第3卷 函数及其性质（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第3卷 函数及其性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是(　　) A． B． C． D． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是(　　) A． B． C． D． 3．如图所示，在直角梯形中，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（ 　） A． B． B． C． D． 4．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的图像经过点，那么的图像经过点（      ） A． B． C． D． 6．已知函数满足，则的值为（ 　） A． B． C． D． 7．函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 8．函数是在上的奇函数，且的图像关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．下列图像中，不表示函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，若，则的值是（    ） A．或5 B．3或5 C．或 D．3或 12．下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．16 14．若函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D．2 15．偶函数在区间上单调递增，则有（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 17．设函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 18．已知函数，若，则等于（    ） A． B． C．3 D．7 19．设函数，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 20．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 21．已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则_________. 22．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，则_______________． 23．函数为奇函数，则实数 . 24．已知函数是定义在上的周期为4的奇函数，若，则______. 25．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则_________. 三、解答题 26．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 27．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集. 28．已知函数满足，，． (1)求证：为周期函数； (2)设，求的值． 29．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 30．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第3卷 函数及其性质 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对于选项A：定义域为，所以与不是同一函数，故选项A错误. 对于选项B：，所以与不是同一函数，故B错误. 对于选项C：定义域为，所以与不是同一函数，故C错误. 对于选项D：，且定义域为，所以与是同一函数，故D正确. 故选：D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质得出的范围，再判断一次函数的图象即可. 【详解】函数（，且）， 当时，，即， 所以，则， 所以直线的图象为直线从左到右上升，且在轴的截距为， 在轴的截距为，只有A选项图象符合要求. 故选：A. 3．如图所示，在直角梯形中，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（ 　） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是分段函数模型. 【详解】易得当时， 设线段的解析式为， 将点代入得，所以线段的解析式为， 则； 当时，， 所以， 则函数图像为前半段为开口向上的抛物线，后半段为直线， 则函数的图象大致为. 故选：. 4．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的单调性求解即可. 【详解】A:因为为减函数，所以为增函数； B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数； C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数； D:当时，为减函数，当时，为减函数，且， 所以在定义域上为减函数. 故选：D. 5．若函数的图像经过点，那么的图像经过点（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数图像的平移变换即可得解. 【详解】函数是由函数向左平移2个单位得到， 所以点向左平移2个单位得到， 故选：. 6．已知函数满足，则的值为（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数满足的等式得到函数的解析式，进而求解即可. 【详解】在中，将换成得. 即，联立 消去，得，因此. 故选：C. 7．函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的特点和恒成立，得出为常数，再设，并将代入求解即可. 【详解】因为函数在定义域上是增函数， 要使恒成立， 则为常数， 设（为常数），则， 将上式整理得， 令，则，又， 所以，即， 则，因式分解得， 其中， 所以，则 所以， 故选：B. 8．函数是在上的奇函数，且的图像关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、对称性和周期性分析求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，且图像关于对称， 即满足，且， 所以， 所以，即函数的周期是， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 故选：B. 9．下列图像中，不表示函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】依据函数的定义判断各选项. 【详解】选项A，B，C：对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与之对应，故A，B，C均表示函数图像； 选项D：当时，对于每一个自变量的值，都有两个值与之对应，不满足函数的定义， 故选：D. 10．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】对于函数，所以是偶函数， 当时，，所以在上单调递增. 另外，对于函数，，所以是奇函数，在上单调递增， 对于函数，，， 所以非奇非偶函数，对称轴为，开口向下，在上单调递减， 对于，，所以是奇函数，在上单调递增，. 故选：B. 11．已知函数，若，则的值是（    ） A．或5 B．3或5 C．或 D．3或 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，即可求解. 【详解】因为， 当时，，得，又，所以； 当时，，得； 综上所述，或. 故选：A. 12．下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同一函数的概念判断. 【详解】与的定义域及对应关系均相同，故是同一函数，故A正确； 与的定义域及对应关系均不相同，故不是同一函数，故B错误； 与的定义域不相同，对应关系相同，故不是同一函数，故C错误； 与或的定义域不相同，对应关系相同，故不是同一函数，故D错误. 故选：A． 13．已知函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，将代入，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 14．若函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性求出的值即可得解. 【详解】函数，斜率，所以在上为减函数， 所以当时，函数值最大，则， 当时，函数值最小，则， 所以， 故选：. 15．偶函数在区间上单调递增，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的单调性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 又，所以， 因为函数是偶函数，所以， 则，即. 故选：C. 16．已知函数，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【分析】将代入函数解析式，求解即可. 【详解】当时，， 故选：D. 17．设函数，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】判断为偶函数，利用得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又因为对于任意，， 所以为偶函数， 所以，即 故选：A. 18．已知函数，若，则等于（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】设函数，再根据奇函数的定义求值即可. 【详解】已知函数， 设函数，由定义域为， 且可得为奇函数， ，， 则， 所以， 故选：B. 19．设函数，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数值求自变量，再代入根据对数和指数运算法则求函数值易得答案. 【详解】因为函数，， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 20．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的对称性和周期性，及对数函数的图像，在同一坐标系中可作出与的图像，即可求解. 【详解】函数为定义在上的偶函数，， 又，函数图像关于直线对称， 且，即， 的周期为2， 又当时，， 由此可作出函数图像，在同一坐标系中作出函数图像， 如图所示： 则两个函数的图像在上有3个交点， 两个函数都为偶函数， 两函数的图像共有6个交点. 故选：D. 二、填空题 21．已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则_________. 【答案】1 【分析】由可得的图象关于对称，由关于对称，可得的图象关于y轴对称，进而可得为周期为4的偶函数，结合周期函数和偶函数的性质即可求得答案. 【详解】因为， 所以， 所以的图象关于对称； 又因为关于对称， 所以的图象关于y轴对称，所以为偶函数， 所以， 由可得， 又因为， 所以，即， 所以， 所以为周期为4的偶函数； 又因为时，，， 即， 所以 . 故答案为：1. 22．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，则_______________． 【答案】 【分析】根据题意，可得函数是以4为周期的周期函数，且，进而可得结果. 【详解】根据题意，是定义域为的偶函数，则有， 又因为满足,则，所以， 由,可得， 则， 因为满足，则， 即函数是周期为4的周期函数． 所以 ． 故答案为：. 23．函数为奇函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性及对数的运算，求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以， 即，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 24．已知函数是定义在上的周期为4的奇函数，若，则______. 【答案】 【分析】根据函数的周期性和奇偶性，分析代数求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的周期为4函数， 所以， 又因为函数是奇函数，， 所以. 故答案为： 25．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则_________. 【答案】8 【分析】本题利用函数的周期，从而得到即可求解. 【详解】， ， ，因为， 所以， 所以. 故答案为:8. 三、解答题 26．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）结合函数的单调性，得到不等式，解出即可． （2）根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【小问1详解】 因为不等式在上单调递减，又， 则，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 设且，由单调递减，得， 则，即， 故在上单调递增． 27．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过联立方程组求出函数的解析式； （2）根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集. 【详解】（1）已知①， 将换为，可得②， 联立①②解得. （2）由（1）知， 不等式，即，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 28．已知函数满足，，． (1)求证：为周期函数； (2)设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)105 【分析】（1）根据周期函数的定义即可证明. （2）根据函数的周期性结合题意即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，则是以4为一个周期的周期函数. （2）由题意得，，， ，， 所以. . 29．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明； （2）先利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行化简，然后通过换元法将问题转化为关于新变量的不等式恒成立问题，最后根据二次函数的性质求解实数的取值范围. 【详解】（1）设，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 令，，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）因为是奇函数，所以， 已知，则， 又因为在上单调递增，所以， 令，则不等式可化为对任意恒成立， 令，其对称轴为， 当，即时，，此时在上恒大于，符合题意； 当，即时，在上的最小值为， 要使对任意恒成立，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 30．已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断当时函数的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)判断见解析 (2)判断见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断易证答案； （2）根据函数单调性的定义判断易证答案. 【详解】（1）因为函数，因为， 所以函数定义域是，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数； （2）由题意设， 所以， 因为，，，，， 所以， 所以当时函数是增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $