第6卷 任意角的三角函数及三角恒等变换（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及三角恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 8．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 9．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 10．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的定义及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，则是的什么条件(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 C．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义，求解即可. 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角所在的象限判断三角函数的符号易得答案. 【详解】因为是第二象限角，是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义，求解即可. 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 考点02 三角函数求值及其应用 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_____ __． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以； 又因为，角的终边在第二象限内， 且，， 所以 故答案为：. 考点03 三角恒等变换及其应用 5．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式、同角三角函数的平方关系、正弦的和角公式即可求出答案； （2）根据（1）中求出，求出P的坐标为． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴， 即， 即， 即， ∴； （2）∵终边对应的角度为，圆的半径为4， ∴点的坐标为． 由，得． ∴或． 6．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以 解得 又因为是第二象限角， 所以. 故选：C. 2．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充要条件的定义即可求解. 【详解】是第一、二象限或终边在轴正半轴的角； 故角是第一象限角是的充分不必要条件． 故选：A. 3（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 4．（2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角的三角函数定义和正弦的二倍角公式可求解. 【详解】由任意角的三角函数定义可知： ，， . 故选：C. 5．（2020高三·湖南·一模）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选：C. 6．（24-25高三下·山西·对口/高职单招）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：A. 7．（20-21高三·云南·对口/高职单招）=______. 【答案】 【分析】根据二倍角的正切公式与诱导公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8．（25-26高三上·山东·一模）若，则__________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】∵， ∴ . 故答案为：. 9．（24-25高三下·山东·三模）已知角的终边与单位圆的交点为，则等于________． 【答案】/ 【分析】根据题意求出的值，代入二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】角的终边与单位圆的交点为，且，所以， ， 故答案为：. 10．（23-24高三·河南·对口/高职单招）的值为______． 【答案】/ 【分析】根据三角函数半角公式和诱导公式计算. 【详解】根据三角函数的半角公式可知，， 故. 根据诱导公式可知，. 故答案为：. 【拓展提升】 一、单选题 1．（23-24高三下·陕西·对口/高职单招）已知，则是第（ ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据象限角的概念即可解答. 【详解】已知， 因为，所以是第三象限角， 故选：C. 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】根据诱导公式可得. 故选：B. 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）已知中,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由象限角的三角函数值的符号,同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为为内角,. 所以为第二象限角. 所以. 解得. 因为. 所以. 故选:. 4．（18-19高三·陕西·职教高考）已知，且，则角α的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为， 则角α的终边在第三或四象限或y轴的负半轴上， 因为， 则角α的终边在第一或四象限或x轴的正半轴上， 综上，角α的终边在第四象限. 故选：D. 5．（23-24高三下·河南郑州·对口/高职单招）已知是第一象限角，那么是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角或轴线角 D．第一、三象限角或轴线角 【答案】C 【分析】根据题意，结合象限角的概念和范围，即可求解. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 则的终边在第一、二象限或与轴的非负半轴重合， 所以是第一、二象限角或轴线角. 故选：C. 6．（22-23高三下·新疆·职教高考）如果，那么（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】已知，则， 故选：C. 7．（23-24高三下·河南郑州·对口/高职单招）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值，求解即可. 【详解】， 故选：A. 8．（22-23高三下·江苏常州·对口/高职单招）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由商数关系求出，再由两角和的正切公式求值即可. 【详解】已知，， 则， ， 所以， 故选：A. 二、填空题 9．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知，，则________． 【答案】 【分析】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的商数关系求值即可. 【详解】已知，， 则，， ， 所以， 故答案为：. 10．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知，则____________. 【答案】/ 【分析】先根据角度所在象限和余弦值求出正弦值，再结合诱导公式和二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，且， 所以， 而. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及三角恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 8．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 9．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 10．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的定义及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，则是的什么条件(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 C．既不充分也不必要条件 2．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点02 三角函数求值及其应用 4．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则 ． 考点03 三角恒等变换及其应用 5．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 6．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于(　　) A． B． C． D． 2．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A．1 B． C． D．2 4．（2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于(　　) A． B． C． D． 5．（2020高三·湖南·一模）的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·山西·对口/高职单招）（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高三·云南·对口/高职单招）=______. 8．（25-26高三上·山东·一模）若，则__________. 9．（24-25高三下·山东·三模）已知角的终边与单位圆的交点为，则等于________． 10．（23-24高三·河南·对口/高职单招）的值为______． 【拓展提升】 一、单选题 1．（23-24高三下·陕西·对口/高职单招）已知，则是第（ ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）（   ） A． B． C． D． 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）已知中,,则（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高三·陕西·职教高考）已知，且，则角α的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高三下·河南郑州·对口/高职单招）已知是第一象限角，那么是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角或轴线角 D．第一、三象限角或轴线角 6．（22-23高三下·新疆·职教高考）如果，那么（   ） A． B． C． D．1 7．（23-24高三下·河南郑州·对口/高职单招）（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高三下·江苏常州·对口/高职单招）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知，，则________． 10．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知，则____________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $