第5卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数及其应用 1． （2021年山东省春季高考数学真题）已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是_______________________. 2． 考点02 对数函数及其应用 2．（2025年山东省春季高考数学真题）若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高三下·山东·三模）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·职教高考）已知函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高三下·云南·职教高考）若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（    ） A．32 B．16 C． D． 6．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广东汕头·期末）已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24高三·全国·对口/高职单招）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知函数是偶函数，其中，则__________. 10．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）如果不等式的解集为，那么______. 11．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为________． 12．（25-26高三上·山东·二模）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)若，求的解集． 13．（25-26高三上·山东淄博·一模）已知对数函数（且）的图象经过点. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 14．（25-26高三上·山东青岛·一模）已知函数（且）的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)如果不等式成立，求实数的取值范围． 【拓展提升】 一、单选题 1．（24-25高三下·安徽·职教高考）函数，且在同一坐标系上最符合的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·陕西宝鸡·月考）已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 5．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·四川·职教高考）已知，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（18-19高三·陕西·职教高考）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一下·甘肃天水·期末）对数函数（且）图像都经过点__ 9．（22-23高三·浙江·职教高考）函数的定义域为_____. 10．（19-20高三·河北·对口/高职单招）若，则______． 三、解答题 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知对数函数且的图象过点，求及． 12．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． (1)求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 13．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数及其应用 1．（2021年山东省春季高考数学真题）已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是_______________________. 【答案】 【分析】根据题意作图，并根据题型用割补法求S的表达式即可. 【详解】∵点A，B，C的横坐标成公差为1的等差数列，且点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为，同理，点C的横坐标为， 即点A为，B为，C为， 过点C作轴于点M，过点A作于点F，过点B作于点E， 即可知，， 利用割补法知的面积为， 因为 所以， 因为， 所以， 因为， ， 故. 故答案为：. 考点02 对数函数及其应用 2．（2025年山东省春季高考数学真题）若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据对数函数的性质得到的范围，再结合一次函数的方程、定点及图像求解即可. 【详解】因为函数（且）是增函数， 所以；又因为函数过点， 所以排除选项C,D； 因为，所以函数图像过上方， 因此只有选项A图像符合题意， 故选：A. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求得的值； （2）先求出的解析式，再根据对数的真数大于零即可求解. 【小问1详解】 因为过点， 即，解得或（舍去）， 所以 【小问2详解】 因为， 且的定义域为， 即恒成立， 则， 解得， 所以的取值范围为. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高三下·山东·三模）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质得出的范围，再判断一次函数的图象即可. 【详解】函数（，且）， 当时，，即， 所以，则， 所以直线的图象为直线从左到右上升，且在轴的截距为， 在轴的截距为，只有A选项图象符合要求. 故选：A. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 4．（24-25高三下·四川·职教高考）已知函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入函数解析式列方程求解即可. 【详解】已知函数， 由得，， 即，解得， 故选：D. 5．（23-24高三下·云南·职教高考）若关于的二次函数在上是增函数，在上是减函数，则（    ） A．32 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称轴公式及二次函数的性质求参数，然后利用指数运算可求. 【详解】二次函数在上是增函数，在上是减函数， 可知二次函数对称轴为， 则有，即，解得； 则； 故选：B. 6．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 又因为； 综上，； 故选：C. 7．（23-24高二下·广东汕头·期末）已知函数的图象与单调递减函数的图象相交于点，给出下列四个结论：则（1）；（2）；（3）；（4）当时，；其中正确的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，指数式与对数式的互化，函数单调性的定义，结合题意，即可判断. 【详解】因为函数的图象与单调递减函数的图象相交于点， 所以将点代入得，故（3）正确； 所以，故（1）正确，（2）错误； 因为是单调减函数，故当时，，即， 又函数在R上是单调增函数，故当时，，即， 所以，故（4）正确； 所以正确的结论有3个. 故选：C. 8．（23-24高三·全国·对口/高职单招）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为指数函数，且在上单调递减， 所以，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 9．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【详解】函数是偶函数， 则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因为偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即， 则，即，解得； 则； 故答案为：2. 10．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）如果不等式的解集为，那么______. 【答案】 【分析】先利用二次不等式的解集，结合韦达定理确定得的值，再利用对数的运算法则即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则，解得，则， 所以. 故答案为：. 11．（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则的值为________． 【答案】4 【分析】根据的单调性求出最大值与最小值，由条件列式求解即可． 【详解】∵，∴函数在区间上单调递增， ∴最大值与最小值分别为， 由题意，即，解得， 故答案为：4． 12．（25-26高三上·山东·二模）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)若，求的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数式的真数大于零，列不等式组可求解； （2）由已知条件和对数的运算法则，求出的值，再根据对数的运算及对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义， 则需满足，解得， 所以函数的定义域为； （2）由，可得， 所以，即， 解得， 所以原不等式可化为， 可得， 所以，解得， 又，所以不等式的解集为. 13．（25-26高三上·山东淄博·一模）已知对数函数（且）的图象经过点. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意将点代入函数解析式中求出值即可得解. （）根据对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）对数函数（且）的图象经过点， 则，解得（舍）或， 所以函数， 则. （2）函数，定义域为， 则， 因为底数，所以在定义域内为增函数， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高三上·山东青岛·一模）已知函数（且）的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)如果不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据指对互化及指数幂的运算法则可求解； （2）根据对数函数的单调性转化为关于x的不等式组，解出即可． 【详解】（1）由题可得： ，则， 即，解得（负根舍去）， 所以函数的解析式为； （2）不等式可化为：， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【拓展提升】 一、单选题 1．（24-25高三下·安徽·职教高考）函数，且在同一坐标系上最符合的图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论和两种情况，结合二次函数与y轴交点纵坐标为2即可判断． 【详解】当时，过定点且单调递减， 二次函数，其与y轴交点纵坐标为2， 其对称轴，， ∴二次函数图象与x轴没有交点， 此时，两个函数的图象大致为：   ； 据此可排除AB； 当时，过定点且单调递增， 二次函数，其与y轴交点纵坐标为2， 其对称轴，正负无法确定， 综上，两个函数的图象大致为：   ， 据此可排除D， 故选：C． 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题意求出的范围，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】由“指数函数为增函数”可得； 由“一次函数为减函数”可得，即； 所以由“指数函数为增函数”可推得“一次函数为减函数”, 由“一次函数为减函数”可推得“指数函数为增函数”, 即“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合根式、对数式有意义需满足的条件，即可列式求解. 【详解】因为函数， 所以，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 4．（23-24高三上·陕西宝鸡·月考）已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 5．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 故选：C. 6．（23-24高三下·四川·职教高考）已知，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 且，，， 其中， 所以， 即. 故选：D. 7．（18-19高三·陕西·职教高考）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 在上单调递增，故； 在上单调递增，故； 在上单调递增，故； 故. 故选：A. 二、填空题 8．（23-24高一下·甘肃天水·期末）对数函数（且）图像都经过点__ 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求解即可. 【详解】令，则有， 所以对数函数的图像都经过点. 故答案为：. 9．（22-23高三·浙江·职教高考）函数的定义域为_____. 【答案】 【分析】根据对数函数的图像和性质，即可求解. 【详解】对于，有. 故答案为：. 10．（19-20高三·河北·对口/高职单招）若，则______． 【答案】3 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】当，， 当，，即. 故答案为：3 三、解答题 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知对数函数且的图象过点，求及． 【答案】 【分析】先把点代入求出的值，再根据对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，因为对数函数且的图象过点，所以，解得， 所以，所以. 12．（23-24高三下·江苏·职教高考）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限． (1)求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数的图象性质即可得解； （2）利用指数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）因为一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）因为，所以， 所以在上单调递增， 而可化为， 所以，即，解得或， 所以的解集为. 13．（22-23高三下·江西·对口/高职单招）已知函数（且），且. (1)求a的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解. （2）先求解函数的单调性，再由单调性即可求解不等式. 【详解】（1）由，可得， 解得或 因为，所以. （2）由（1）知，定义域为， 任取， 所以， 因为，所以，即，， 所以，即， 所以函数在R上为增函数， 因为，所以， 解得， 所以x的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $