第2卷 不等式的性质及解法（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的性质及解法 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、不等式的性质 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 二、不等式的解法 1. 一元二次不等式 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 考点02 不等式的解法及其应用 2.（2025年山东省春季高考数学真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 4．（2024年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（高三·重庆·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（高三·新疆·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5．（高三·上海·自主招生）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高三·宁夏·对口/高职单招）若，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（高三下·黑龙江·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三下·广西·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25高三下·甘肃·对口/高职单招）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高三·全国·对口/高职单招）若,则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三·山东临沂·二模）若，则下列式子中正确是（    ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一、选择题 1．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东·三模）已知，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东聊城·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D．且 6．（24-25高三上·山东菏泽·一模）不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东济宁·二模）已知不等式的解集是，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．3，6 D．6，3 8．（24-25高三上·山东日照·一模）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数x和y的值分别是（    ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 9．（24-25高一上·浙江丽水·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高三下·山东·一模）已知不等式的解集是，其中，则等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 11．（22-23高三·山东济南·三模）若，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 12．（21-22高三·山东青岛·模拟预测）如果函数，当时，有，则，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 13．（2009高三·上海·学业考试）不等式的解集为___________. 14．（18-19高三·江西南昌·职教高考）已知，则___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的性质及解法 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、不等式的性质 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 二、不等式的解法 1. 一元二次不等式 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A：若，则，故A选项错误： 对B：，则，又因为,利用同向不等式的可加性，则，故B正确； 对C：若，则，故C选项错误； 对D：若，则，故D选项错误. 故选：B. 考点02 不等式的解法及其应用 2.（2025年山东省春季高考数学真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系可将不等式变形，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根是−2和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为 故选：A. 4．（2024年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，解得， 又因为不等式的解集是， 即， 所以有， 所以. 故选：B. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以， 解得， 所以不等式的解集为(. 故选：C. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解集. 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可知A、B、C错误；根据不等式的基本性质，可得D正确. 【详解】由已知，取，可知A、B、C错误； 因为，根据不等的基本性质，可得. 故选：D. 3．（高三·重庆·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的基本解法，即可求解. 【详解】由题意知不等式， 即， 解得. 故选：D. 4．（高三·新疆·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由解一元二次不等式的方法即可求解. 【详解】， ， . 所以不等式的解集为 . 故选：C. 5．（高三·上海·自主招生）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由绝对值不等式的解法直接求解即可. 【详解】不等式可得，， 解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 6．（21-22高三·宁夏·对口/高职单招）若，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】举出反例可判断BCD；根据不等式的基本性质可判断A，进而得到答案． 【详解】因为，所以，所以A正确， 令，可得，此时，所以B错误， 令，可得，此时，所以C错误， 令，可得，此时，所以D错误. 故选:A. 7．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的基本解法求解. 【详解】∵不等式， 对应的一元二次方程为，方程的解为或， 故不等式的解集为. 故选：B. 8．（高三下·黑龙江·对口/高职单招）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：D. 9．（23-24高三下·广西·职教高考）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据解绝对值不等式的方法求解即可. 【详解】不等式，可化为或， 解得或， 不等式的解集为或. 故选：D. 10．（24-25高三下·甘肃·对口/高职单招）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】已知， 则，即，故A错误，D正确， 由，则，故B错误， 由，则，即，故C错误， 故选：D. 11．（23-24高三·全国·对口/高职单招）若,则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例逐个判断即可. 【详解】已知，若，则，所以A错误， 由可得，，所以B错误，D正确. 若则，所以C错误. 故选：D. 12．（23-24高三·山东临沂·二模）若，则下列式子中正确是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】A:因为，所以，所以A选项错误， B:当，时，，，此时，所以B选项错误， C:因为，所以，两边同时减一个相同的数不等号方向不变，即，所以C选项正确， D:当时，成立，同时为负数时不成立，所以D选项错误. 故选:C. 【拓展提升】 一、选择题 1．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性判断A，举反例排除BCD，从而得解. 【详解】对于A，因为函数为上的增函数，且，所以，故A正确； 对于B，当时，满足，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，满足，但，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高三上·山东潍坊·一模）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】若，则，故A错误， 已知，，若， 则，故B错误， 若，则，故C错误， 因为，且，所以，故D正确， 故选：D. 3．（25-26高三上·山东·三模）已知，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过作差法比较两式大小即可. 【详解】因为. 所以. 故选：A. 4．（24-25高三上·山东聊城·一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由绝对值不等式解法求解即可. 【详解】由不等式可得，， 解得，所以原不等式的解集为. 故选：D. 5．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ）． A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】分类讨论，再根据一元二次方程有解，利用判别式，即可求解. 【详解】由题意知方程有实数根， 当时，方程，此方程一定有解； 当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以，即. 故选：B. 6．（24-25高三上·山东菏泽·一模）不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从“不等式的解集是”这一条件分别求出a、b，再解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式可化为，即， 得到，. 因此为，可化为， 解得，所以该不等式的解集为. 故选：A. 7．（24-25高三上·山东济宁·二模）已知不等式的解集是，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．3，6 D．6，3 【答案】D 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】由不等式可知，解得， 由题意可知，不等式的解集是， 所以，解得， 故选：. 8．（24-25高三上·山东日照·一模）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数x和y的值分别是（    ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】找到该复数的实部与虚部，分别列出方程，解方程组即可得到x和y的值. 【详解】因为复数的实部和虚部分别为5和， 所以解得 故选：B. 9．（24-25高一上·浙江丽水·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举反例排除ACD，利用不等式的性质判断B，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，取，则，故D错误. 故选：B. 10．（23-24高三下·山东·一模）已知不等式的解集是，其中，则等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】先解含绝对值的不等式，得出解集，然后列方程组进行求解即可. 【详解】解绝对值不等式，可得， 已知该不等式的解集是， 故有，解得, 所以. 故选：D. 11．（22-23高三·山东济南·三模）若，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质即可得解. 【详解】选项,时不成立,故错误. 选项,若则,故错误. 选项,如果成立则即与矛盾,故错误. 选项,若，则,故正确. 故选:. 12．（21-22高三·山东青岛·模拟预测）如果函数，当时，有，则，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题是一道已知不等式的解集，求参数的题目，关键是熟记一元二次不等式与一元二次方程的关系. 【详解】因为当时，有， 所以是一元二次方程的解， 所以， 解得， 故选：C 二、填空题 13．（2009高三·上海·学业考试）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（18-19高三·江西南昌·职教高考）已知，则___________． 【答案】 【分析】利用根号与绝对值的性质得到关于的等式，从而得解. 【详解】因为，而， 所以，则， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $