第3卷 函数及其性质（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第3卷 函数及其性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 二、函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 三、函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 四、函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 五、函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【真题精讲】 考点01 函数图象 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的性质得出的范围，再判断一次函数的图象即可. 【详解】函数（，且）， 当时，，即， 所以，则， 所以直线的图象为直线从左到右上升，且在轴的截距为， 在轴的截距为，只有A选项图象符合要求. 故选：A. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】某人驾驶汽车出行，随着时间增加路程也增加，所以图像上升， 在途中休息时，随着时间增加，路程不变，故图像为一条直线； 继续行驶以后随着时间增长路程也持续增加，故图像上升. 故选：A. 3．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在平面直角坐标系中，分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像，其中为起跑阶段，为冲刺阶段，则下列结论正确的是(　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 【答案】A 【分析】根据图像观察同一时间段内的路程增量即可求解. 【详解】设甲乙的速度分别为. 对，由图像可知，在阶段，，即. 所以起跑阶段，甲跑得比乙快.对，在阶段，， 所以，因此冲刺阶段甲跑得比乙慢． 故选：A． 考点02 求函数值及其应用 4．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对于选项A：定义域为，所以与不是同一函数，故选项A错误. 对于选项B：，所以与不是同一函数，故B错误. 对于选项C：定义域为，所以与不是同一函数，故C错误. 对于选项D：，且定义域为，所以与是同一函数，故D正确. 故选：D. 考点03 函数的定义域 5．（2023年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体函数的定义域即可得解. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得或， 则函数的定义域为． 故选：D． 考点04 函数的基本性质 6．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）结合函数的单调性，得到不等式，解出即可． （2）根据函数单调性的定义结合已知条件即可求解. 【小问1详解】 因为不等式在上单调递减，又， 则，解得， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 设且，由单调递减，得， 则，即， 故在上单调递增． 7．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，函数，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为，所以， 解得：， 所以， 故选：D. 8．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若，则有，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，若， 则，解得. 所以的取值范围. 故选：B. 9．（2023年山东省春季高考数学真题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是减函数的性质，分析的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 10．（2023年山东省春季高考数学真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_____________． 【答案】0 【分析】根据题意作出函数图像判断函数的周期即可求解. 【详解】因为函数对定义域内任意的都有， 所以函数图像的对称轴是； 因为当时，， 则的图像如图所示， 所以当时，的图像如图所示； 因为是偶函数， 所以在上的图像，如图所示； 再根据函数图像关于对称，作出函数图像， 再根据函数是偶函数，作出函数图像， …… 可以发现函数的周期是4， 于是． 故答案为：0. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式判断函数的类型即单调性即可. 【详解】解：根据圆柱的体积公式可得，. 则是关于的正比例函数，且在区间上单调递增. 故选：A. 2．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数且的图像如图所示，则函数的图像大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性得的范围，再判断二次函数的图象即可. 【详解】由函数且的图像可知，函数单调递增， 故，则， 所以函数的图像开口向下，且过点. 故函数的图像大致是B选项的图象，ACD选项均不满足. 故选：B. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】解：由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C. 4．（2022年山东省春季高考数学真题）已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 【答案】 【分析】由分段函数的单调性求得. 【详解】当时，，在上是减函数，在上是减函数， 且当时，，即满足在上是减函数，具有单调性； 当时，，在上是增函数，在[上是增函数， 要使在上具有单调性，即为增函数，必须满足, 解得; 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：. 5．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为减函数，由函数值随自变量的增大而减小判断选项即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以函数值随自变量的增大而减小， 因为， 所以. 故选:A. 6．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数的对应值如下表所示：函数的对应值表则等于(　　) 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据表格先求解的值，再求解即可. 【详解】根据表格可知，当时，， 当时， 所以. 故选:D. 7．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据要使函数有意义则即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则需使， 解得或. 即函数的定义域是. 故选：B. 8．（23-24高三上·江苏连云港·一模）已知函数，则该函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域是， 故选：A. 9．（18-19高三·湖北·对口/高职单招）下列函数中与函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义即可求解. 【详解】函数定义域为. 对A，定义域为. 所以与不是同一函数. 故A错误. 对B，， 所以与不是同一函数. 故B错误. 对C，定义域为， 所以与不是同一函数. 故C错误. 对D，， 且定义域为. 所以与是同一函数. 故D正确. 故选：D. 10．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知函数，则 （    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】将代入函数解析式即可得出函数值. 【详解】由，得 . 故选：C. 11．（18-19高三·新疆·职教高考）对于函数，以下说法正确的是（    ） A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．偶函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 【答案】A 【分析】由一次函数结合函数奇偶性和单调性的定义判断即可. 【详解】函数，定义域为，关于原点对称， 且，故函数为奇函数； 任意取，令， ，即， 故函数在上单调递增； 综上，函数是奇函数且在上单调递增. 故选：A. 12．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）已知为奇函数，又函数（且）恒过定点M. (1)求M点坐标； (2)当时，，若也过点M，求实数m的值； (3)若且时，，求. 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）令，可求定点M的坐标； （2）由过点M，可得，又根据为奇函数，可得，从而列式可求m的值； （3）由可得函数的周期为2，可得，从而求解. 【详解】（1）当，即时， ， 故定点M的坐标为； （2）因为过点，即， 又为奇函数， . 即. 解得. 故所求实数； （3）， 的周期为2， . 13．（24-25高三·山东·一模）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)判断的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）将代入函数解析式即可求解m的值. （2）根据函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为， 解得. （2）该函数是奇函数. 证明：由（1）得，， 函数定义域为，则定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 14．（22-23高三·山东·模拟预测）已知函数（且），且. (1)求实数的值； (2)求证：函数是奇函数. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）代入求出数的值.     （2）判断奇偶性即找到和的关系. 【详解】（1）解：因为，所以，解得. （2）证明：由（1）知，所以，解得， 则该函数的定义域是，关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 15．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，. (1)求证：函数的周期是4； (2)求的值； (3)当时，求的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的周期的定义即可求解. （2）结合已知周期性及已知区间上的函数解析式进行转化，代入求解即可. （3）先把所求区间上的变量进行转化到已知区间上，再结合奇函数的性质求解. 【详解】（1）因为 所以函数的周期为4. （2） . （3）因为函数为奇函数. 当时， 所以. 所以. 所以. 【拓展提升】 一、选择题 1．（23-24高三上·山东菏泽·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在上是增函数可知，；又因函数是定义在上的奇函数，可得，从而可得结果. 【详解】因为在上是增函数， . 又函数是定义在上的奇函数， 所以， 故. 即. 故选：B 2．（23-24高三上·四川·二模）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为偶函数，不等式可转化为，又由在区间上单调递增，进而可得，解绝对值不等式可求解. 【详解】函数为偶函数， ， 等价于， 在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减， 于是有：， ， 即。 故选：C 3．（24-25高三下·山东聊城·二模）已知是奇函数，且在区间上是增函数，若，则函数在区间上（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为是奇函数，且在区间上是增函数， 所以函数在区间上也是增函数， 又，所以， 所以函数在区间上有最小值2. 故选：A. 4．（23-24高三下·山东·一模）已知函数，且，则下列可以作为函数图像的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用排除法，观察图像． 【详解】选项A、B、C中，当时，随值的增大而增大，不符合题意. 故选：D． 5．（23-24高三下·浙江·职教高考）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出的图像，分别写出函数与的单调增区间，即可求解. 【详解】由图可知函数的单调增区间为，； 如图，因为，所以只需将在轴下方的图像翻折到轴上方即可， 由图可知的单调增区间为，，，； 综上函数与均为单调递增的是，； 结合选项单调递增区间为； 故选：B. 二、填空题 6．（20-21高三·浙江·职教高考）函数，若，则______. 【答案】 【分析】分，两种情况，由内到外计算，据此可求解. 【详解】①当时，， 所以， 解得或（舍去）； ②当时，， 所以，方程无实根. 综上所述，. 故答案为： 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）已知函数，则 _______. 【答案】 【分析】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 三、解答题 8．（20-21高三·陕西·职教高考）某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)， (2)当为50时，利润最大，最大利润160万元 【分析】（1）由题可知，销售收入为万元，总成本为万元，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求最值. 【详解】（1）由题意可得， ，其中； （2）由（1）可得 ， 所以，当时，. 即当为50时，利润最大，最大利润160万元. 9．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）某地建一座桥，总长为240米，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面.经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为万元. (1)试写出关于的函数关系式； (2)需要新建多少个桥墩才能使最小，其最小值是多少？ 【答案】(1)，其中 (2)需要新建11个桥墩才能使最小，其最小值是万元 【分析】(1)由题意可得，桥墩的工程总费用为万元，桥面工程总费用为万元，据此可得关于的函数关系式； (2)根据基本不等式，可求的最小值及对应的的值，据此，可得桥墩的个数. 【详解】（1）由题意可得， ，其中； （2）因为（当且仅当，即取等号）， 所以（万元）， 此时，需要新建（个）. 所以需要新建11个桥墩才能使最小，其最小值是万元. 10．（24-25高三下·福建·职教高考）已知分段函数，其中. (1)求实数a的值； (2)求的值，求函数的定义域； (3)已知，求n的值. 【答案】(1)2 (2)， (3) 【分析】（1）将代入函数解析式列方程求解即可. （2）分别将代入合适的解析式中，求出的值，再由函数的解析式确定函数的定义域即可. （3）分别讨论为奇数与为偶数两种情况，再由指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）已知分段函数， 其中，则，解得. （2）由（1）可得，， 所以， 所以； 易知的定义域为. （3）由（1）可知，， 当n为奇数时，有，即， 因为在上为增函数， 所以，且n为奇数，所以， 当n为偶数时， 有，解得， 且n为偶数，所以， 综上所述，n的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第3卷 函数及其性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 二、函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 三、函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 四、函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 五、函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【真题精讲】 考点01 函数图象 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数（，且），当时，，则直线的图象可能是(　　) A． B． C． D． 2．（2024年山东省春季高考数学真题）某人驾驶汽车出行，在途中休息一段时间后继续驾驶直达目的地，假设途中汽车匀速行驶，则汽车行驶的路程y关于时间x的函数的图象大致是(　　) A． B． C． D． 3．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在平面直角坐标系中，分别给出甲、乙同学在1500m比赛中所跑的路程关于时间的函数图像，其中为起跑阶段，为冲刺阶段，则下列结论正确的是(　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 考点02 求函数值及其应用 4．（2025年山东省春季高考数学真题）下列函数中与函数为同一个函数的是(　　) A． B． C． D． 考点03 函数的定义域 5．（2023年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 考点04 函数的基本性质 6．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数在定义域上是减函数． （1）若，求实数的取值范围． （2）若函数，判断在上的单调性，并写出证明过程． 7．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，函数，若，则(　　) A． B． C． D． 8．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为(　　) A． B． C． D． 9．（2023年山东省春季高考数学真题）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 10．（2023年山东省春季高考数学真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_____________． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是(　　) A． B． C． D． 2．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数且的图像如图所示，则函数的图像大致是(　　) A． B． C． D． 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022年山东省春季高考数学真题）已知且，若函数 在上具有单调性，则实数的取值范围是___________________. 5．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A B． C． D． 6．（2021年山东省春季高考数学真题）已知函数的对应值如下表所示：函数的对应值表则等于(　　) 0 1 2 3 4 5 3 6 5 4 2 7 A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏连云港·一模）已知函数，则该函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．（18-19高三·湖北·对口/高职单招）下列函数中与函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21高三·贵州·对口/高职单招）已知函数，则 （    ） A． B．1 C．5 D． 11．（18-19高三·新疆·职教高考）对于函数，以下说法正确的是（    ） A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．偶函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 12．（23-24高三上·江苏·对口/高职单招）已知为奇函数，又函数（且）恒过定点M. (1)求M点坐标； (2)当时，，若也过点M，求实数m的值； (3)若且时，，求. 13．（24-25高三·山东·一模）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)判断的奇偶性. 14．（22-23高三·山东·模拟预测）已知函数（且），且. (1)求实数的值； (2)求证：函数是奇函数. 15．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，. (1)求证：函数的周期是4； (2)求的值； (3)当时，求的解析式. 【拓展提升】 一、选择题 1．（23-24高三上·山东菏泽·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川·二模）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山东聊城·二模）已知是奇函数，且在区间上是增函数，若，则函数在区间上（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 4．（23-24高三下·山东·一模）已知函数，且，则下列可以作为函数图像的是（    ） A．     B．   C．   D．   5．（23-24高三下·浙江·职教高考）函数的图像如图所示，下列区间中函数与均为单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（20-21高三·浙江·职教高考）函数，若，则______. 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）已知函数，则 _______. 三、解答题 8．（20-21高三·陕西·职教高考）某工厂生产某种产品的固定成本为万元，且每生产一吨该产品成本增加万元.若该产品一次性出售，其销售价格（单位：万元/吨）与销售量（单位：吨）的函数关系为：. (1)求该产品的利润（利润＝销售收入－总成本）与的函数解析式； (2)当为多少时利润最大，并求出最大利润. 9．（19-20高三下·江苏·对口/高职单招）某地建一座桥，总长为240米，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面.经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为万元. (1)试写出关于的函数关系式； (2)需要新建多少个桥墩才能使最小，其最小值是多少？ 10．（24-25高三下·福建·职教高考）已知分段函数，其中. (1)求实数a的值； (2)求的值，求函数的定义域； (3)已知，求n的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $