x一1=0， 所以x2-2x=1, 所以3x-10x2+6z x2-x-5 3x3-6.x2-4x2+8x-2x x2-2x+x-5 3x(x2-2x)-4(x2-2x)-2x (x2-2x)+x-5 z二422=x-4=1. x-4 解法2（降次）：因为x2一2x一1=0，所以x2=2x十1， 所以3x-10x2+6z x2-x-5 3x·x2-10x2+6x x2-x-5 3x·(2x+1)-10(2x+1)+6x (2x+1)-x-5 6x2-11x-10 x-4 02x+1）-11x-10-x-4=1, x-4 9.2 分式的运算 1分式的乘除 1.c2.A3.c4.(1)-3a 2x (2)1 -1 (3)2x-2 5.D6.B7.化简结果为2x-2, x+,值为1 8Bgc1og1.④若e2。 (3)4x3 12.D13.A14.A15.-2 16.解：(1)x十1 (2)等式左边代数式的值不能等于0.理由如下： 若等式左边代数式的值为0，则 x-1 =0,即x十1=0，此时 分式十无意义， 所以等式左边代数式的值不能等于0. 133·方法归纳专题7 整式乘 类型1整体思想 【例1】因式分解：(x十y)2+2(x十y)+1. 解：将x十y看成整体，令A=x十y,则原式 A2+2A+1=(A+1)2,再将A还原，得原 式=(x+y+1)2 上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想” 是数学解题过程中常用的一种思想方法.请运用 上述方法对下列各式进行因式分解： (1)1+2(5x-7y)+(5x-7y)2= (2)(x+y)(x+y-4)+4= 跟踪训练 1.因式分解：(x十y)2-2x-2y+1= 2.(2024·合肥包河区期末)已知m十n=3,mn=1, 则(1-2m)(1-2n)的值为 3.已知实数m满足m2一m-1=0,则2m3一 3m2-m十9= 类型2转化思想 【例2】若a=55,b=65,则3030= .(用含 a,b的代数式表示) ·方法归纳对既不是同底数也不是同指数的暴进 行运算时，一般考虑利用暴的乘方逆运算化为同底数 或者利用积的乘方逆运算化为同指数，再进行计算。 跟踪训练 4.已知x3=m,x5=n,用含有m,n的代数式表 示x1“是 5.如果a,b,c满足2=3,2=5,2=135，那么 a,b,c满足的等式是 6.已知2=5=10.猜想a+b和ab的大小关系， 并说明理由 60数学7年级下册HK版 法与因式分解中的思想方法 类型3数形结合思想 【例3】如图，现有边长为a的正方形1个，边长 为b的正方形3个，长为a、宽为b的长方形4 个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图 中图形的面积关系分解因式：a2+4ab十3b2= b 一方法归纳利用数形结合思想解题时，通常要抓 住图形面积不变作为突破口，这类问题也经常结合 完全平方公式的变形考查 跟踪训练 7.(2025·合肥四十六中期末)用两种不同的方法计 算同一图形的面积，可以得到一个等式用四个 长为a、宽为b的相同的长方形拼成的一个大 正方形如图1所示. (1)①用两种不同的方法计算阴影部分（小正方 形)的面积，可以得到(a-b)2,(a+b)2,ab三 者之间的等量关系式： ②利用①的结论解答：已知a一b=5,ab= 4 求a+b的值， (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何 体的体积，也可以得到一个等式. ①如图2，观察大正方体的分割，可以得到等 式：(m十n)3= ； ②已知m+n=6,mn=7,求m3+n3的值. n m/以 图1 图2 章末复习 ▣#▣ 44知识体系构建· 错题本 同底数幂的乘法：a"a=① (m,n都是正整数) 幂的乘方：（d")n=② （m,n都是正整数) 幂的运算 积的乘方：（ab)"=③ (n是正整数) dm÷d"=4 (a0,m,n都是正整数，且m>n) 零次幂：d=⑤(a0)】 同底数幂的除法 负整数次幂：rP=⑥ (a0,p是正整数)】 用科学记数法表示绝对值小于1的数 单项式与单项式相乘 整式乘法 单项式与多项式相乘：n(a+b+c)=⑦ 乘法与因 多项式与多项式相乘：（a+b)(m+n)=8 特例 (a+b)2=⑨ 完全平方公式 (a-b）2=10 解 与平方差公式 -(a+b)（a-b)）=1① 提公因式法：ma+mb+mc=12 因式分解 公式法：a2-b2=13 ,a2±2ab+b2=14 分组分解法 互逆 十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)（x+b) 整式乘法 44 高频考点精练· 考点1幂的相关运算 4.计算：(b-a)2(a-b)3= .(结果用幂 1.(2023·安徽)下列运算正确的是 的形式表示) A.a4+a4=a8 B.a4·a4=a6 5.(2025·宿州埔桥区月考)某展厅的Wi-Fi密码被 C.(a4)4=a16 D.a8÷a4=a2 设计成如表所示的数学问题.小东在参观时认 真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他 2.某种细胞的直径是0.00059毫米，数据0.00059 通过第三个式子得到的密码数字为 用科学记数法表示为 ( 账号：shulishijie A.5.9×10-4 B.59×10-5 [x9y8x8]=1988 C.5.9×10-5 D.0.59×10-3 [x2yz·x3y]=521 3.(2024·合肥包河区期末)若a=一0.22，b= [(x5)5yz÷x5y2x]=? (-2)”c=(-2,则它们的大小关系是( 6.233,418,810的大小关系是 .(用 “>”连接) A.c<b<a B.a<b<c [变式]比较大小：22o25 6675.(填“>” C.a<c<b D.b<a<c “<”或“=”) 第8章整式乘法与因式分解61